心理与教育统计学第3章 集中量数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,心理与教育统计学,第,3,章 集中量数,3.1,算术平均数,3.2,中数,3.3,众数,3.4,其他集中量数,加权平均数,几何平均数,调和平均数,(1),基础数学知识：,(3),证：,(2),(4),C,为常数,注意：,证：,集中趋势,(central tendency),：指数据分布中大量数据向某方向集中的程度，描述这种特点的统计量称为集中量数。,离中趋势：指数据分布中数据彼此分散程度，描述这种特点的统计量称为差异量数。,B,A,C,X1,X2,3.1,算术平均数,算术平均数（,arithmetic average,）一般简称为平均数（,average,）或均数、均值（,mean,）。,一般用,，或者用表示。,算术平均数是最常用的集中量数。,3.1.1,平均数的计算公式,（一）未分组数据计算平均数的方法,(3.1),算术平均数,原始分数的总和,数据的数目,式中：,某项研究在一年级学生中抽取,30,名样本，测得他们的某项考试分数如下：,61,81,63,58,55,78,64,72,72,64,52,65,67,72,70,58,50,80,51,79,81,77,69,86,61,89,50,54,56,65,。,求他们的平均能力分数。,解：这是求所抽取的,30,个样本的算术平均数，根据公式（,3.1,）,（二）用估计平均数计算平均数,如果数据的数目以及每个观测数据值都很大时，可以利用估计平均数（,an estimated mean),简化计算。,(1),设定一个估计平均数，,AM,。,(2),从每个数据中减去,AM,，使数值变小，计算差值的平均数。,(3),最后计算的差值平均数加上估计的平均数。,用估计平均数计算平均数公式：,(3.2),AM,为估计平均数,N,为数据数目,式中：,原始数值,原始,-AM,61,-4,81,16,63,-2,58,-7,55,-10,78,13,64,-1,72,7,72,7,65,0,令,AM,为,65,表,3-1 30,名学生的能力分数,（三）使用次数分布表计算平均数,分组区间,组中值,Xc,次数,f,96,97,2,93,94,3,90,91,4,87,88,8,84,85,11,81,82,17,78,79,19,75,76,14,72,73,10,69,70,7,66,67,3,63,64,1,60,61,1,表,3-2 100,名学生的成绩分数,次数分布表计算平均数的基本公式,：,(3.3),Xc,为分组区间的组中值,f,为各组次数,分组区间,组中值,Xc,次数,f,f,Xc,96,97,2,194.0,93,94,3,282.0,90,91,4,364.0,87,88,8,704.0,84,85,11,935.0,81,82,17,1394.0,78,79,19,1501.0,75,76,14,1064.0,72,73,10,730.0,69,70,7,490.0,66,67,3,201.0,63,64,1,64.0,60,61,1,61.0,表,3-3 100,名学生的成绩分数,使用第,33,页原始数据计算：,假设各种的数据分布于组中值附近，即假设各种的平均值等于组中值，但实际情况却不一定这样。,次数分布表计算平均值只是一种近似的求平均值的方法。,令,得,代入上,3.4,式：,i,组距,AM,估计平均值,令,得,第一种简化方法：,（,3.4,）,组距,i,相同,（,3.5,）,令,AM,=79,注意：等距分组情况下，才能用这种方法,表,3-4 100,名学生的成绩分数,代入,3.4,式：,令,得,第二种简化方法：,与组距,i,无关,（,3.6,）,令,AM,=79,表,3-5 100,名学生的成绩分数,由公式 可得,3.1.2,算术平均数的几个重要性质,：,（,1,）在一组数据中，每个变量与平均数之差（称为离均差）的总和等于,0.,设,则,所以,证：,（,2,）在一组数据中，每一个数都加上一常数,C,，则所得的平均数为原来的平均数加常数,C,证：,（,3,）在一组数据中，每一个数据都乘以一个常数,C,，所得的平均数为原来的平均数乘以,C,证：,3.1.3,平均数的意义,算术平均数是“真值”最佳的估计值,证：设,样本,总体,抽样,统计推论,（,3.7,）,所以：,当,时，,所以：,由,得,代入,3.7,式得：,3.1.4,算术平均数的优缺点,算术平均数具备一个良好的集中量所应具备的一些特点：反应灵敏、有公式严密确定、简明易懂、适合代数运算等等，因此是一个最常用的集中量。,主要不足：容易受两极端数值的影响；一组数据中有模糊不清的数值时无法计算。,正态分布的,3,准则,3.1.5,计算和应用算术平均数的原则,同质性原则：,算术平均数只能用于表示同类数据的集中趋势。,平均数与个体数值相结合的原则：,在解释个体特征时，既要看平均数，也要结合个体的数据。,平均数与标准差、方差相结合原则：,描述一组数据时既要分析其集中趋势，也要分析离散程度。,复习,式中：,3.2,中数,中数,（,median,），又称为中点数，中值。是按顺序排列在一起的一组数据居于中间位置的数。,中数是集中量数的一种。,符号为,Md,或,Mdn,3.2.1,未分组数据求中数,首先将一组数据按顺序排列,（,1,）数据个数为奇数，则中数为,(N+1)/2,位置的那个数。,（,2,）数据个数为偶数，则中数为居于中间位置两个数的平均数。,n,为奇数,n,为偶数,（,3.8,）,求数列,6,4,7,12,8,的中数。,解：该数列有,5,个数据,n,为奇数，,(n+1)/2=(5+1)/2=3,第,3,个数据为,7,，故,Md=7.,求数列,2,3,5,7,8,10,15,19,的中数。,解：该数列有,8,个数据,n,为偶数，数列中第,N/2=4,位置的数为,7,，（,N/2+1)=5,位置的数为,8,，故,Md=(7+8)/2=7.5,3.2.2,次数分布表计算中数,由次数分布表计算中位数需要用到累积次数分布表。,当表中数据的累积方向不同时，计算公式也不同。,表,3-6 52,名学生数学成绩次数分布表,成绩,频数,f,累积频数,95,2,52,90,2,50,85,3,48,80,5,45,75,8,40,70,11,32,65,9,21,60,5,12,55,4,7,50,2,3,45,1,1,合计,52,74.45,74,73.55,73.1,72.65,72.2,71.75,71.3,70.85,70.4,69.95,69.5,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,5/11=0.45,精确组限,69.574.49,由下至上累积频数计算公式,公式中,:,L,b,为中位数所在组的精确下限,f,b,为中位数所在组下限以下的累积频数,n,为数据总和,f,Md,为中位数所在组的频数,i,为组距,（,3,9a,）,由上至下累积频数计算公式,公式中,:,La,为中位数所在组的精确上限,f,a,为中位数所在组上限以上的累积频数,n,为数据总数,f,Md,为中位数所在组的频数,i,为组距,（,3,9b,）,表,3-7 52,名学生数学成绩中位数计算表,成绩,频数,f,累积频数,计 算,95,2,52,90,2,50,85,3,48,80,5,45,75,8,40,70,11,32,65,9,21,60,5,12,55,4,7,50,2,3,45,1,1,合计,52,注意,3.9,式只适用于连续变量,员工对主管尽职情况的评定,分数,人数,累加次数,累加百分数,非常不尽职,1,9,80,100,不尽职,2,30,71,88.75,不置可否,3,10,41,51.25,尽职,4,25,31,38.75,非常尽职,5,6,6,7.5,表,3-8 80,名员工对部门主管尽职程度调查结果,中数？,3.2.3,中位数的特点及应用,中位数的优点：,计算简单；容易理解；不受两端极端数据的影响。,中位数的缺点：,反应不灵敏；受抽样影响较大；,也不适合进一步代数运算。,一般用于下列情况：,一组数据中有极端数据时；,一组数据中有个别数据不确切、不清楚时；,快速估计一组数据的代表值。,3.3,众数,众数,（,mode,）又称为范数、密集数、通常数等。,指在次数分布中出现次数最多的那个数,.,用符号,Mo,表示。,3.3.1,计算众数的方法,1.,直接观察求众数,A.,未分组数据中出现次数最多的数即为众数。,求,5,，,6,，,2,，,6,，,6,，,8,，,5,，,4,，,5,的众数。,B.,次数分布表中，频数最多那一组数据的组中值，即为众数。,C.,频数分布曲线最高点相对应的横坐标上的一点。,Mo,正偏态分布,Mo,正态分布,Mo,负偏态分布,Mo,Mo,A,B,C,D,2.,使用公式求众数,皮尔逊经验法,平均数,(M),与中数,(Md),的距离是平均数（,M,）与众数（,Mo,）的距离的三分之一，即：,故：,Mo,Md,M,M-Md,M-Mo,接近正态的情况下应用,（,3.10,）,金氏插补法,式中：,L,b,为含众数这一区间的精确下限；,f,a,为高于众数所在组一个组距那一分组区间的次数；,f,b,为低于众数所在组一个组距那一分组区间的次数；,i,为组距,L,b,f,a,f,b,次数分布比较偏斜，或者接近正态分布的情况下应用,（,3.11,）,3.3.2,众数的意义与应用,优点：概念简单明了；,不受极端值的影响。,缺点：受分组的影响；,不能灵敏地反映一组数据的变化；,不能进行进一步的运算。,应用：快速而粗略地寻找一组数据的代表值。,一组数据出现不同质情况，用众数代表典型情况；,数据分布出现极端数据；,当粗略估计次数分布的形态时，可用平均数与众数之差，作为表示次数分布是否偏态的指标。,3.3.3,平均数、中数和众数的关系,Mo,正偏态分布,Md,M,MMdMo,Mo,Md,M,正态分布,M=Md=Mo,Mo,负偏态分布,Md,M,MMdMdMo,负偏态分布：,MMdMo,3.4,其他集中量数,除了算术平均数、中位数和众数以外，有些情况下，必须使用其他一些集中量数。比如，加权平均数、几何平均数和调和平均数。,3.4.1,加权平均数,假设我们班有一位同学平时成绩,70,分，考试成绩,90,，总的成绩？,？,加权平均数是不同权重数据的平均数。,W,i,为权重,X,i,为数值,（,3.12a,）,某市广播电视局招聘一名播音员，对,A,B,两名候选人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如下表，根据实际需要，广播电视局将面试、综合知识测试的得分按,3:2,的比例计算两人的总成绩，请问谁将被录用。,测试项目,测试成绩,候选人,A,候选人,B,面试,90,95,综合知识测试,85,80,w,i,为权重（比率、百分数）,X,i,为数据值。,可将,3.12a,进行变形：,（,3.12b,）,加权平均数可以应用于根据小组平均数计算总的平均数。,n,i,各组的人数,;,各组的平均数。,（,3.12c,）,一个班有,30,人随机分为,5,个组，各组的成绩如下：,小组编号,人数,平均分数,1,6,85,2,5,86,3,7,80,4,4,87,5,8,88,3.4.2,几何平均数,几何平均数（,geometric mean),为,N,个数据联乘后的,N,次方根；,用符号,Mg,表示；,N,为数据个数；,Xi,为数据值。,（,3.13a,）,基本公式为：,由于,所以,（,3.13b,）,对数计算公式的推导：,几何平均数的应用,1.,直接应用基本公式计算几何平均数,（,1,）数据的变异较大，有极端值,（,2,）心理物理学的等距和等比量表实验,例,3-8,有一研究者想研究介于,S1,与,S2,两感觉量之间的感觉是多少。他随机选取,10,名被试，让其调节一个可变的物理刺激，使产生的感觉恰介于,S1,和,S2,之间。,10,名被试的结果为：,5.7,，,6.2,，,6.7,，,6.9,，,7.5,，,8.0,，,7.6,，,10.0,，,15.6,，,18.0,。问这,10,个被试所调节的感觉量的平均值是多少？,求反对数：,解：,2.,平均增长率,一组数据彼此间的变异较大，几乎按一定的比例关系变化。,（,1,）学习方面的进步率,（,2,）学生或人口增加率的估计,（,3,）教育经费增加率,一列数据分别为,X1,，,X2,，,X3Xn,，则：,按一定的比例关系变化,增加率的定义：,则：,由于,所以,平均增加率：,取对数,(3.14a),(3.14b),有一个学生第一周记住,20,个英文单词，第二周记住,23,个，第三周记住,26,个，第四周记住,30,个，第五周记住,34,个，该学生学习记忆单词的平均进步率是多少？,平均增加率为：,0.14186,3.4.3,调和平均数,调和平均数（,harmonic mean),在计算中先将各个数据取倒数，又称为倒数平均数。,(3.15),式中：,N,为数据个数；,Xi,为变量值。,在心理学实验中，调和平均数一般用于根据不同的工作效率，计算平均工作效率。,有一个学生,15,分钟学会生词,30,个，后,10,分钟学会生词也是,30,个。问该学生平均每分钟学会多少个生词？,解：两段时间的工作速度分别为,计算的第一步需要计算各个条件（或被试）的工作速度，然后带入公式计算平均工作速度。,SPSS,计算,SPSSAnalyze ReportsCase SumariesStatistics,：,Mean,Median,Harmonic mean,Geometric mean,SPSSAnalyze Descriptive StatisticsFrequenciesStatistics,：,Mean,Median,Mode,Sum,加权平均数,1,：,已知某班,50,人的平时成绩和考试成绩，平时成绩和考试成绩的权重分别为,0.3,：,0.7,，求每个人的最终成绩。,SPSSTransformCompute Varable,谢谢！,