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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学模型（0349）,主讲教师:邓 磊,直播课程一,数 学 模 型,第1页,数学建模与能力培养,开设数学建模课并不是让学生学一些数学知识，其主要目标是为了提升学生,综合素质,，增强,应用数学知识,处理实际问题本事。,第2页,数学建模实践每一步中都蕴含着能力上锻炼，在调查研究阶段，需要用到,观察能力,、,分析能力,和,数据处理能力,等。在提出假设时，又需要用到想象力和归纳简化能力。,第3页,在真正开始自己研究之前，还应该尽可能先了解一下前人或他人工作，使自己工作成为他人研究工作继续而不是他人工作重复，你能够把一些已知研究结果用作你假设，去探索新奥秘。所以我们还应该学会在尽可能短时间内,查到并学会,我想应用知识本事。,第4页,还需要你多少要有点,创新能力,。这种能力不是生来就有，建模实践就为你提供了一个培养创新能力机会。,第5页,例1,某人平时下班总是按预定时间抵达某处，,然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平,时提早了30分钟抵达该处，于是此人就沿着,妻子来接他方向步行回去并在途中碰到了,妻子，这一天，他比平时提前了10分钟到家，,问此人共步行了多长时间？,一些简单实例,似乎条件不够哦。？,第6页,请思索一下，本题解答中隐含了哪些假设,？,换一个想法，问题就迎刃而解了。假如他妻子碰到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前10分钟时间从何而来？,显然是因为节约了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了30分钟抵达会合点，故相遇时他已步行了25分钟。,第7页,例2,某人第一天由 A 地去 B 地，第二天由 B 地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下，能够确保途中最少存在一地，此人在两天中同一时间抵达该地。,第8页,分析,本题多少有点象数学中解存在性条件及,证实，当然，这里情况要简单得多。,假如我们换一个想法，把第二天返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人最少在途中相遇一次，这么结论就很轻易得出了：只要任何一人抵达时间晚于另一人出发时间，两人必会在途中相遇。,（请自己据此给出严格证实）,第9页,例3,交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态亮一段时间黄灯。请分析黄灯应该亮多久。,第10页,D,L,构想一下黄灯作用是什么，不难看出，黄灯起是警告作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请马上停车。停车是需要时间，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见下列图。对于那些黄灯亮时已过线车辆，则应该确保它们仍能穿过马路。,第11页,马路宽度,D,是轻易测得，问题关键在于,L,确实定。为确定,L,，还应该将,L,划分为两段：,L1,和,L2,，其中,L1,是司机在发觉黄灯亮及判断应该刹车反应时间内驶过旅程，,L2,为刹车制动后车辆驶过旅程。,L1,较轻易计算，交通部门对司机平均反应时间,t1,早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道行驶速度,v,也是交管部门早已定好，目标是使交通流量最大，可另建模型研究，从而,L1=v*t1,。刹车距离,L2,既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来（,留作习题）,。,黄灯终究应该亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出,L,应多大才能使看见黄灯司机停得住车。第二步，黄灯亮时间应该让已过线车顺利穿过马路，即,T,最少应该到达,(,L+D)/v,。,D,L,第12页,例4,餐馆天天都要洗大量盘子，为了方便，某餐馆是这么清洗盘子：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，不然会烫手，但也不能太低，不然不洁净。因为想节约开支，餐馆老板想了解一池热水到底能够洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。,第13页,盘子有大小吗?是什么样盘子？盘子是怎样洗?不妨,假设,我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后一一清洗。,第14页,不难看出，是水温度在决定洗盘子数量,。盘子是先用冷水洗过，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为,水不够热了,。,那么热水为何会变冷呢？假如你想建一个较精细模型，你当然应该把水池、空气等吸热原因都考虑进去，但餐馆老板原意只是想了解一下一池热水平均大约能够洗多少盘子。,第15页,不妨能够提出以下,简化假设,：,（1）,水池、空气吸热不计，只考虑盘子吸热，盘子大小、材料相同。,（2）,盘子初始温度与气温相同，洗完后温度与水温相同。,（3）,水池中水量为常数，开始温度为T1，最终换水时温度为 T2。,（4）,每个盘子洗涤时间T是一个常数。（,这一假设甚至能够去掉不要,）,第16页,依据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板问题就很轻易回答了，当然，你还应该调查一下一池水质量是多少，查一下瓷盘吸热系数和质量等。,可见，假设条件提出不但和你研问题相关，还和你准备利用哪些知识、准备建立什么样模型以及你准备研究深入程度相关，即在你提出假设时，你建模框架已经基本搭好了。,第17页,例5,将形状质量相同砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远能够延伸多大距离。,第18页,设砖块是均质，长度与重量均为1，其重心在中点1/2砖优点，现用,归纳法,推导。,Z,n,(,n,1),n,(,n,1),由第,n,块砖受到两个力力矩相等，有,1/2-,Z,n,=(,n,1),Z,n,故,Z,n,=1/(2,n,),，从而上面,n,块砖向右推出总距离为 ，,故砖块向右可叠至,任意远,，这一结果有点出人意料。,第19页,例6,某人住在某公交线附近，该公交线路为在A、B两地间运行，每隔 10分钟A、B两地各发出一班车，此人常在离家最近 C点等车，他发觉了一个令他感到奇怪现象：在绝大多数情况下，先到站总是由 B去A车，莫非由 B去A车次多些吗？请你帮助他找一下原因。,第20页,A B发出车次显然是一样,多，不然一处车辆,将会越积越多。,第21页,因为距离不一样，设,A,到,C,行驶,31,分钟，,B,到,C,要行驶,30,分钟，考查一个时间长度 为,10,分钟区间，比如，能够从 A方向来车驶离,C,站时开始，在其后,9,分钟内抵达乘客见到先来车均为,B,开往,A,，仅有最终,1,分钟抵达乘客才见到由,A,来车先到。由此可见，假如此人到,C,站等车时间是随机，则他先遇上,B,方向来车概率为,90%,。,第22页,例7,飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子位置，必须确定其所在方向和距离，试设计一些寻找黑匣子方法。因为要确定两个参数，最少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线强度。,第23页,点光源发出射线在各点处照度与其到点光源距离平方成反比，即,第24页,方法一,黑匣子所在,方向,很轻易确定，关键在于确定,距离,。设在同一方向不一样位置检测了两次，测得照度分别为,I,1,和,I,2,，两测量点间距离为,a,，则有,第25页,注意：在,方法一,中，两检测点与黑匣子位于一直线上，这一点比较轻易做到，主要缺点是结果对照度测量精度要求较高，极少误差会造成结果很大改变，即敏感性很强。,第26页,方法二,在,A,点测得黑匣子方向后，到,B,点再测方向，,AB,距离为,a,，,BAC,=,，,ABC,=,，利用正弦定理得出,d,=,a,sin,/sin(,+,),。需要指出是，当黑匣子位于较远处而,又较小时，,+,可能非常靠近,（,ACB,靠近于,0,），而,sin（,+,）,又恰好位于分母上，因而对结果准确性影响也会很大，为了使结果很好，应使,a,也相对较大。,B,A,C,a,第27页,例8,三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河任一岸，一旦随从人数比商人多，就杀人越货。不过怎样乘船渡河大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？,第28页,3名商人,3名随从,河,小船(至多2人),第29页,因为这类虚拟问题已经理想化了，所以无须在作假设。安全渡河问题能够视为一个多步决议过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶向此岸，都要对船上人员（商人、随从各几人）作出决议，在确保安全前提下（两岸商人数都不比随从数少），在有限步内使人员全部过河。,第30页,用状态（变量）表示某一岸人员情况，决议（变量）表示船上人员情况，能够找出状态随决议改变规律。问题转化为在状态允许改变范围内（即安全渡河条件），确定每一步决议，到达渡河目标。,第31页,模型组成,x,k,第k次渡河前此岸商人数,y,k,第k次渡河前此岸随从数,x,k,y,k,=0,1,2,3;,k=1,2,s,k,=(x,k,y,k,)过程状态,S=(x,y),x=0,y=0,1,2,3;,x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,S,允许状态集合,u,k,第k次渡船上商人数,v,k,第k次渡船上随从数,d,k,=(u,k,v,k,)决议,D=(u,v),u+v=,1,2,允许决议集合,u,k,v,k,=0,1,2;,k=1,2,s,k+1,=s,k,d,k,+(-1),k,状态转移律,求d,k,D(k=1,2,n),使,s,k,S按,转移律,由s,1,=(3,3)抵达s,n+1,=(0,0).,多步决议问题,第32页,模型求解,x,y,3,3,2,2,1,1,0,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y)16个格点,10个 点,允许决议D 移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.,s,1,s,n+1,d,1,d,11,给出安全渡河方案,评注和思索,规格化方法,易于推广,考虑4名商人各带一随从情况,d,1,d,11,允许状态S,S=(x,y),x=0,y=0,1,2,3;,x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,D=(u,v),u+v=,1,2,第33页,请你思索,(1)若船情况不变，则2名商人2个随从怎样安全渡河？,(2),m,名商人,m,个随从,(m4),能否安全渡河？,(3)普通地，,m,个商人,n,个随从,mn,能否安全渡河?若能,怎样渡河?,第34页,解答：,(1)(2,2)(1,1)or(2,0)(2,1)(0,1)(1,1)(0,0)(以下列图),第35页,(2)m名商人m个随从(m4)无法安全渡河,如m=4时图(以下列图)，d7就无法作不重复转移。其它情况也一样。,第36页,(3)当,x,=0,m时，,y,=0,1,2,n均可，而当,x,=1,2,m-1时,此岸要求,x,y,对岸要求m-,x,n-,y,综合即0,x,-,y,m-n,此时商人们必能安全渡河。若以m=4,n=3为例，则求解过程以下列图所表示：,第37页,第38页,请您探索,阿拉伯夫妻过河问题,有三对阿拉伯夫妻要过河，船最多可载两人。约束条件是依据阿拉伯法律，任一女子不得在其丈夫不在场情况下与另外男子在一起，问此时这三对夫妻能否过河?四对夫妻呢？,第39页,人、狗、鸡、米过河问题,某人要带一条狗、一只鸡、一箩米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河，而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米。问此人应怎样过河?,第40页,课间休息！,第41页,
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