第1章+有限元基本理论.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,ANSYS,软件及其工程应用,四川大学水利水电学院,费文平,主要内容,第,1,章 有限元基本理论,第,2,章,ANSYS,功能简介,第,3,章,ANSYS,基本过程,第,4,章,ANSYS,入门与准备,第,5,章 模型输入及修复,第,6,章 坐标系,第,7,章,选择、组件与部件,第,8,章 实体建模技术,第,9,章 布尔操作,第,10,章 单元属性,第,11,章 网格划分,第,12,章 加载求解技术,第,13,章 后处理技术,第,14,章 结构非线性分析,第,15,章 模态分析,第,16,章 耦合和约束方程,第,17,章,APDL,基础,第,18,章 子模型,第,19,章 热分析,第,20,章 热,-,应力耦合分析,第一章 有限元基本理论,平衡方程,几何方程,物理方程,边界条件,物理系统,有限元离散,单元的位移场,(,假定单元内位移函数,),单元节点关系,求解区域的位移场、应力场,简单化,1.1,有限元分析,(,FEA),有限元分析,是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。,定义,1.2,有限单元法的基本思想,将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接的一组单元的集合体。,选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一近似插值函数，以表示单元中场函数的分布规律。,利用力学中的某种变分原理去建立用以求节点未知量的有限单元法方程，将一个连续域中有限自由度问题化为离散域中有限自由度问题。,1.3,物理系统举例,几何体,载荷,物理系统,结构,热,电磁,1.3.1,平衡方程,1.3.2,几何方程,1.3.3,物理方程,(,本构方程,),拉梅系数,体积应变,剪切模量,1.3.4,边界条件,应力边界条件,位移边界条件,1.4,有限元模型,真实系统,有限元模型,有限元模型,是真实系统理想化的数学抽象,。,定义,1.5,自由度,(,DOFs,),自由度,(,DOFs,),用于描述一个物理场的响应特性,。,结构,DOFs,结构 位移,热,温度,电 电位,流体 压力,磁 磁位,问题,自由度,ROTZ,UY,ROTY,UX,ROTX,UZ,定义,1.6,节点和单元,节点,:,空间中的坐标位置，具有一定自由度和,存在相互,物理作用,。,单元,:,一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵,),。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。,有限元模型由一些简单形状的,单元,组成，单元之间通过,节点,连接，并承受一定,载荷,。,载荷,载荷,定义,1.6,节点和单元,(,续,),信息是通过单元之间的公共节点传递的。,分离但节点重叠的单元,A,和,B,之间没有信息传递（需进行节点合并处理）,具有公共节点的单元,之间存在信息传递,.,.,.,A,B,.,.,.,.,.,.,.,.,A,B,.,.,.,1 node,2 nodes,1.6,节点和单元,(,续,),节点自由度是随连接该节点,单元类型,变化的。,J,I,I,J,J,K,L,I,L,K,I,P,O,M,N,K,J,I,L,三维杆单元,(铰接,),UX,UY,UZ,三维梁单元,UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ,二维或轴对称实体单元,UX,UY,三维四边形壳单元,UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ,三维实体热单元,TEMP,J,P,O,M,N,K,J,I,L,三维实体结构单元,UX,UY,UZ,1.7,单元形函数,FEA,仅仅求解节点处的,DOF,值。,单元,形函数,是一种数学函数，规定了从节点,DOF,值到单元内所有点处,DOF,值的计算方法。,因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。,单元形函数描述的是给定单元的一种,假定,的特性。,单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。,真实的二次曲线,.,节点,单元,二次曲线的线性近似,(,不理想结果,),.,2,1.7,单元形函数,(,续,),节点,单元,DOF,值二次分布,.,.,1,节点,单元,线性近似,(,更理想的结果,),真实的二次曲线,.,.,.,.,.,3,节点,单元,二次近似,(,接近于真实的二次近似拟合,),(,最理想结果,),.,.,4,1.7,单元形函数,(,续,),DOF,值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。,这些平均意义上的典型解是从单元,DOFs,推导出来的（如：结构应力、热梯度）。,nodal solution,element solution,UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ,、,、,E,1.7,单元形函数,(,续,),如果单元形函数不能精确描述单元内部的,DOFs,，,就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。,当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并,接受,该种单元类型所假定的单元形函数。,在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有,足够,数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。,1.8,直杆受自重作用的拉伸问题,1.8,直杆受自重作用的拉伸问题,(,续,),就整个直杆来说，位移函数,U(x,),是未知的，但对每一单元可以近似地假设一位移函数，它在结点上等于结点位移。此处，假设单元中的位移按线性分布，即：,1.8,直杆受自重作用的拉伸问题,(,续,),有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应变和应力用节点位移表示的公式：,1.8,直杆受自重作用的拉伸问题,(,续,),外载荷与结点的平衡方程,为第,i,个结点上承受的外载荷,1.8,直杆受自重作用的拉伸问题,(,续,),假定将直杆分割成,3,个单元，每个单元长为,a=L/3,，,则对结点,2,，,3,，,4,列出的平衡方程为：,1.8,直杆受自重作用的拉伸问题,(,续,),1.8,直杆受自重作用的拉伸问题,(,续,),联立求解线性代数方程组得：,1.9,有限单元法解题的一般步骤,结构的离散化,选择位移模式,建立平衡方程,求解节点位移,计算单元中的应力和应变,1.9.1,结构的离散化,将分析的结构物分割成有限个单元体，使相邻的单元体,仅,在节点处相连接，而以如此单元的结合体去代替原来的结构。,1.9.2,选择位移模式,(,形函数,),首先对单元假设一个位移差值函数，或称之为位移模式，得到用节点位移表示单元体内任一点的唯一的关系式,有了位移模式，就可利用几何关系和应力,-,应变关系表出用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达式,1.9.3,三角形单元的形函数,基本假定：,假定单元内的位移可以用一个比较简单的函数来表示，如线性插值函数。这在单元划分比较密的情况下是合理可行的。,1.9.3,三角形单元的形函数,(,续,),将三角形单元的,3,个顶点的,2,个方向位移代入位移函数可求出,6,个待定系数。即可用节点的位移表示内部任意一点的位移：,1.9.4,建立平衡方程,可利用最小势能原理建立结构的节点载荷和节点位移之间的关系式，即结构的平衡方程,1.9.5,求解结点位移,将边界条件代入线性代数方程组 后，经解算可求得所有未知的结点位移。,1.9.6,计算单元中的应变和应力,依据求得的结点位移，由,可求得单元中任一点的应变和应力。,平面问题的有限单元法,结构的离散化,用有限元法对结构进行应力分析时，首先要将结构进行离散化。即将一个连续体看成由有限个单元组成的体系。弹性力学平面问题中最常见的单元是三角形单元。,所有作用在单元上的载荷都按静力等效的原则移置到结点上，并在受几何约束的结点处设置相应的铰支座。这样就得到了用以代替原来弹性体的有限单元计算模型。,位移模式,取一个典型的三角形单元进行力学分析。在有限单元位移法中，假设结点上的位移是基本未知量。为了能用单元的结点位移表示单元中的应变和应力分量，必须假定一个位移模式，也就是说根据单元的结点位移去构造单元上的位移插值函数。,位移模式（续）,位移插值函数,采用线性插值，即假定单元上的位移分量是坐标的线性函数：,它们可以由结点位移确定如下：,位移模式,(,续,),联立求解上述方程，可得：,位移模式,(,续,),其中：,而：,是三角形,ijm,的面积。,位移模式,(,续,),于是可以得到：,其中：,同理得：,位移模式,(,续,),可以将位移模式改写为矩阵模式：,单元中的应变和应力,有了单元的位移模式，就可以借助平面问题的几何和物理方程，导出用单于的结点位移表示单元中的应变和应力分量的公式。,由：,单元中的应变和应力,(,续,),得到：,或简写为：,单元中的应变和应力,(,续,),将,应变代入物理方程：,可得：,即为用单元中的结点位移表示单元中应力的关系式。,单元中的应变和应力,(,续,),式中,D,为弹性矩阵，对于平面应力问题，矩阵为：,单元的总势能,我们已经知道由各个单元的位移模式就形成了整个结构的位移模式。按弹性力学最小势能原理，结构中最接近于真实解的位移应该是使结构总势能取得最小值的那组位移函数。,由于在位移函数公式中，结点位移为自变量，这样就使一个泛函的极值问题变为一个多元函数的极值问题。为此我们来讨论单元的总势能关于结点位移的表达式。,每一个单元的总势能由该单元的应变能以及此单元上所有外力的势能组成。,单元的应变能,平面应力状态下，设物体厚度为,h,，,则单元中的应变能为：,单元的应变能（续）,将,和,B,i,代入上式，应用矩阵相乘的转置的逆序法则,注意到弹性矩阵,D,的对称性,有：,单元的应变能（续）,因为矩阵,B,及,D,的元素都是常量，所以可记：,单元的应变能（续）,从而单元的应变能可写为：,利用,=B,e,，,有：,单元的应变能（续）,注意到,B=B,i,B,j,B,m,，,记子矩阵,单元上体积力的势能,物体中常见的体力为旋转离心体力和重力。在平面问题中，体积力在,z,轴方向的分力为零，设单元体积中的体积力为：,单元上体积力具有的势能为：,单元上表面力的势能,设,物体边界上一单元某边上受到表面力的作用，单位长度上所受到的表面力为：,则单元上表面力的势能为：,单元节点上集中力的势能,如果弹性物体受到集中力,Re,的作用，通常划分单元网格时都在集中力的作用点设置结点。设某单元,3,个结点上所受到的集中力为：,于是该单元上集中力的势能是：,单元中的总势能,综合前面的几种情况，可以得到单元中的总势能为：,单元中的总势能,分别引进单元体积力，表面力，集中力向量如下：,单元中的总势能,则,单元中的总势能可以表示为：,物体中的总势能,把各,单元的总势能叠加起来，就可得到整个弹性体的总势能。为了便于叠加和归并，需将单元刚度矩阵表达式,(2-18),作适当的改写。,假设结构离散化后共有,n,个结点，将编号为,l,的结点位移记为：,则结构的结点位移向量：,是一个,2n,维的列向量。,物体中的总势能（续）,可将,单元刚度矩阵式用补零的办法由,6X6,的矩阵扩大到,2nX2n,的矩阵,物体中的总势能（续）,如果在物体上划分的单元总数是,e,0,再引进,结构的总刚度阵：,物体总势能就可写为：,物体中的总势能（续）,代入约束条件后的弹性体总势能可以写为：,空间问题的有限单元法,空间问题的有限单元法,用,有限单元法求解弹性力学空间问题，首先也要将连续的空间物体用一系列的单元离散化。,空间问题中，最简单的是四面体单元。离散的空间结构是这些单元只在节点处以空间铰相互连接的集合体。,空间问题的有限单元法（续）,位移模式,空间问题中，每一个结点有,3,个位移分量，单元结点位移向量由,12,个分量组成，分别表示为：,位移模式（续）,假定单元内的位移分量为坐标的线性函数,:,位移模式（续）,将,上式中的第一式应用于,4,个结点，则有：,位移模式（续）,由上式可解出,a,1,a,2,a,3,和,a,4,再代回位移分量的表达式，可得：,式中：,为形函数，其中：,位移模式（续）,位移模式（续）,用,同样的方法，可以得到：,合并,的表达式，可以将单元内任一点的位移写为：,单元中的应变和应力,在,空间问题中，每点有,6,个应变分量，由几何关系：,将,的表达式代入上式，得到,:,式中：,单元中的应变和应力,(,续,),单元中的应变和应力,(,续,),可以看出，应变矩阵,B,中的元素都是常量，从而单元中的应变都是常量，故线性位移模式的四面体单元是常应变单元。,由应力,-,应变关系，得到单元中的应力为：,式中,D,为一般空间问题的弹性矩阵,从下面,D,的表达式可以看出，单元中的应力都是常数。,单元中的应变和应力,(,续,),单元刚度矩阵和结点载荷向量,仿照平面问题的推导，可以得到四面体单元的刚度矩阵：,分块形式：,单元刚度矩阵和结点载荷向量（续）,式中子矩阵可以表达为：,其中：,单元刚度矩阵和结点载荷向量（续）,经过与平面问题中同样的推导，单元的体积力向量和表面力向量可以用下列公式计算：,经叠加，组合，得有限元支配方程：,代入约束条件，可解出结点位移向量，从而就可以求出各单元的应变和应力。,