五年中考三年模拟九年级上数学北师大版培训课件.doc

五年中考三年模拟九年级上数学-北师大版

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[第1页 第2题]　如图1-1-1, 四边形ABCD中, AD∥BC且AD=BC, 当△ABC满足什么条件时, 四边形ABCD是菱形? 请说明理由.

图1-1-1
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　当△ABC为等腰三角形, 即AB=BC时, 四边形ABCD为菱形. 理由如下:
∵四边形ABCD中, AD∥BC且AD=BC,
∴四边形ABCD为平行四边形.
又AB=BC, ∴平行四边形ABCD为菱形.

[第1页 第3题]　(2012四川成都中考) 如图1-1-2, 在菱形ABCD中, 对角线AC, BD交于点O, 下列说法错误的是(　　)

图1-1-2
A. AB∥DC　　B. AC=BD　　C. AC⊥BD　　D. OA=OC
[答案]　B
[解析]　A选项, 菱形的对边平行且相等, 所以AB∥DC, 本选项正确; B选项, 菱形的对角线不一定相等, 本选项错误; C选项, 菱形的对角线一定互相垂直, 所以AC⊥BD, 本选项正确; D选项, 菱形的对角线互相平分, 所以OA=OC, 本选项正确. 故答案为B.

[第1页 第4题]　(2013湖南怀化中考) 如图1-1-3, 在菱形ABCD中, AB=3, ∠ABC=60°, 则对角线AC=(　　)

图1-1-3
A. 12　　B. 9　　C. 6　　D. 3
[答案]　D
[解析]　∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC, 又∵∠ABC=60°,
∴△ABC为等边三角形, ∴AC=AB=3. 故选D.

[第1页 第1题]　用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是(　　)
A. 等腰梯形　　B. 正方形　　C. 矩形　　D. 菱形
[答案]　D
[解析]　四条边相等的四边形是菱形.

[第1页 第6题]　(2013山东淄博中考) 如图1-1-5, 菱形纸片ABCD中, ∠A=60°, 折叠菱形纸片ABCD, 使点C落在DP(P为AB中点) 所在的直线上, 得到经过点D的折痕DE. 则∠DEC的大小为(　　)

图1-1-5
A. 78°　　B. 75°　　C. 60°　　D. 45°
[答案]　B
[解析]　连接BD, ∵四边形ABCD为菱形, ∠A=60°, ∴△ABD为等边三角形, ∠ADC=120°, ∠C=60°, ∵P为AB的中点,
∴DP为∠ADB的平分线, 即∠ADP=∠BDP=30°, ∴∠PDC=90°, ∴由折叠的性质得∠CDE=∠PDE=45°, 在△DEC中, ∠DEC=180°-(∠CDE+∠C) =75°. 故选B.

[第1页 第7题]　(2013江苏无锡中考) 如图1-1-6, 菱形ABCD中, 对角线AC交BD于O, AB=8, E是CD的中点, 则OE的长等于　　　　.  

图1-1-6
[答案]　4
[解析]　∵四边形ABCD是菱形, ∴BC=AB=8, OD=BO,
∵E是CD的中点, ∴OE是△DBC的中位线, ∴OE=BC=4.

[第1页 第8题]　如图1-1-7, 在菱形ABCD中, 已知AB=10, AC=16, 那么菱形ABCD面积为　　　　.  

图1-1-7
[答案]　96
[解析]　由题意得AC⊥BD, OA=OC, OB=OD, 又AB=10, AC=16, ∴OA=8. ∴BO==6, ∴BD=12, ∴S菱形ABCD=AC·BD=×16×12=96.

[第1页 第9题]　(2013四川内江中考) 如图1-1-8, 已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8, M、N分别是边BC、CD的中点, P是对角线BD上一点, 则PM+PN的最小值=　　　　.  

图1-1-8
[答案]　5
[解析]　作M关于BD的对称点Q, 连接NQ, 交BD于P, 连接MP、NP, 此时MP+NP的值最小, 连接AC, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, ∠QBP=∠MBP, 即Q在AB上, ∵MQ⊥BD, ∴AC∥MQ, ∵M为BC的中点, ∴Q为AB的中点, ∵N为CD的中点, 四边形ABCD是菱形, ∴BQ∥CD, BQ=CN, ∴四边形BQNC是平行四边形, ∴NQ=BC, ∵四边形ABCD是菱形, ∴CP=AP=3, BP=PD=4, 在Rt△BPC中, 由勾股定理得BC=5, 即NQ=5, ∴MP+NP=QP+NP=QN=5, 故答案为5.

[第2页 第10题]　(2013广东广州中考) 如图1-1-9, 四边形ABCD是菱形, 对角线AC与BD相交于点O, AB=5, AO=4, 求BD的长.

图1-1-9
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD且BO=OD, 即△ABO是直角三角形,
在Rt△ABO中, BO2=AB2-AO2, 其中AO=4, AB=5,
∴BO=3, 又∵BO=OD, ∴BD=2BO=6, ∴BD的长为6.

[第2页 第12题]　下列条件:
①四边相等的四边形;
②对角线互相垂直且平分的四边形;
③一组邻边相等的四边形;
④一条对角线平分一组对角的平行四边形.
其中能判断四边形是菱形的有(　　)
A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个
[答案]　C
[解析]　①四边相等的四边形是菱形, 故①正确. ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形, 故②正确. ③一组邻边相等的平行四边形是菱形, 故③错误. ④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形, 故④正确. 故选C.

[第2页 第13题]　(2013海南中考) 如图1-1-11, 将△ABC沿BC方向平移得到△DCE, 连接AD, 下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是(　　)

图1-1-11
A. AB=BC　　B. AC=BC　　C. ∠B=60°　　D. ∠ACB=60°
[答案]　B
[解析]　由平移, 得AC∥DE, AC=DE, ∴四边形ACED是平行四边形, 又∵BC=CE, ∴当AC=BC时, AC=CE, ∴平行四边形ACED是菱形. 故选B.

[第2页 第11题]　四边形ABCD是菱形, 点P是对角线AC上一点, 以点P为圆心, PB为半径画弧, 交BC的延长线于点F, 连接PF, PD, PB.
(1) 如图1-1-10①, 当点P是AC的中点时, 请直接写出PF和PD的数量关系;
(2) 如图1-1-10②, 当点P不是AC的中点时, 求证: PF=PD.

图1-1-10
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　(1) PF=PD.
(2) 证明: ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD, ∠BAC=∠DAC.
在△ABP和△ADP中,

∴△ABP≌△ADP(SAS),
∴PB=PD,
又∵PB=PF,
∴PF=PD.

[第2页 第14题]　(2013四川遂宁中考) 如图1-1-12, 已知四边形ABCD是平行四边形, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是E, F, 并且DE=DF.
求证: (1) △ADE≌△CDF;
(2) 四边形ABCD是菱形.

图1-1-12
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　(1) ∵DE⊥AB, DF⊥BC,
∴∠AED=∠CFD=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C.
在△ADE和△CDF中,

∴△ADE≌△CDF(AAS).
(2) ∵△ADE≌△CDF, ∴AD=CD,
又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴四边形ABCD是菱形.

[第2页 第15题]　(2013山东泰安中考) 如图1-1-13, 在四边形ABCD中, AB=AD, CB=CD, E是CD上一点, BE交AC于F, 连接DF.
(1) 证明: ∠BAC=∠DAC, ∠AFD=∠CFE;
(2) 若AB∥CD, 试证明四边形ABCD是菱形;
(3) 在(2) 的条件下, 试确定点E的位置, 使∠EFD=∠BCD, 并说明理由.

图1-1-13
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　(1) 证明: ∵AB=AD, CB=CD, AC=AC,
∴△ABC≌△ADC,
∴∠BAC=∠DAC.
∵AB=AD, ∠BAF=∠DAF, AF=AF,
∴△ABF≌△ADF, ∴∠AFB=∠AFD.
又∵∠CFE=∠AFB, ∴∠AFD=∠CFE.
(2) 证明: ∵AB∥CD,
又∵∠BAC=∠DAC,
∴∠DAC=∠ACD, ∴AD=CD.
∵AB=AD, CB=CD,
∴AB=CB=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
(3) 当BE⊥CD时, ∠EFD=∠BCD. 理由:
∵四边形ABCD为菱形,
∴BC=CD, ∠BCF=∠DCF.
又∵CF=CF, ∴△BCF≌△DCF,
∴∠CBF=∠CDF.
∵BE⊥CD, ∴∠BEC=∠DEF=90°,
∴∠EFD=∠BCD.

[第3页 第2题]　(2013山东滨州, 8, ★★☆) 如图1-1-20, 将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置, 连接AD、BD, 则下列结论: ①AD=BC; ②BD、AC互相平分; ③四边形ACED是菱形. 其中正确的个数是(　　)

图1-1-20
A. 0　　B. 1　　C. 2　　D. 3
[答案]　D
[解析]　∵△DCE是由△ABC平移得到的, ∴AB∥CD, AB=CD.
∴四边形ABCD是平行四边形. ∴AD=BC, BD、AC互相平分, 即①②正确. 同理, 四边形ACED是平行四边形, 又∵△ABC是等边三角形, ∴AC=CE, ∴平行四边形ACED是菱形, 即③正确.

[第3页 第3题]　(2014辽宁本溪期中, 23, ★★☆) 如图1-1-17, 在△ABC中, D、E分别是AB、AC的中点, BE=2DE, 延长DE到F, 使得EF=BE, 连接CF. (12分)
(1) 求证: 四边形BCFE是菱形;
(2) 若CE=4, ∠BCF=120°, 求四边形BCFE的面积.

图1-1-17
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　(1) 证明: ∵D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE∥BC, BC=2DE.
∵BE=2DE, EF=BE, ∴BC=EF,
∴四边形BCFE是平行四边形,
又EF=BE, ∴平行四边形BCFE是菱形.
(2) 连接BF交CE于点O.
由(1) 知四边形BCFE是菱形.
∴BF⊥CE, ∠BCO=∠BCF=60°, OC=CE=2.
在Rt△BOC中, BO===2.
∴BF=2BO=4,
∴四边形BCFE的面积=CE·BF=×4×4=8.

[第3页 第1题]　(2013广东佛山一模, 7, ★☆☆) 如图1-1-15, 在菱形ABCD中, 对角线AC与BD交于点O, OE⊥AB, 垂足为E, 若∠ADC=130°, 则∠AOE的大小为(　　)

图1-1-15
A. 75°　　B. 65°　　C. 55°　　D. 50°
[答案]　B
[解析]　在菱形ABCD中, ∠ADC=130°, ∴∠BAD=180°-130°=50°, ∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°, ∵OE⊥AB,
∴∠AEO=90°, ∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°.

[第3页 第16题]　如图1-1-14①所示, 在△ABC和△EDC中, AC=CE=CB=CD, ∠ACB=∠ECD=90°, AB与CE交于F, ED与AB, BC分别交于M, H.

①

②
图1-1-14
(1) 求证: CF=CH;
(2) 如图1-1-14②所示, △ABC不动, 将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时, 试判断四边形ACDM是什么四边形, 并证明你的结论.
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　(1) 证明: ∵∠ACB=∠ECD=90°,
∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB, ∴∠1=∠2.
又∵AC=CE=CB=CD,
∴△ACB与△ECD都是等腰直角三角形,
∴∠A=∠D=45°.
∴△ACF≌△DCH, ∴CF=CH.
(2) 四边形ACDM是菱形. 证明如下:
∵∠ACB=∠ECD=90°, ∠BCE=45°,
∴∠1=45°, ∠2=45°.
易知∠E=∠B=45°,
∴∠1=∠E, ∠2=∠B.
∴AC∥MD, CD∥AM,
∴四边形ACDM是平行四边形.
又∵AC=CD, ∴平行四边形ACDM是菱形.

[第4页 第1题]　如图1-1-25所示, 已知以△ABC的三边为边在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△ACF, 请回答下列问题:
(1) 四边形ADEF是什么四边形?
(2) 当△ABC满足什么条件时, 四边形ADEF是菱形?
(3) 当△ABC满足什么条件时, 以A、D、E、F为顶点的四边形不存在?

图1-1-25
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　(1) 四边形ADEF是平行四边形.
在等边△BCE和等边△ABD中, BD=AB, BE=BC.
又∠DBA=∠EBC=60°, ∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA, 即∠DBE=∠ABC. ∴△DBE≌△ABC(SAS), ∴DE=AC=AF.
同理, AD=AB=EF.
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2) 若AD=AF, 则四边形ADEF为菱形,
∴当△ABC满足AB=AC时, 四边形ADEF为菱形.
(3) 由(1) 可得∠BAC=∠BDE=60°+∠ADE.
当∠ADE=0°时, 以A、D、E、F为顶点的四边形不存在, 此时∠BAC=60°. ∴当∠BAC=60°时, 以A、D、E、F为顶点的四边形不存在.

[第4页 第2题]　某校九年级学习小组在探究学习过程中, 用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图1-1-26①所示位置放置, 现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°< α< 90°), 如图1-1-26②, AE与BC交于点M, AC与EF交于点N, BC与EF交于点P.
(1) 求证: AM=AN;
(2) 当旋转角α=30°时, 四边形ABPF是什么样的特殊四边形? 并说明理由.

图1-1-26
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　(1) 证明: ∵∠α+∠EAC=90°, ∠NAF+∠EAC=90°, ∴∠α=∠NAF. 又∵∠B=∠F, AB=AF, ∴△ABM≌△AFN, ∴AM=AN.
(2) 四边形ABPF是菱形.
理由: ∵∠α=30°, ∠EAF=90°, ∴∠BAF=120°.
又∵∠B=∠F=60°, ∴∠B+∠BAF=60°+120°=180°, ∠F+∠BAF=60°+120°=180°, ∴AF∥BC, AB∥EF, ∴四边形ABPF是平行四边形.
又∵AB=AF, ∴平行四边形ABPF是菱形.

[第4页 第3题]　(2013福建泉州, 16, ★★☆) 如图1-1-21, 菱形ABCD的周长为8, 对角线AC和BD相交于点O, AC∶BD=1∶2, 则AO∶BO=　　　　, 菱形ABCD的面积S=　　.  

图1-1-21
[答案]　1∶2; 16
[解析]　∵四边形ABCD是菱形, ∴AO=AC, BO=BD, AC⊥BD, ∴AO∶BO=AC∶BD=1∶2. ∵菱形ABCD的周长为8, ∴AB=2, 设AO=k, BO=2k, 则AB==k=2, ∴k=2, ∴AO=2, BO=4, ∴菱形ABCD的面积S=4S△AOB=4××2×4=16. 故答案为16.

[第4页 第4题]　(2013湖北黄冈, 17, ★★☆) 如图1-1-22, 四边形ABCD是菱形, 对角线AC、BD相交于点O, DH⊥AB于H, 连接OH, 求证: ∠DHO=∠DCO. (6分)

图1-1-22
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　∵四边形ABCD是菱形, ∴OD=OB, ∠COD=90°.
∵DH⊥AB于H, ∴∠DHB=90°, ∴OH=BD=OB,
∴∠OHB=∠OBH.
又∵AB∥CD, ∴∠OBH=∠ODC, ∴∠OHB=∠ODC.
在Rt△COD中, ∠ODC+∠OCD=90°,
又∠DHO+∠OHB=90°,
∴∠DHO=∠DCO.

[第4页 第5题]　(2013江苏常州, 23, ★★☆) 如图1-1-23, 在△ABC中, AB=AC, ∠B=60°, ∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角, AD平分∠FAC, CD平分∠ECA.
求证: 四边形ABCD是菱形. (7分)

图1-1-23
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　证法一: ∵AB=AC, ∠B=60°,
∴△ABC是正三角形,
∴∠FAC=120°, AB=AC=BC. 又AD平分∠FAC, ∴∠DAC=∠FAC=60°. 同理可证∠DCA=60°, ∴△ADC是正三角形, ∴AD=AC=DC, ∴AB=BC=AD=DC, ∴四边形ABCD是菱形.
证法二: ∵AB=AC, ∠B=60°, ∴△ABC是正三角形, ∴∠FAC=120°, AB=BC.
又AD平分∠FAC, ∴∠DAF=∠FAC=60°, ∴∠B=∠DAF, ∴AD∥BC(同位角相等, 两直线平行).
同理可证AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形.
又AB=BC, ∴平行四边形ABCD是菱形.

[第3页 第1题]　(2013四川凉山州, 9, ★★☆) 如图1-1-19, 菱形ABCD中, ∠B=60°, AB=4, 则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(　　)

图1-1-19
A. 14　　B. 15　　C. 16　　D. 17
[答案]　C
[解析]　∵四边形ABCD为菱形, ∠ABC=60°, ∴△ABC是等边三角形. ∴AB=BC=AC=4. ∴正方形ACEF的周长=4×4=16,
∴选C.

[第4页 第6题]　(2013新疆乌鲁木齐, 19, ★★☆) 如图1-1-24, 在△ABC中, ∠ACB=90°, CD⊥AB于D, AE平分∠BAC, 分别与BC, CD交于E, F, EH⊥AB于H, 连接FH. 求证: 四边形CFHE是菱形. (10分)

图1-1-24
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　证法一: ∵AE平分∠BAC, ∴∠CAE=∠HAE. ∵EH⊥AB于H, ∴∠AHE=∠ACB=90°. 又∵AE=AE, ∴△ACE≌△AHE. ∴EC=EH, AC=AH. 又∵∠CAE=∠HAE, AF=AF,
∴△AFC≌△AFH. ∴FC=FH. ∵CD⊥AB于D, ∠ACB=90°,
∴∠DAF+∠AFD=∠CAE+∠AEC=90°. 又∵∠DAF=∠CAE, ∠AFD=∠CFE. ∴∠CFE=∠CEF.
∴CF=CE. ∴EC=EH=HF=FC. ∴四边形CFHE是菱形.
证法二: ∵AE平分∠BAC, EH⊥AB, EC⊥AC, ∴∠1=∠2, EH=EC. ∵∠1+∠3=90°, ∠2+∠4=90°, ∠4=∠5, ∴∠3=∠5. ∴EC=CF. ∴EH=CF. ∵EH⊥AB, CD⊥AB, ∴EH∥CF. ∴四边形CFHE是平行四边形. 又∵EH=EC, ∴平行四边形CFHE是菱形.

[第5页 第1题]　下面对矩形的定义正确的是(　　)
A. 矩形的四个角都是直角
B. 矩形的对角线相等
C. 矩形是中心对称图形
D. 有一个角是直角的平行四边形
[答案]　D
[解析]　A、B、C说的全部是矩形的性质, 故A、B、C选项错误, 有一个角是直角的平行四边形是矩形, 故D选项正确. 故选D.

[第5页 第2题]　如图1-2-1, 要使▱ABCD成为矩形, 需添加的条件是(　　)

图1-2-1
A. AB=BC　　B. AC⊥BD　　C. ∠ABC=90°　　D. ∠1=∠2
[答案]　C
[解析]　根据矩形的定义可知, 有一个角是直角的平行四边形是矩形.

[第5页 第3题]　如图1-2-2所示, 在▱ABCD中, AC、BD交于点O, AE⊥BC于E, EF交AD于F, 求证: 四边形AECF是矩形.

图1-2-2
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC, BO=DO, ∴∠1=∠2,
又∵∠FOD=∠EOB,
∴△DOF≌△BOE, ∴DF=BE,
∴AD-DF=BC-BE, 即AF=EC,
又∵AF∥EC, ∴四边形AECF是平行四边形,
又∵AE⊥BC, 所以∠AEC=90°,
∴平行四边形AECF是矩形.

[第5页 第5题]　(2013四川宜宾中考) 矩形具有而菱形不具有的性质是(　　)
A. 两组对边分别平行　　B. 对角线相等　　C. 对角线互相平分　　D. 两组对角分别相等
[答案]　B
[解析]　熟练掌握菱形与矩形的性质.

[第5页 第4题]　如图1-2-3, 在△ABC中, D是BC边上的一点, E是AD的中点, 过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F, 且AF=BD, 连接BF.
(1) 线段BD与CD有何数量关系, 为什么?
(2) 当△ABC满足什么条件时, 四边形AFBD是矩形? 请说明理由.

图1-2-3
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　(1) BD=CD.
理由: ∵E是AD的中点, ∴AE=DE.
又∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DCE.
又∵∠AEF=∠DEC, ∴△AEF≌△DEC, ∴AF=CD.
∵AF=BD, ∴BD=CD.
(2) 当△ABC满足AB=AC时, 四边形AFBD是矩形.
理由: ∵AF∥BD, AF=BD,
∴四边形AFBD是平行四边形.
∵AB=AC, BD=CD, ∴AD⊥BC, 即∠ADB=90°,
∴平行四边形AFBD是矩形.

[第3页 第4题]　(2014浙江杭州萧山党湾中学月考, 20, ★★☆) 如图1-1-18, 在▱ABCD中, E、F分别为边AB、CD的中点, BD是对角线, 过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G. (11分)
(1) 求证: DE∥BF;
(2) 若∠G=90°, 求证: 四边形DEBF是菱形.

图1-1-18
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　(1) 在▱ABCD中, AB∥CD, AB=CD.
∵E、F分别为边AB、CD的中点,
∴DF=DC, BE=AB,
∴DF=BE.
∴四边形DEBF为平行四边形,
∴DE∥BF.
(2) ∵AG∥BD, ∴∠G=∠DBC=90°,
∴△DBC为直角三角形.
又∵F为边CD的中点, ∴BF=DC=DF.
又∵四边形DEBF为平行四边形,
∴四边形DEBF是菱形.

[第5页 第6题]　(2013广东茂名中考) 如图1-2-4, 矩形ABCD的两条对角线相交于点O, ∠AOD=60°, AD=2, 则AC的长是(　　)

图1-2-4
A. 2　　B. 4　　C. 2　　D. 4
[答案]　B
[解析]　在矩形ABCD中, OC=OD, ∴∠OCD=∠ODC, ∵∠AOD=60°, ∴∠OCD=∠AOD=×60°=30°, 又∵∠ADC=90°, ∴AC=2AD=2×2=4. 故选B.

[第5页 第7题]　(2013贵州遵义中考) 如图1-2-5, 在矩形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, 点E, F分别是AO, AD的中点, 若AB=6 cm, BC=8 cm, 则△AEF的周长=　　　　.  

图1-2-5
[答案]　9 cm
[解析]　在Rt△ABC中, AC==10 cm, ∵点E, F分别是AO, AD的中点, ∴EF是△AOD的中位线, ∴EF=OD=BD=AC=2.5 cm, AF=AD=BC=4 cm, AE=AO=AC=2.5 cm, ∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9 cm.

[第5页 第8题]　如图1-2-6所示, 矩形ABCD中, AE⊥BD, ∠DAE∶∠BAE=3∶1, 求∠BAE、∠EAO的度数.

图1-2-6
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°, ∴∠BAE+∠DAE=90°,
又∵∠DAE∶∠BAE=3∶1, ∴∠BAE=22.5°, ∠DAE=67.5°.
∵AE⊥BD, ∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°,
∴∠OAB=∠ABO=67.5°,
∴∠EAO=67.5°-22.5°=45°.

[第5页 第9题]　如图1-2-7所示, 矩形ABCD中, E为AD上一点, EF⊥CE交AB于F, 若DE=2, 矩形的周长为16, 且CE=EF, 求AE的长.

图1-2-7
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°, AD=BC, AB=DC.
∵EF⊥CE, ∴∠AEF+∠DEC=90°.
又∵∠AEF+∠AFE=90°, ∴∠AFE=∠DEC.
又∵EF=CE, ∴△AEF≌△DCE. ∴AE=DC.
∵AB+BC+DC+AD=16, ∴AD+DC=8.
∴AE+2+AE=8, ∴AE=3.

[第6页 第10题]　如图1-2-8, 矩形ABCD的对角线相交于点O, OF⊥BC, CE⊥BD, OE∶BE=1∶3, OF=4, 求∠ADB的度数和BD的长.

图1-2-8
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　由矩形的性质可知OD=OC.
又由OE∶BE=1∶3可知E是OD的中点.
又因为CE⊥OD, 所以OC=CD,
所以OC=CD=OD, 即△OCD是等边三角形.
故∠CDB=60°, 所以∠ADB=30°.
又OB=OC, OF⊥BC, 所以点F为BC的中点, 所以CD=2OF=8, 所以BD=2OD=2CD=16.

[第6页 第14题]　如图1-2-12, 在△ABC中, D是AB边的中点, △ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形, 连接DE、DF.
求证: DE=DF.

图1-2-12
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　分别取AC、BC的中点M、N, 连接MD、ND、EM、FN, 又∵D为AB的中点, ∠AEC=90°, ∠BFC=90°,
∴EM=DN=AC, FN=MD=BC,
DN∥CM且DN=CM,

∴四边形MDNC为平行四边形,
∴∠CMD=∠CND.
∵∠EMC=∠FNC=90°,
∴∠EMC+∠CMD=∠FNC+∠CND,
即∠EMD=∠FND,
∴△EMD≌△DNF.
∴DE=DF.

[第6页 第11题]　(2013重庆A卷中考) 如图1-2-9, 在矩形ABCD中, E、F分别是AB、CD上的点, AE=CF, 连接EF、BF, EF与对角线AC交于点O, 且BE=BF, ∠BEF=2∠BAC.
(1) 求证: OE=OF;
(2) 若BC=2, 求AB的长.

图1-2-9
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　(1) ∵四边形ABCD是矩形,
∴CD∥AB, ∴∠FCO=∠EAO.
在△FCO与△EAO中,

∴△FCO≌△EAO(AAS),

∴OF=OE.
(2) 如图, 连接OB,
∵BE=BF, OE=OF, ∴BO⊥EF.
∵△FCO≌△EAO, ∴OA=OC,
∴OB=AC=OA, ∴∠BAC=∠ABO.
在Rt△BEO中, ∠BEF=2∠BAC, ∠BAC=∠ABO,
∴2∠BAC+∠BAC=90°, 解得∠BAC=30°.
∵BC=2, ∴AC=2BC=4, ∴AB==6.

[第6页 第15题]　如图1-2-13, E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点, 要使四边形EFGH为矩形, 四边形ABCD应具备的条件是(　　)

图1-2-13
A. 一组对边平行而另一组对边不平行
B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直
D. 对角线互相平分
[答案]　C
[解析]　因为E、H分别是AB、AD的中点, 所以EH是△ABD的中位线, 所以EH平行且等于BD, 同理, FG平行且等于BD, 故EH平行且等于FG. 由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形, 可知四边形EFGH是平行四边形. 要使四边形EFGH为矩形, 只需满足一个角是直角即可. 由EH∥BD, 知只要满足AC⊥BD就能得到一个角为直角, 因此选C.

[第6页 第12题]　如图1-2-10, △ABC中, ∠C=90°, D是AB边的中点, AC=3, BC=4, 则CD=　　　　.  

图1-2-10
[答案]　2.5
[解析]　由勾股定理可求得AB==5, 再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD=2.5.

[第6页 第16题]　如图1-2-14, ▱ABCD中, 点O是AC与BD的交点, 过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F.
(1) 求证: △AOE≌△COF;
(2) 请连接EC、AF, 则EF与AC满足什么条件时, 四边形AECF是矩形? 并说明理由.

图1-2-14
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　(1) 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC, AB∥CD. ∴∠AEO=∠CFO.
在△AOE和△COF中,

∴△AOE≌△COF.
(2) 当AC=EF时, 四边形AECF是矩形. 理由: ∵△AOE≌△COF, ∴OE=OF, AO=CO. ∴四边形AECF是平行四边形. 又∵AC=EF, ∴平行四边形AECF是矩形.

[第6页 第13题]　如图1-2-11, 在▱ABCD中, AE⊥BD于点E, CF⊥BD于点F, G, H分别是AB, CD的中点, 求证: 四边形EGFH为平行四边形.

图1-2-11
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　∵AE⊥BD, G是AB的中点,
∴EG=AB=BG, ∴∠GEB=∠GBE.
同理可得FH=DC=DH, ∠DFH=∠FDH.
∵在▱ABCD中, AB=CD, AB∥CD,
∴EG=FH, ∠GBE=∠FDH.
∴∠GEB=∠DFH, ∴EG∥FH.
∴四边形EGFH为平行四边形.

[第7页 第1题]　(2013辽宁沈阳一模, 5, ★★☆) 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是(　　)
A. 正方形　　B. 矩形　　C. 菱形　　D. 等腰梯形
[答案]　C
[解析]　如图所示, E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中点, 连AC、BD,

因为E、F分别是AB、BC的中点, 所以EF=AC, 同理, HG=AC, FG=BD, EH=BD. 又因为四边形ABCD是矩形, 所以AC=BD, 所以EF=FG=GH=HE, 所以四边形EFGH是菱形. 故选C.

[第7页 第2题]　(2014山东泰安期中, 17, ★☆☆) 如图1-2-16, ▱ABCD的对角线相交于点O, 请你添加一个条件　　　　(只添一个即可), 使▱ABCD是矩形.  

图1-2-16
[答案]　∠ABC=90°(答案不唯一)
[解析]　（无解析）

[第7页 第2题]　(2013湖南邵阳, 10, ★★☆) 如图1-2-20, 点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点, 且AD=DE, 连接BE交CD于点O, 连接AO, 下列结论不正确的是(　　)

图1-2-20
A. △AOB≌△BOC　　B. △BOC≌△EOD　　C. △AOD≌△EOD　　D. △AOD≌△BOC
[答案]　A
[解析]　∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC, ∠ADO=∠EDO=∠C=90°, ∵AD=DE, ∴BC=DE. 在△BOC与△EOD中, ∠EDO=∠C=90°, BC=DE, ∠BOC=∠DOE, ∴△BOC≌△EOD, 故B选项正确. 在△AOD和△EOD中, ∠ADO=∠EDO=90°, AD=DE, OD=OD, ∴△AOD≌△EOD, 故C选项正确. 由B、C知△AOD≌△BOC, 故D选项正确.

[第7页 第1题]　(2013湖北宜昌, 7, ★★☆) 如图1-2-19, 在矩形ABCD中, AB< BC, AC, BD相交于点O, 则图中等腰三角形的个数是(　　)

图1-2-19
A. 8　　B. 6　　C. 4　　D. 2
[答案]　C
[解析]　∵四边形ABCD是矩形, ∴OA=OB=OC=OD, 又∵AB< BC, ∴△AOB, △COB, △COD, △AOD都是等腰三角形. 故选C.

[第7页 第3题]　(2013福建宁德质检, 18, ★★☆) 如图1-2-17, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=8, BC=6, 点P是AB上的任意一点, 作PD⊥AC于点D, PE⊥CB于点E, 连接DE, 则DE的最小值为　　　　.  

图1-2-17
[答案]　4.8
[解析]　∵Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=8, BC=6, ∴AB=10, 连接CP, ∵PD⊥AC, PE⊥CB, ∴四边形DPEC是矩形,
∴DE=CP, 当DE最小时, CP最小, 根据垂线段最短可知, 当CP⊥AB时, CP最小, 且最小值为=4.8, 故答案为4.8.

[第7页 第17题]　(2013湖南张家界中考) 如图1-2-15, △ABC中, 点O是边AC上一个动点, 过O作直线MN∥BC. 设MN交∠ACB的平分线于点E, 交∠ACB的外角平分线于点F.
(1) 求证: OE=OF;
(2) 若CE=12, CF=5, 求OC的长;
(3) 当点O在边AC上运动到什么位置时, 四边形AECF是矩形? 并说明理由.

图1-2-15
[答案]　(答案详见解析)
[解析]　(1) 证明: ∵CF平分∠ACD, 且MN∥BD,
∴∠ACF=∠FCD=∠CFO, ∴OF=OC,
同理可证OC=OE, ∴OE=OF.
(2) 由(1) 知OF=OC, OC=OE,
∴∠OCF=∠OFC, ∠OCE=∠OEC,
∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC,
而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°,
∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°, ∴△ECF是直角三角形,
∴EF===13,
∴OC=EF=.
(3) 当点O移动到AC的中点时, 四边形AECF为矩形.
理由如下: 由(1) 知OE=OF,
∵O是AC的中点, ∴OA=OC,
∴四边形AECF为平行四边形,
又∵∠ECF=90°,
∴平行四边形AECF为矩形.

[第7页 第3题]　(2013北京, 11, ★★☆) 如图1-2-21, O是矩形ABCD的对角线AC的中点, M是AD的中点, 若AB=5, AD=