随机过程第二章random process 1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 随机过程的概念与基本类型,随机过程的定义和统计描述,随机过程分布和数字特征,复随机过程,随机过程基本类型,概率论主要研究的对象是随机变量，即随机试验的结果，可用一个或有限个随机变量描述的随机现象。而有些随机现象仅用一个或有限个随机变量描述是不够的，必须用无穷多个随机变量来描述。,一、随机过程是随机变量的推广,随机变量,在每次试验的结果中，以一定的概率取某个事先未知，但为确定的数值。,在实际应用中，我们经常要涉及到在试验过程中随时间t而改变的随机变量。,例如：,生物群体的增长问题,，记t时刻群体的个数；,电话交换机在一定时间段内的呼叫次数；,一定时期内的天气预,报,等等。,二、随机过程的定义,对接收机的输出噪声电压，作一次“长时间的观察”，测量获得的噪声电压X,t,是一个样本函数,1.通常我们可以根据随机变量X(t)在时间和状态上的类型区分随机过程的类型。,三、随机过程的分类,连续随机过程,随机序列,离散参数链,参数集,状态空间,可数集,区间,离散随机过程,连续,型,离散,型,在时间和状态上都连续,连续型随机过程,在时间上连续，,状态上离散,离散型随机过程,在时间上离散，,状态上连续,连续型随机序列,在时间上离散，,状态上离散,离散参数链,2.按概率特性分：独立增量过程、马尔科,夫过程、平稳过程、二阶矩过程等,以其分,布函数为依据，有正态过程，泊松过程等。,2.2 随机过程的分布,一、有限维分布族,对任一固定时刻，随机过程是一随机变量，这时可用研究随机变量的方法研究随机过程的统计特性，但随机过程是一族随机变量，因此，对随机过程的描述，需用有限维分布函数族。,有限个随机变量,统计规律,联合分布函数,随机过程,统计规律,有限维分布函数族,有限维分布函数的性质,对称性,相容性,有限维分布函数族,对称性,相容性,Kolmogorov存在定理,设已给参数集T及满足对称性和相容性条件的分布函数族F，则必存在概率空间（,F,P）及定义在其上的随机过程X(t),tT，它的有限维分布函数族是F。,有限维特征函数族：,二、有限维联合分布数函数族,有限维联合分布函数族：,设X(t),tT是随机过程，如果对任意tT，EX(t)存在，则称函数,为X(t)的均值函数，,反映随机过程在时刻t的平均值。,一、均值函数,2.3 随机过程的数字特征,我们把随机变量（随机过程对应于某个固定,t,值）的二阶原点矩,记作,称为随机过程 的均方值,函数,。,（二）均方值,函数,与方差,称为随机过程 的方差,函数,。,而,把 的,二阶中心矩，,是,t,的确定函数，它描述了随机过程的诸,样本函数对数学期望,的偏离程度见图示。,是非负函数，它的平方根称,为随机过程的均方差函数。,即：,均值和方差刻划了随机过程在各个时刻的统计特性，但不能,描,述过程在不同时刻的相关关系，这点可从,下,图所示的两个随机过程,和 来说明，从直观上看，它们具有大致相同的均值和方差，但两者的内部结构却有非常明显的差别,（三）自相关函数,具有相同,均值函数,和方差,函数,的两个不同的随机过程,而,的样本函数变化激烈，波动性大，其不同时刻的状态之间的联系不明显，且时刻间隔越大，联系越弱.,其中,随时间变化缓慢，,这个过程在两个不同时刻的,状态之间有较强的,相,关性;,因此，必须引入描述随机过程在不同时刻之间相关程度的数字特征。,自相,关函数（简称相关函数）就是用来描述随机过程两个不同时刻,，,状态之间内在联系的重要数字特征。,称为随机过程,X(t),的自相关函数，简称相关函数，,我们把随机过程,在任意两个不同时刻的随机变量 与,的混合原点矩（若存在）,记作,若取,，,称 与,的中心矩,为随机过程的自协方差函数，简称协方差函数。,则有,此时相关函数即为均方值,。,(1),(2),(3),随机过程数字特征之间的关系：,从这些关系式看出，均值函数,和相关函数,是最基本的两个数字特征，其它数字特征，协方差函数 方差,函数都可以由它们确定。,四、互相关函数,两个随机过程之间的关系,互协方差函数,互相关函数,注：上式表面如果X，Y不相关，且各自的均值函数为0，则它们的互相关函数也为0。,求W(t)的均值函数和相关函数。,2.4 复随机过程,二、复随机过程的数字特征函数,均值函数,方差函数,相关函数,协方差函数,相互之间的关系,三、协方差函数的性质,二阶矩过程,正交增量过程,独立增量过程,马尔可夫过程,正态过程,维纳过程,平稳过程,2.5,随机过程的几种基本类型,二阶矩过程,定义：设已给定随机过程 ，,如果对于一切,均有 ，,则称 为二阶矩过程。,1、二阶矩过程必存在均值,2、由Schwartz不等式,知其相关函数和协方差都存在。,性质：,例题：设X(t),tT是正交增量过程，T=a,b为有限区间，且规定X(a)=0，当astb时，求其协方差函数。,正交增量过程,2、特点：不相重叠的区间上状态的增量互不相关。,独立增量过程,2、特点：独立增量过程在任一个时间间隔上过程状态的改变，不影响任一个与它不相重叠的时间间隔上状态的改变。,正交增量过程,独立增量过程,定义依据：不相重叠的时间区间上增量的统计相依性,互不相关,相互独立,正交增量过程,独立增量过程,正交增量过程,独立增量过程,二阶矩存在，,均值函数恒为零,3、独立增量过程与正交增量过程的关系,4、独立增量过程，其有限维分布，可由,增量的分布所确定,即有限维分布可由增量分布来确定。,5.平稳独立增量,马尔可夫过程,2、马尔可夫性,系统在已知现在所处状态的条件下，它将来所处的状态与过去所处的状态无关。,例 证明独立增量过程是马尔可夫过程,条件分布函数具有马尔可夫性,所以是马尔可夫过程。,(正态过程的一种特殊情况),维纳过程,统计特征,例：证明维纳过程是正态过程。,