第3章 第1节 二维随机向量的分布.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,随机向量,1,到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布.但有些 随机现象用一个随机变量来 描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量,(,三个坐标）来确定的,等等.,2,二维随机向量的分布,第一节,3,定义,一般地，我们称,n,个随机变量的整体,X,=(,X,1,X,2,，,X,n,),为,n,维随机向量,.,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，为简单起见，我们重点讨论,二维,随机向量.,请注意与一维情形的对照.,4,一、二维随机向量的联合分布函数,二维随机向量（,X,Y,）,X,和,Y,的联合分布函数,X,的分布函数,一维随机变量,X,5,6,二维随机变量分布函数的基本性质,7,边缘分布,即,同理,边缘分布函数与联合分布函数的关系,二维随机向量(,X,Y,),作为一个整体,用联合分布来刻画.而,X,和,Y,都是一维随机变量,各有自己的分布,称为,边缘分布,.,8,设二维随机向量(,X,Y,),的联合分布函数为,例1,则边缘分布函数为,称该分布为,二维指数分布,其中参数,9,说明,：,联合分布可以唯一确定边缘分布，但是边缘分布一般不能唯一确定联合分布,.,也即，二维随机向量的性质一般不能由它的分量的个别性质来确定，还要考虑分量之间的联系，这也说明了研究多维随机向量的作用,.,边缘分布与参数,无关.,10,二、联合分布,则称二维表,为(,X,Y,),的,联合分布律,.,1,.,离散型,11,12,例2,袋中有两只白球 3只黑球，放回摸球两次，定义,X,为第一次摸得的白球数，,Y,为第二次摸得的白球数，求(,X,Y,),的联合分布律,.,解,13,解,例2,袋中有两只白球 3只黑球，放回摸球两次，定义,X,为第一次摸得的白球数，,Y,为第二次摸得的白球数，求(,X,Y,),的联合分布律,.,14,若改为不放回摸球，则(,X,Y,),的联合分布律为,比较：有放回摸球：,15,例3,解,由于,所以,16,故(,X,Y,),的联合概率分布为,17,2,.,连续型,18,面,上的一个区域.,19,设,G,是平面上的有界区域,其面积为,A,.,若二维随机向量(,X,Y,),具有概率密度,则称,(,X,Y,),在,G,上服从,均匀分布,.,若(,X,Y,),服从区域,G,上的均匀分布,则对于,G,中任一子区域,D,有,二维均匀分布,20,于是(,X,Y,),落在,G,中任一子区域,D,的概率与,D,的面积成正比,而与,D,的形状和位置无关.在这个意义上我们说,服从某区域上均匀分布的二维随机向量在该区域内是“等可能”的,.,21,例4,设二维随机向量(,X,Y,),的联合密度函数为,解,(1),由规范性,22,23,24,例5,设二维随机向量(,X,Y,),的联合密度函数为,解,(1),由规范性,25,26,27,三、边缘分布,1,.,离散型,设,(,X,Y,),是离散型二维随机变量，联合分布律为,则边缘分布为,记作,28,袋中有两只白球3只黑球，有放回 摸 球 两次，定义,X,为第一次摸得的白球数，,Y,为第二次摸得的白球数，则(,X,Y,),的联合分布律为,例6,Y,的边缘分布,X,的边缘分布,所以,X,和,Y,的边缘分布律分别为,29,边缘分布为,与放回的情况比较，,但边缘分布却完全相同,.,两者的联合分布完全不同，,若改为不放回摸球，则(,X,Y,),的联合分布律为,30,由联合分布可以确定边缘分布；,但由边缘分布一般不能确定联合分布.,再次说明联合分布和边缘分布的关系:,31,2,.,连续型,设,(,X,Y,),是连续型二维随机变量，联合密度函数为,由于,所以,(,X,Y,),关于,X,的边缘密度函数为,同理,关于,Y,的边缘密度函数为,32,求(1),c,的值；(2)两个边缘密度；,解,(1),设(,X,Y,),的概率密度是,例7,x,y,0,1,33,x,y,0,1,(2),所以,34,x,y,0,1,(2),所以,35,x,y,0,1,36,例8,解,随机向量(,X,Y,),的密度概率为,x,y,O,2,1,D,其他,37,其他,二维均匀分布的边缘分布不一定是一维均匀分布,.,例8,解,随机向量(,X,Y,),的密度概率为,x,y,O,2,1,D,38,即,(,X,Y,),服从单位圆,上的均匀,分布.,例9,设二维随机变量(,X,Y,),的概率密度为,求,X,及,Y,的边缘密度,.,解,边缘密度为,类似地,39,四、随机变量的独立性,随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念,.,两事件,A,B,独立的定义是：,若,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),则称事件,A,B,独立.,设,X,Y,是两个随机变量,，,若对任意的,x,y,则称,X,Y,相互,独立,.,40,上式用分布函数表示,即,情形1,(,X,Y,),是,离散型,随机变量，则,X,Y,相互独立的定义等价于,41,例10,袋中有两只白球3只黑球，摸球两次，定义,X,为第一次摸得的白球数，,Y,为第二次摸得的白球数，则有放回和不放回时(,X,Y,),的联合分布和边缘分布分别为,经验证，放回,时，,X,与,Y,相互独立；,不放回,时，不独立,.,42,例11,设(,X,Y,),的联合分布律为,且,X,与,Y,相互独立，试求 和,.,又由分布律的性质,有,解,由,X,与,Y,相互独立，知,43,解,例12,假设随机变量,X,和,Y,相互独立，都服从参数为,p,(,0,p,1,),的,0-1,分布，随机变量,问,p,取何值时，,X,和,Z,相互独立？,首先求出,Z,的概率分布：,因为,X,和,Y,相互独立,44,令,所以,p,取,0.5,时，,X,和,Z,相互独立,.,45,情形2,(,X,Y,),是,连续型,随机变量，则,X,Y,相互独立的定义等价于,在平面上几乎处处成立,.,解,例13,设(,X,Y,),的联合密度函数为,问,X,与,Y,是否相互独立？,X,Y,的边缘密度分别为,成立，所以,X,Y,相互独立,.,46,解,例14,设(,X,Y,),的联合密度函数为,问,X,与,Y,是否相互独立？,X,Y,的边缘密度分别为,所以,X,Y,不相互独立,.,x,y,0,1,1,47,上的均匀,分布，,判断,X,与,Y,是否相互独立,.,例15,设二维随机变量(,X,Y,),服从单位圆,解,X,与,Y,的,边缘密度,分别,为,所以,X,Y,不相互独立,.,48,二维随机向量的函数的分布,1,.,离散型,设随机向量(,X,Y,),的联合分布律为,49,例16,设随机变量(,X,Y,),的联合分布律为,解,分别求,X,+,Y,、,X,2,+,Y,2,、,min,(,X,Y,),的分布律,.,50,51,证,所以,例17,此性质称为泊松分布的可加性,52,2,.,连续型,主要,讨论,和,的情况,.,设,X,和,Y,的联合密度为,f,(,x,y,),求,Z,=,X,+,Y,的密度.,Z,=,X,+,Y,的分布函数是:,x,y,0,z,z,两边关于,z,求导，则得,Z,的密度函数为,53,由,X,和,Y,的对称性,f,Z,(,z,),又可写成,特别，当,X,和,Y,独立，设(,X,Y,),关于,X,Y,的边缘密度分别为,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),则上述两式化为:,这两个公式称为,卷积公式,记为 .,54,例18,设,X,Y,相互独立且均服从标准正态分布,求,Z,=,X,+,Y,的概率密度.,由卷积公式,有,解,55,用类似的方法可以证明:,若,X,和,Y,独立,若,X,和,Y,独立,具有相同的分布,N,(0,1),则,Z=X+Y,服从正态分布,N,(0,2).,即有限个独立正态变量的,线性组合,仍然服从正态分布.,正态分布的可加性,56,解,例19,设,X,和,Y,是两个相互独立的随机变量,其概率密度分,由卷积公式,仅当,上述积分的被积函数才不等于0,因此,即,时,别为,57,58,即有,59,练习：,P114,习题三,60,证,补充练习：,可以证明：,61,证,由恒等式,即,所以,此即说明,62,