结构位移计算.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 静定结构位移的计算,1,A,第四章 静定结构位移的计算,41,计算结构位移的目的,42,功广义力和广义位移,43,计算结构位移的一般公式,44,静定结构在荷载作用下的位移计算,45,图乘法,46,静定结构由于支座位移和温度变化时的位移计算,47,互等定理,2,41,计算结构位移的目的,位移的概念：,结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上各点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。,位移分类：,截面的移动,-,线位移,；截面的转动,-,角位移,。,线位移又分为：水平位移和竖向位移,。,按位置变化的参照物分：绝对位移和相对位移,一、结构的位移,3,结构上的一个指定截面，位移后的新位置相对其位移前旧位置的改变。,绝对位移,结构上的两个指定截面，位移后新的位置关系相对其位移前旧位置关系的改变。,相对位移,4,A,P,A,A,线位移：,角位移：,A,(,A,),Ay,Ax,Ay,Ax,A,绝对位移,相对位移,P,A,C,D,C,D,C,D,CD,=,C,+,D,B,5,为什么要计算,位移,?,A,P,引起结构位移的原因,制造误差 等,荷载,温度改变,支座移动,还有什么原,因会使结构产,生位移,?,6,二 计算结构位移的目的,铁路工程技术规范规定,:,(1),刚度要求,桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁,最大挠度,1/700,和,1/900,跨度,高层建筑的最大位移,1/1000,高度；,最大层间位移,1/800,层高。,(2),超静定、动力和稳定计算,(3,）施工要求,在工程上，吊车梁允许的挠度,1/600,跨度；,7,本章所研究的是,线性变形体系,的位移计算,是指位移与荷载成比例的结构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加，而且当荷载全部撤除时，由荷载引起的位移也完全消失。,满足如下基本假定：,、应力和应变服从虎克定律（物理线性）；,、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原尺寸和叠加法计算其位移；,、所有约束为理想约束，即约束力不作功。,8,42,功、广义力、广义位移,功：力对物体作用的累计效果的度量,功,=,力,力作用点沿力方向上的位移,实功：,力在自身所产生的位移上所作的功,广义力、广义位移,对于其他形式的力或力系所做的功也常用两个因子的乘积来表示，其中与力相对应的因子称为广义力，与位移相对应的因子称为广义位移。,一个力系作的总功,W=P,P-,广义力,;,-,广义位移,9,例,:,1),作功的力系为一个集中力,2),作功的力系为一个集中力偶,3),作功的力系为两个等值,反向的集中力偶,4),作功的力系为两个等值,反向的集中力,10,43,计算结构位移的一般公式,虚功：,力在非自身所产生的位移上所作的功,虚功中的力和位移之间没有因果关系，即虚功的力和位移不相关。这是虚功区别于实功的,重要特点,。,实功：,力在自身所产生的位移上所作的功,虚功中的两种状态,力状态,位移状态,（虚力状态）,（虚位移状态）,L,b,a,B,C,11,在简支梁上先加载,F,P1,，,使力,F,P1,作用点的位移达到终值,11,，再加载,F,P2,，,使力,F,P1,的作用点发生位移,12,，力,F,P1,在位移,12,上作的功叫虚功,即：,W,12,=F,P1,12,虚功中的力和位移两个要素不相关。即无因果关系。虚功具有常力功的形式。,根据叠加原理,+,12,变形体的虚功原理,虚应变能：,当结构的力状态的外力因结构的位移状态的位移作虚功时，力状态的内力也因位移状态的相对变形而作虚功，这种虚功称为虚应变能，以,V,表示。,变形体系的虚功原理：,设变形体系在力系作用下处于平衡状态（力状态），又设该变形体系由于别的原因产生符合约束条件的微小的连续变形（位移状态），则力状态的外力在位移状态的位移上所作的虚功，恒等于力状态的内力在位移状态的变形上所作的虚功，即等于虚应变能。或简写为：,外力虚功,W=,虚应变能,V,13,微段剪切,微段拉伸,微段弯曲,力,状态,位移状态,对于杆件结构，设在力状态中任一微段,dx,的内力为,F,N1,、,F,Q1,、,M,1,；而位移状态中杆件对应微段的相对变形，即正应变,2,、切应变,2,和曲率,2,。如图所示：,微段上的虚应变能可表示为：,dV,=F,N1,du,2,+F,Q1,dv,2,+M,1,d,2,14,微段上的虚应变能：,dV,=F,N1,du,2,+F,Q1,dv,2,+M,1,d,2,对上式沿杆长进行积分，然后对结构的全部杆件求和，即得到杆件结构的虚应变能为：,或,那么,杆件结构的虚功原理,就可表示为：,或,杆件结构的虚功方程,15,计算结构位移的一般公式,求,D,点的水平位移,实际状态,虚拟状态,在,D,点处沿水平方向加上一个单位荷载,，此时处虚拟状态的支座反力为,B,处的支座反为 ，结构在单位力和相应的支座反力的作用下维持平衡，其内力用 、来表示。,16,虚设力系的外力（包括反力）对实际状态的位移所作的总虚功为：,即：,以,d,、,d,、,d,表示实际状态中微段的变形，则总的虚应变能为：,由杆件结构的虚功原理，得,即：,计算结构位移的一般公式,17,求,C,点竖向位移,求,B,点水平位移,求,C,点转角位移,求,A,、,B,两点,相对竖向位移,力的虚设方法,C,B,C,A,B,A,B,F,p,=1,Fp,=1,M=1,F,p,=1,F,p,=1,Fp,=1,Fp,=1,求,A,、,B,两点,相对水平位移,18,M=1,求,C,点相对转角位移,求,CD,杆相对转角位移,F,p,=1/L,F,p,=1/L,C,C,D,19,A,B,P,=1,P,=1,求,A,、,B,两点,相对线位移,P,=1,P=1,B,A,求,A,、,B,两点,相对线位移,A,B,C,求相对转角位移,20,在具有理想约束的刚体体系中，若力状态中的力系满足静力平衡条件，位移状态中的刚体位移与约束几何相容，则该力在该相应的刚体位移上所作的外力虚功之和等于零，即,W,。,刚体的虚功原理,利用虚功原理和虚功的力和位移不相关的特性，虚功原理有两种应用：,1,）虚设位移，求实际的力,虚位移原理；,2,）虚设力状态，求位移,虚力原理。,21,1,虚设位移求未知力,(a),(b),如图（,a,）所示杠杆，在,B,点作用已知荷载,F,P,，求杠杆平衡时在,A,点需加的未知力,F,A,。,把刚体取虚位移，如图（,b,）所示，根据刚体虚功原理得：,令,A,=1,，且令,B,表示位移,之间的比例系数：，由图中几何关系得：,(1),其中：分别是沿,F,A,和,F,P,方向的虚位移。,将（,1,）式除以,A,，得,22,例求,A,端的支座反力,(Reaction at Support),解：去掉,A,端约束并代以反力,X,，,构造相应的虚位移状态,.,A,B,a,C,(a),b,P,X,(b),P,(c),直线,待分析平衡的力状态,虚设协调的位移状态,由外力虚功总和为零，即：,将,代入得,:,通常取,单位位移法,(Unit-Displacement Method),(1),对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是,实际受力状态的平衡方程,(2),虚位移与实际力状态无关,故可设,(3),求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。,(4),用几何法来解静力平衡问题,23,单位位移法步骤：,去掉与拟求力相应的约束，并代以拟求力（力的方向是先假定的），并使得到的体系（机构）沿拟求力的方向发生,单位虚位移,；,令所有外力在体系的虚位移上作虚功，建立虚位移方程并求解。,结果为正，所得力的方向与假定的方向相同；结果为负，所得力的方向与假定的方向相反。,24,例：,利用虚位移原理求图示简支梁的支座的反力,F,By,。,L,b,a,B,C,(1),去掉,B,支座链杆,(2),按拟求支座反力让机构发生单位虚位移,(3),写出虚位移方程,(4),求解虚位移方程,解：,25,例：试求静定多跨梁在,C,点的支座反力,F,x,。,(1),去掉,C,支座链杆，把支座反力变成主动力,Fx,(2),按拟求支座反力让机构发生单位虚位移，并设,x,=1,。根据几何关系，可得：,(3),写出虚位移方程,(4),求解虚位移方程,解：,26,例：试求简支梁截面,C,的弯矩,Mc,，设在,A,端作用力偶荷载,M,。,(1),去掉与弯矩,Mc,相应的约束，即将截面,C,由刚接改为铰接。同时弯矩,Mc,由约束力变为主动力，由一对大小相等、方向相反的力偶组成。,(2),取虚位移，设,C,点竖向位移为,c,，则,AC,和,BC,两段的转角,和,分别为：,(3),写出虚位移方程,(4),求解虚位移方程,解：,27,例：试求简支梁截面,C,的剪力,F,Qc,，设全跨作用均布竖向荷载,q,。,(1),去掉与剪力,F,Qc,相应的约束，即将截面,C,切开，加上两个平行梁轴的链杆。同时剪力,F,Qc,由约束力变为主动力，由一对大小相等、方向相反的竖向力组成。,(2),取虚位移，两梁的转角为,，,C,1,、,C,2,的竖向位移分别为,a,和,b,，相对竖向位移为,a+b,：,(3),写出虚位移方程,解：,剪力,F,QC,作的虚功为：,28,因此虚功方程为：,微段,dx,上的均布荷载,q,在竖向位移,y,上作的虚功为：,AC,1,段上,的均布荷载,q,作的虚功为：,BC,2,段上,的均布荷载,q,作的虚功为：,(4),求解虚位移方程,29,2,虚设力系求位移,在拟求位移 的方向设置单位位移，而在其他地方不再设置荷载。这个单位位移与相应的支座反力组成一个虚设的平衡力系。,a,b,B,A,c,1,A,C,静定梁支座,A,向上移动距离,c,1,，,拟求,B,点的竖向位移 。,（,1,）虚设的平衡力系,（,2,）虚功方程,（,3,）竖向位移,(1),所建立的,虚功方程,实质上是,几何方程,。,(2),虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力,P,=1,(3),求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。,(4),是用静力平衡法来解几何问题。,单位荷载法,A,C,B,1,30,悬臂梁在截面,B,有相对转角 ，拟求,A,点的竖向位移 。,b,a,B,A,C,A,（,1,）在,B,处加铰，把实际位移状态表示为刚体体系的位移状态。,B,A,C,A,（,4,）竖向位移,（,3,）虚功方程,（,2,）在,A,点沿拟求位移的方向虚设单位,荷载，在,B,处加铰还虚设一对弯矩,B,A,C,1,31,44,静定结构在荷载作用下的位移计算,当结构只受到荷载作用时，求,K,点沿指定方向的位,移,KP,，,此时没有支座位移，故,KP,=,式中：,为虚拟状态中微段上的内力；,d,P,、,du,P,、,P,ds,为实际,状态中微段上的变形。由材料力学知,（a）,d,P,=,du,P,=,P,ds=,将以上诸式代入式（,a,）,得,KP,=,这,就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。,32,讨 论,1.,梁和刚架,:,轴向变形和剪切变形影响较小，可以忽略,KP,=,2.,桁架：,只有轴力的作用,KP,=,3.,组合结构：,KP,=,在实际计算时，根据结构的具体情况,33,(4),拱结构：,一般的实体拱中，其位移计算只考虑弯曲变形一项的影响；但在扁平拱中有时尚须考虑轴向变形对位移的影响，故位移公式：,例：求图示简支梁中点,C,的竖向位移,。,解：（,1,）取虚力状态如图：,（,2,）写出弯矩、剪力的方程：,F,p,=,1,C,/,C,A,B,L,/,2,L,/,2,2,/,L,/,2,L,q,kN,m,34,（,3,）计算,当,时,当,时,（,2,）写出弯矩、剪力的方程：,35,（,4,）比较弯曲变形与剪切变形的影响,弯曲变形：,剪切变形：,两者的比值：,若高跨比为：,则：,结论,：,在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的长,度的话，一般可以不考虑剪切变形及轴向变形的影响,;,但,是对于深梁（梁的跨度与高度之比,L,h2,的简支梁和,L,h2,5,的连续梁,）剪切变形的影响不可以忽略。,36,例,求图示刚架,A,点 的 竖 向位移,Ay,。,E,、,A,、,I,为常数。,A,B,C,q,L,L,A,实际状态,虚拟状态,A,B,C,1,解：,1.,设置虚拟状态,x,x,选取坐标如图。,则各杆弯矩方程为,:,AB,段：,x,BC,段：,2.,实际状态中各杆弯矩方程为,AB,段：,BC,段：,M,P,=,M,P,=,x,x,3.,代入公式得,Ay,=,，,(),=,(-x)(-,2,qx,2,),EI,dx,+,(-L),(-,2,qL,2,),EI,dx,返 回,37,例：计算图示刚架,C,点的水平位移,和,C,点的转角,，各杆的,EI,为常数。,解：（,1,）求,写出杆件的 方程,BC,杆：,BA,杆：,L,A,C,B,L,EI,EI,q,A,C,B,F,P,=1,给出结构的虚拟状态,38,（,2,）求,写出杆件的 方程,BC,杆：,BA,杆：,A,C,B,M,=,1,给出结构的虚拟状态,39,例：求曲梁,B,点的竖向位移,(,EI,、,EA,、,GA,已知,),R,O,B,A,P,解：构造虚设的力状态如图示,P,=1,R,P,R,40,小曲率杆可利用直杆公式近似计算，轴向变形、剪切变形,对位移的影响可略去不计。,41,例：如图所示桁架，求,(1)D,结点的竖向位移,(2)CD,杆的转角位移。已知各杆,EA,相等，并为常数。,（,1,）求,D,结点的竖向位移,DV,解：,1,）计算,通过求解我们得到，各杆的轴力如图所示（单位：,KN,）：,42,2,）计算,在,D,点虚设单位竖向荷载，相应,各杆的轴力如图所示：,3,）求,D,结点的竖向位移,DV,根据桁架位移计算公式得,：,43,（,2,）求,CD,杆的,转角,位移,q,设置虚力状态,：,求得相应虚力状态的各杆内力：,根据桁架位移计算公式得：,(,),44,图乘法及其应用条件,几种常见图形的面积和形心位置,应用图乘法时的几个具体问题,图乘法应用举例,45,图 乘 法,45,图乘法,计算弯曲变形引起的位移时，需要计算积分,对直杆或直杆一段，当,EI,沿杆长度不变，且积分号内两个弯矩图形有一个是直线图时，采用图乘法计算积分比较方便。,什么是图乘法？它的,适用条件是什么,?,图乘法是,Vereshagin,于,1925,年提出的，他当时,为莫斯科铁路运输学院的,学生,。,46,KP,=,当结构符合下述条件时：,（,1,）,杆轴为直线；,（,2,）,EI,=,常数；,上述 积分可以得到简化。,M,P,图,和,M,两个弯矩图中,至少有一个是直线图形。,（,3,）,x,y,面积,设等截面直杆,AB,段的两个弯矩图中，,为一段直线，,M,P,图为任意,形状，,A,B,O,则,上式中的,ds,可用,dx,代替。,A,B,M,P,dx,故有,=,xtg,且,tg,=,常数，则,d,=M,P,dx,x,EI,tg,xM,P,dx=,EI,tg,xM,P,dx=,EI,tg,xd,图乘法,:,计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算下面的积分,47,M,P,图,x,y,形心,C,面积,A,B,O,A,B,M,P,dx,d,=M,P,dx,x,x,C,有,y,C,y,C,=x,C,tg,则积分运算化简为,一个弯矩图的面积,乘,以其形心处所对应的另,一个直线弯矩图上的竖,标,y,C,。,如果结构上所有各,杆段均可图乘则位移计,算可写成,KP,=,而,EI,xd,tg,EI,x,C,tg,EI,y,C,EI,y,C,48,由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积 乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 ，再除以,EI,。,这就是图形相乘法的计算公式，简称为图乘法。,图乘法公式：,(1),结构上各杆均为等截面直杆，即，各杆,EI,分别或分段为常数；,(2),竖标必须取自直线弯矩图形,;,(3),另一弯矩图的面积,A,和面积形心易求得。,图乘公式的应用条件：,图乘法的注意事项：,（,1,）必须符合上述三个前提应用条件；,（,2,）竖标,y,c,只能取自直线图形；,（,3,）,与,y,c,若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。,49,3.,常用的几种简单图形的面积和形心,L,h,2L/3,L/3,L,h,a,b,（L+a)/3,(L+b)/3,形心,形心,h,顶点,2l/5,3l,/5,l,/5,4l,/5,三次抛物线,50,L,h,二,次抛物线,顶点,L/2,二,次抛物线,L,h,4L/5,L/5,3L/8,5L/8,1,2,1,=2/3(hL),2,=1/3(hL),顶点,返 回,51,注：图中的抛物线均为标准抛物线。,标准抛物线是指含有顶点在内且顶点处的切线与基线平行的抛物线。弯矩图为标准抛物线时，在顶点处截面的弯矩为,0,。,顶点,h,n+1,=,hl,w,n,次抛物线,52,应用图乘法要注意的若干问题：,（,1,）如果两个图形都是直线图，则标距,y,c,可取自其中任一图形。,（,2,）如果两个图形都是梯形，则把一个梯形分为两个三角形，分别应用乘法。,M,P,图,a,b,c,d,L,y,b,y,a,则,其中标距,y,a,和,y,b,要用以下公式计算,53,(3),当,y,C,所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。,1,2,3,y,1,y,2,y,3,1,2,3,y,1,y,2,y,3,=,(,1,y,1,+,2,y,2,+,3,y,3,),I,1,I,2,I,3,=,54,M,P,图,a,b,c,d,y,1,y,2,此时,y,1,=2/3c,1/3d,y,2,=2/3d,1/3c,（,4,）图形的纵距,a,、,b,或,c,、,d,不在基线同一侧时。,处理原则也和上面一样，,可分解为位于基线两侧的两个三角形，分别与另一图形相乘，然后叠加。,55,例,试求图,a,所示刚架,C,点的竖向位移 。,解,：,1,）作实际状态的 。,（,2,）建立虚拟状态，,并作 图。,1,l/2,56,（,3,）进行图形相乘，求,C,点竖向位移 。,1,l/2,y,1,y,2,y,3,57,例：求,A,点的转角和,C,点的,竖向位移。,解,：（,1,）求,A,点的转角,（,2,）求,C,点的竖向位移,C,A,B,20kN,10kN/m,6m,6m,1,M=1,M,A,图,300,45,M,P,图,6,F,p,=1,M,C,图,58,图,（,）,图,B,A,q,例,:,求图示梁,(EI=,常数,跨长为,l,)B,截面转角,解,:,59,例：求图示三铰刚架,C,点的相对转角。,解：荷载作用下的弯矩图和虚,设力作用下的弯矩图如图,所示。,B,20kN/m,A,C,E,D,8m,6m,2m,A,E,D,B,A,E,D,B,120,120,40,40,3/4,3/4,1,M,C,图,Mp,图,M=1,60,3/4,3/4,1,A,E,D,B,120,120,40,40,Mp,图,A,E,D,B,M,C,图,M=1,61,求下图所示刚架,C,、,D,两点间距离的改变。设,EI,=,常数。,A,B,C,D,L,h,q,解：,1.,作实际状态的,M,P,图。,M,P,图,2.,设置虚拟状态并作,。,1,1,h,h,y,C,=h,3.,计算位移,（）,CD,=,EI,y,C,=,EI,1,(,3,2,8,qL,2,L,),h,=,12EI,qhL,2,形心,62,求图示刚架,A,点的竖向位移,Ay,。,A,B,C,D,EI,EI,2EI,P,L,L,L/2,解：,1.,作,M,P,图、,P,PL,M,P,图,1,L,；,2.,图乘计算。,Ay,=,（）,EI,y,C,=,EI,1,(,2,L,L,2,PL,(,L,4,=,16EI,PL,2,),-,2EI,1,2,3L,),PL,返 回,63,求图示外伸梁,C,点的竖向位移,Cy,。,EI,=,常数。,q,A,B,C,L,图,1,1,y,2,y,3,+,解：,1.,作,M,P,图,2.,作,图,3.,图乘计算,y,1,=,y,2,=,y,3,=,Cy,=,y,1,M,P,图,2,3,返 回,64,76,静定结构温度变化时的位移计算,当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将产生 变形和位移。,设结构,(,见图,),外侧温度升高,t,1,，,内侧温度升高,t,2,求,K,点的竖向位移,Kt,。,t,1,t,2,K,K,Kt,现研究实际状态中任一微段,ds,由于温度变化产生的变形。,ds,ds,Kt,=,此时由式（,75,）可得,h,t,1,t,2,t,2,ds,t,1,ds,d,t,du,t,=(,t,1,ds+t,2,ds)/2=tds,(a),(b),K,ds,P,K,=1,ds,实,虚,式中,d,t,=,(,t,2,ds-t,1,ds)/h=,t,=t,2,t,1,(c),h,tds,式中,将式（,b),、,(c),代入式（,a),，,得,Kt,=,（,711,）,温度变化不会引起剪切变形，即,t,=0,返 回,65,支座移动、,温度作用时的位移计算,静定结构由于支座移动并不产生内力，材料（杆件）也不产生变形，只发生刚体位移。（该位移也可由几何关系求得）。有,一 支座移动,时的位移计算,其中：,由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力,c,真实的支座位移,66,例：图示三铰刚架,A,支座往下位移了,b,，,B,支座往右位移了,a,，求,C,点的竖向位移,和,C,点的相对转角,。,（,1,）求,C,点的竖向位移,真实的位移状态,a,b,L/2,L/2,L,A,B,C,在,C,点作用一个竖向单位力，,求出 和 。,虚设的力状态,F,p,=1,A,B,C,67,（,2,）求,C,点的相对转角,在,C,点作用一对力矩，求出 和 。,虚设的力状态,真实的位移状态,A,B,C,L,a,L/2,L/2,b,A,B,C,M=1,68,例,：图示三铰刚架右边支座的竖向位移,By,=0.06m,水平位移,Bx,=0.04m,已知,L=12m,，,h=8m,。,求,A,。,h,L/2,L/2,Bx,By,实,A,B,C,解：虚拟状态如图。,A,B,C,1,A,=0.0075rad,虚,69,二 温度改变,时的位移计算,杆件温度变化时，静定结构不会引起内力，但材料会发生膨胀和收缩，从而引起截面的应变，使结构产生变形和位移。,温度改变时：,1,）由于纤维的伸长或缩短引起轴向变形,2,）,由于伸长或缩短不一致，引起弯曲变形,3,）温度改变不引起剪切变形,一般公式,设温度沿截面高度,h,以直线传递，则截面上材料的应变沿高度也呈线性变化。因此，杆件由于温度改变变形后平截面假定仍然适用。,70,上边缘温度上升 ，下边缘温度上升 。,B,A,形心轴处的温度,当 时,材料的线胀系数 ，则微段 的变形,由于温度改变不引起切应变,温度作用引起的位移,71,温度作用引起的位移：,若温度沿杆长变化相同，且截面高度不变，则上式,可写成：,其中：,由虚设单位力产生的轴力图面积,由虚设单位力产生的弯矩图面积,正负号的规定：虚力状态中的变形与温度改变产生的,变形方向一致时，取正号，反之取负号。,72,例 刚架内侧温度升高 ，外侧温度不 变，求,C,点的竖向位移 。,已知,各杆为矩形截面，高,h=40cm,。,温度作用的位移计算例子,A,B,C,a,a,图,p=1,B,A,C,1,图,p=1,B,A,C,a,解,:,C,点加单位竖向力,p=1,，,并作 图。,杆件两边的温差及轴线处温度升高为,73,例,图示刚架施工时温度为,20,，求冬季外侧温度为,10,，内侧温度为,0,时,A,点的竖向位移,Ay,。,已知,L=4m,，,=10,5,，,各杆均为矩形截面，高度,h=0.4m,。,L,L,t,1,t,2,实,解：,外侧温度变化,绘,图，,A,A,1,虚,1,代入式（,712,），并注意正负号,(,判断,),，,L,Ay,可得,t,1,=,1020=30,内侧温度变,化,t,2,=020=20。,t=(t,1,+t,2,)/2=25,t=t,2,t,1,=10,74,已知：,AB,杆做短了,l,AB,。,求：安装后，,C,点的竖向位移。,解,位移状态,：只有刚体位移。,力状态,：在求位移处加单位力、将有制造误差的杆件去掉，画出杆件的轴力。,静定结构制造误差下的结构位移计算,A,B,C,A,实际的位移状态,A,B,虚设的单位力状态,75,刚体虚功原理,拉力,短的误差,压力,长,的误差,取“正”号,若多个杆件有误差,注意：,的符号,A,实际的位移状态,A,B,虚设的单位力状态,76,已知：下弦杆均做短了,0.6cm,。,求：结点,A,的竖向位移。,解,6m,66m,A,1/2,1/2,1,1,1/2,1/2,77,互等定理,本节介绍线性变形体系的四个互等定理：,1,）功的互等定理,2,）位移互等定理,3,）反力互等定理,4,）位移反力互等定理,其中最基本的是功的互等定理，其它三个定理均可由此推导出来。,互等定理只适用于线形变形体系，其应用条件为：,材料处于弹性阶段，应力与应变成正比；,结构变形很小，不影响力的作用。,78,1),功的互等定理,设有两组外力,F,P,1,和,F,P,2,分别作用于同一线弹性结构上，如图所示，,(a),、,(b),分别称为结构的第一状态和第二状态。,(a),第一状态,F,P1,1,2,11,21,(b),第二状态,F,P2,1,2,12,22,第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。,79,外力所作总功与加载次序无关，,即：,W,1,=W,2,由,1,、,2,可得：,这两组力按不同次序先后作用于同一结构上时所作的总功分别为：,(a),第一状态,F,P1,1,2,11,21,(1),先加,F,P,1,后加,F,P,2,，,外力的总功,(2),先加,F,P2,后加,F,P1,，,外力的总功,(b),第二状态,F,P2,1,2,12,22,定理推导：,80,2),位移互等定理,在功的互等定理中，令：,F,P,1,=F,P,2,=1,即：,F,P1,1,(a),第一状态,1,2,21,F,P2,1,(b),第二状态,1,2,12,由功的互等定理式 则有：,令：,位移影响系数,每单位力引起的位移值,。,81,位移互等定理,:,即第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移。,在位移互等定理中：,单位力,广义力（单位力偶、单位集中力）；,位 移,广义位移（线位移、角位移）。,82,右图分别表示二种状态，即支座,1,发生单位位移,1,1,时，使支座,2,产生的反力,k,21,；,另一种即为支座,2,发生单位位移,2,1,时，使支座,1,产生的反力,k,12,。,3,）反力互等定理,反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。,(a),第一状态,k,21,1,1,1,2,(b),第二状态,2,1,k,12,83,根据功的互等定理有：,反力互等定理,:,即支座,1,发生单位位移所引起支座,2,的反力，等于支座,2,发生单位位移所引起的支座,1,的反力。,(b),第二状态,2,1,k,12,(a),第一状态,k,21,84,(a),第一状态,k,21,1,2,1,1,注意：,该定理对结构上任何两支座都适用，但应注意反力与位移在作功的关系上应相对应，即力对应线位移；力偶对应角位移。,由反力互等定理，则有：,k,12,=,k,21,即反力偶,k,12,等于反力,k,21,（数值上相等，量纲不同）,(b),第二状态,2,1,k,12,1,2,85,4),反力位移互等定理,这个定理同样是功的互等定理的一种特殊情况。,由两个状态应用功的互等定理，则有,主功力与反力的功相反,相差一负号,(b),第二状态,（由,1,=1,引起,21,）,21,1,2,1,1,（,a,）,第一状态,（由,F,P,2,=1,引起,k,12,）,F,P2,1,k,12,1,2,86,单位载荷引起某支座的反力，等于因该支座发生单位位移时所引起的单位载荷作用处相应的位移，但符号相反,87,支座移动产生的位移,刚体位移,制造误差产生的位移,刚体位移,荷载作用产生的位移,变形体位,移,温度改变产生的位移,变形体位移,静定结构位移的类型,显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位移应该用变形菜体的虚力原理计算。,88,