心轴的强度及刚度计算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2.3,心轴的强度和刚度计算,一、心轴弯曲的概念与实例,二、作用在心轴上载荷的分类,三、剪力与弯矩,四、剪力图与弯矩图,五、,平面弯曲梁的强度计算,六、平面弯曲梁的刚度计算,七、提高梁强度和刚度的措施,一、心轴弯曲的概念与实例,心轴：,工作时仅承受弯矩而不传递转矩。,受力特点：,梁轴线平面内受到力偶矩或垂直于轴线方向的 外力作用。,变形特征：,构件的轴线由直线变成一条曲线，这种变形称为,弯曲变形,。以弯曲变形为主的构件习惯上称为,梁,。,工程实际中常用直梁的横截面形状主要有圆形、矩形、,T,字形和工字形等。,心轴横截面一般都有一个或几个对称轴，由纵向对称轴与梁的轴线组成的平面称为,纵向对,称平面,。,图,6.3,二、作用在心轴上载荷的分类,集中力,集中力偶,均布载荷,外伸梁：,梁的一端或两端伸在支座之外的简支梁。,悬臂梁：,梁的一端为固定端支座，另一端为自由端。,简支梁：,梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座。,梁的简化,三、剪力与弯矩,利用静力平衡条件求出,A,、,B,的支座反力,N,A,与,N,B,为：,用一截面将梁沿,m-m,截面截开，,取左段,进行分析：,若取,m-m,截面,右段,为研究对象，作同样分析后，可求得与左段截面上等值、反向的剪力,s,和弯矩,M,，与左段截面上的剪力,Fs,和弯矩,M,互为作用与反作用的关系。,剪力符号规定,剪力符号规定,：使所取该段梁产生“左上右下”的相对错动的剪力方向为正，反之为负；,弯矩符号规定：,使所取该段梁弯曲呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负。,弯矩符号规定,梁内任一截面上的剪力，等于截面任一侧梁上外力的代数和；梁内任一截面上的弯矩，等于截面任一侧梁上外力对该截面形心力矩的代数和。,计算剪力时,：,截面左侧向上的外力、右侧向下的外力取正号；,计算弯矩时：,无论截面左侧或右侧，向上的外力取正号，向下的外力取负号。,四、剪力图和弯矩图,工程中，,梁横截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线发生变化,。若以横坐标,x,表示梁的横截面位,置，则梁在各横截面上的剪力,F,s,和弯矩,M,可以写成,x,的函数：,F,s,=,F,s,(,x,),M=M,(,x,),为了直观地反映梁上各横截面上的剪力和弯矩的大小及变化规律，可根据剪力方程和弯矩方程,用横坐标,x,表示梁的横截面的位置,纵坐标分别表示剪力,F,s,和弯矩,M,的大小而画出的图形，分别称为,剪力图,和,弯矩图,。,剪力方程,弯矩方程,【,例,3-1】,如图,(a),所示，简支梁,AB,受集中截荷,F,=12,kN,，,试画出其剪力图和弯矩图。,例,3-1,图,解,(1),求,A,、,B,的支座反力。,(2),列剪力方程与弯矩方程。,对,AC,段，取距,A,端为,x,1,的截面左段，画出受力图，如图,(,b,),所示。列平衡方程：,对,CB,段，取距,A,端为,x,2,的截面左段，画出受力图，如图,(,c,),所示。,列平衡方程：,(3),绘制剪力图和弯矩图。,【,例,3-2】,如图（,a,）,所示，简支梁,AB,上作用一集中力,偶,M,，,试绘出梁,AB,的剪力图和弯矩图。,例,3-2,图,解,(1),求,AB,的支座反力，由力偶系平衡可得,(2),列剪力方程和弯矩方程。,1-1,截面，剪力方程为：,弯矩方程为：,(0,x,1,a,),2-2,截面，剪力方程为：,弯矩方程为：,(,ax,2,l,),(3),绘制剪力图和弯矩图。,【,例,3-3】,如图,(a),所示，悬臂梁,AB,受均布载荷作用,试绘制其剪力图和弯矩图。,解,设截面,m-m,与,B,端之间的距离为,x,，取,m-m,截面的右段为研究对象，画出受力图，如图（,b,）,所示。,根据平衡条件：,F,s,-,qx,=0,F,s,=,qx,(0,x,l,),(0,x,l,),四、剪力图和弯矩图,利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系，可不比列出剪力和弯矩方程即可画出剪力图和弯矩图。,五、平面弯曲梁的强度与刚度计算,1,、纯弯曲试验,纯弯曲：,只有弯矩没有剪力。,剪切弯曲：,既有剪力又有弯矩。,纯弯曲梁的变形,纯弯曲梁的变形特征：,横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度；,纵向线（包括轴线）都变成了弧线；,梁横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些,。,2,、横截面上的正应力,梁受纯弯曲时，其横截面上,只有正应力，没有切应力,。,横截面上,任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比,，距中性轴等高度的各点正应力相等，而中性轴上各点处正应力为零,离中性轴最远的梁的上、下边缘处正应力最大，最大正应力用符号,max,表示，其值为：,式中,称为截面对中性轴,z,的,抗弯截面系数,，其,单位为,m,3,或,mm,3,可以证明距离中性轴为,y,处点的正应力计算公式为：,y,=,M,y,y/,I,z,式中，,I,z,为横截面对中性轴的惯性矩,对,矩形截面：,I,z,=,bh,3,/12,，,圆形截面：,I,z,=,d,4,/64,。,圆形截面：,圆环截面：,圆形截面：,矩形截面：,圆形截面：,3,、组合截面二次矩 平行移轴公式,若梁的截面形状复杂，并可分解为几个简单图形的组合，则可用平行移轴公式计算某截面对任意轴的截面二次矩：,3,、组合截面二次矩 平行移轴公式,【,例,】,试求图,3-2-27,所示,T,形截面对其形心轴的惯性矩。,解：,1.,求,T,形截面的形心座标,yc,2.,求截面对形心轴,z,轴的惯性矩,4,、弯曲正应力强度条件,对于一般塑性材料其抗拉强度与抗压强度相等时，,采用材料的许用拉,(,压,),应力。当材料的抗拉强度与抗压强度不相同（脆性材料），应分别校核抗拉强度与抗压强度。,对于中性轴不是截面的对称梁，其最大拉应力值与最大压应力值不相等。如图所示的,T,形截面梁，最大拉应力和最大压应力分别为：,4,、弯曲正应力强度条件,利用,强度条件可解决三类强度计算问题：,强度校核：,截面设计：,确定需用载荷：,【,例,】,如图所示，一矩形截面悬臂梁长,l,=4,m,，,材料的许用应力,=150MPa,，,求此悬臂梁的许可载荷。,图,6.15,解：,绘出悬臂梁的弯矩图,如图,b),所示。,图中，,M,max,=,Fl,=4000,F,。,梁的横截面抗弯截面系数为：,由梁的弯曲正应力强度条件得：,因此,悬臂梁的许可载荷为,F,=25 000N,。,【,例,】,某建筑工地上,用长为,l,=3 m,的矩形截面木板做跳板,木板横截面尺寸,b,=500 mm,h,=50 mm,木板材料的许用应力,=6,MPa,试求：,（,1,）一体重为,700N,的工人走过是否安全？,（,2,）要求两名体重均为,700N,的工人抬着,1500 N,的货物安全走过，木板的宽度不变，重新设计木板厚度,h,。,解,（,1,）,计算弯矩的最大值,max,。,当工人行走到跳板中央时,，弯矩最大。,校核弯曲强度,:,所以,体重为,700 N,的工人走过是安全的。,(2),设工人重力和货物重力合成为一个集中力，且作用在跳板长度的中点时最危险，此处,弯矩最大值为：,按弯曲强度设计：,h,65.95,所以，木板厚度,h,应满足,h,66 mm,。,六、梁 的 弯曲变形概述,挠度：,截面形心位移的垂直分量（线位移），用,表示。,1,、挠度与转角,A,y,t,q,C,1,C,m,B,x,t,B,m,m,m,q,正负号规定：,向上为正，向下为负,转角：,梁弯曲变形后，轴上任意一点,C,处的横截面,m-m,将绕中性轴转动一个角度至,m,-,m,，其角位移,称为该截面的转角。,正负号规定：,逆为正，顺为负,=,f(x,),挠曲线方程,2,、,挠曲线微分方程,几种常见梁的简单载荷作用下的变形,当梁上同时受到几个载荷作用时，可分别计算出单个载荷作用下梁的挠度和转角，再将它们求代数和，得到所有载荷同时作用时梁的总变形。,3,、计算变形的叠加法,4,、刚度条件,其中,、,的具体数值可查有关设计手册。,【,例,】,如图,(a),所示，行车大梁采用,NO.45a,工字钢，跨度,l,=9m,，,电动葫芦重,5,kN,，,最大起重量为,55,kN,，,许用挠度,=,l,/500,，,试校核行车大梁的刚度。,解,：将行车简化后受力情况如图,6.17(b),所示。把梁的自重看成均布载荷，并且，当电动葫芦处于梁的中央时，梁的变形最大。,(1),用叠加法求挠度。,查手册可知：,NO.45a,工字钢的,q,=788N/m,I,z,=32 240 cm,4,E=200GPa,。,梁需要承受的最大载荷,F,=5+55=60kN,。,查表可得，在力,F,作用下产生的挠度为：,在均布载荷,q,作用下产生的挠度为：,梁的最大变形：,c max,=,CF,+,Cq,=0.015 m,。,(2),校核梁的刚度。,梁的许用挠度,，,则：,所以梁的刚度足够。,七、提高梁的承截能力的措施,1,、合理安排梁的支承,均布载荷作用在简支梁上时，最大弯矩与跨度的平方成正比，如能减少梁的跨度，将会降低梁的最大弯矩。,七、提高梁的承截能力的措施,2,、,合理布置载荷,使梁上载荷分散布置，可以降低最大弯矩。,3,、选择合理的截面,根据抗弯截面系数与截面面积比值,Wz,/A,选择截面,七、提高梁的承截能力的措施,抗弯截面系数越大，梁能承受载荷越大；横截面积越小，梁使用的材料越少。同时考虑梁的安全性与经济性，可知,Wz,/A,值越大，梁截面越合理,。,矩形截面：,圆形截面：,高为,h,的工字形与槽形截面：,三种截面的合理顺序是：,1,）工字形与槽形截面；,2,）矩形截面；,3,）圆形截面。,4.,减小跨度或增加支承,由前面内容可知，梁的变形与梁的跨度的高次方成正比，减小跨度,L,能够有效地提高梁的抗弯刚度并减少弯矩；增加支承也可以提高梁的抗弯刚度。如车床上车削工件时，由于车,刀尖给工件作用力，不用尾架顶尖时工件易变形。使用顶尖后，变形可以减小。,3,、选择合理的截面,根据材料的拉压性能选择截面,七、提高梁的承截能力的措施,对于塑性材料,，其抗拉强度和抗压强度相等，宜采用中性轴为截面对称轴的截面，使最大拉应力与最大压应力相等。如矩形、工字形、圆环形、圆形等截面形式。,对于脆性材料,，其抗压强度大于抗拉强度，宜采用中性轴不是对称轴的截面，如,T,形截面，使中性轴靠近受拉端：,思 考 与 练 习,3.1,具有对称截面的直梁发生平面弯曲的条件是什么？,3.2,如何理解在集中力作用处，剪力图发生突变,?,在集中力偶作用处，弯矩图发生突变,?,3.3,一矩形截面梁，它的高、宽之比,h/b,=2,在相同受力条件下，截面竖放与平放时，横截面上的最大正应力相差几倍？,3.4,为什么弯曲与拉伸组合变形时只需要校核拉应力强度条件，而弯曲与压缩组合变形时,脆性材料要同时校核拉应力和压应力强度条件？,3.5,同时承受拉伸、扭转和弯曲变形的圆截面杆件，按第三强度理论建立的强度条件是,否可写成如下形式？为什么？,3.6,试列出练习,3.6,图示的各梁的剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。,练习,3.6,图,3.7,空心管梁受载如练习,3.7,图所示，已知,=150MPa,，,外径,D,=80 mm,求,内径,d,的最大值。,练习,3.7,图,3.8,一矩形截面外伸梁受力如练习,3.8,图所示。已知材料许用应力,=160MPa,，,求最大许可载荷,F,max,。,练习,3.8,图,