数学分析--一型曲线积分.ppt

返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1 第一型曲线积分 本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量.二、第一型曲线积分的计算 一、第一型曲线积分的定义 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一 第一型曲线积分的定义 上的连续函 是定义在 设某物体的密度函数 数当 是直线段时,应用定积分就能计算得该物体 的质量.现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题.(2)近似求和：在每一个 上任取一点 由于 (1)分割：把 分成 个可求长度的小曲线段 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 上的连续函数,故当 的弧长都很小时,每一小段 的质量可近似地等于 其中 为小曲线段 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和式 (3)当对的分割越来越细密(即 )时,上述和式的极限就应是该物体的质量.由上面看到,求物质曲线段的质量,与求直线段的质 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页量一样,也是通过“分割、近似求和、取极限”来得到的.下面给出这类积分的定义.个可求长度的小曲线段 的弧长,它把 定义在 上的函数.对曲线 做分割 分成记为 分割 的细度为 在 上任取 一点 若有极限 为平面上可求长度的曲线段,定义1 设 为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页且 的值与分割 的取法无关,则称此 极限为上的第一型曲线积分,记作为空间可求长曲线段,若 为定义在 上 的函数,则可类似地定义 在空间曲线 上 的第一型曲线积分,并且记作 于是前面讲到的质量分布在曲线段 上的物体的质 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页量可由第一型曲线积分(1)或(2)求得.1.若在 为 常数,则也存在,且2.若曲线段 由曲线 首尾相接而成,都存在,则 也存在,且返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3 都存在,且在 则4也存在,且 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页5存在,的弧长为则存在常数 使得6.第一型曲线积分的几何意义 为L若 为坐标平面 上的分段光滑曲线,上定义的连续非负函数.由第一型曲线的定义,易见 以 为准线,母线平行于 轴的柱面上截取 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的部分的面积就是 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二 第一型曲线积分的计算定理20.1 设有光滑曲线 为定义在 上的连续函数,则 证 由弧长公式知道,上由 的弧长 的连续性与积分中值定理,有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以 这里 则有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页令现在证明 因为复合函数 连续,所以在闭区 间 上有界,即存在常数 使对一切 都有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页再由 上连续,所以它在 上一致连续,即对任给的 使当 时,从而 所以 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此当在(4)式两边取极限后,即得所要证的(3)式.上有连续的导函数时,(3)式成为 再由定积分定义 当曲线 由方程 表示,且 在 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页上有连续导函数时,(3)式成为 例1 设 是半圆周 试计算第一型曲线积分 解 当曲线 L由方程表示,且 在 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例2 一段(图20-2),试计算第一型曲线积分 解 由参 仿照定理20.1,对于空间曲线积分(2),当曲线 量方程 表示时,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其计算公式为:例3 计算 其中 为球面 被平面 所截得的圆周.解 由对称性知 所以 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页*例4 计算 其中 为内摆线 解 由对称性知 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其中*例5 求圆柱面 被圆柱面 所 而内摆线的参数方程为 因此 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页包围部分的面积 A.解 图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分,它的面积为 把 平面上的 位于第一象限的四分之一圆周记为,则被围柱面在第一卦限部分正是以曲线 L 为准线母线平行于 z 积分的几何意义可知它的面积为 的那部分柱面.由第一型曲面 轴的 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页L 的参数方程为:因此,定义,线密度为 的 曲线状物体对于 x,y 轴的转动惯量分别为 注 由第一型曲线积分的 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例6 求线密度为 的曲线段 对于 y 轴的转动惯量.解 和返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题 1.若 在光滑曲线上连续,是否一定存在 使得其中 s 是曲线 L 的弧长.2.设在光滑曲线 L 上连续,L满足条件:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页若满足条件:是否有 若满足条件:是否有 其中3.证明以下第一型曲面的轮换对称性:设在光滑曲线 L上连续,L 满足条件:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 若 满足条件:则