数学实验.doc

一、(下面各题每题5分，共10题)用mathematica求解下面问题，写出程序和结果。
1. 求隐函数的导数

解答：程序：
implyD[f_,x_,y_]:=Solve[D[f,x]==0,y'[x]]
implyD[ArcTan[y[x]/x]-Log[Sqrt[x^2+y[x]^2]],x,y]
结果：

2. 求在处的切线和法线方程。
解答：程序：
parametricD[x_,y_,t_]:=D[y,t]/D[x,t]
f[t_]=parametricD[t^2,Sin[t],t]
y1=f[Sqrt[2]]*(x-2)+Sin[2]
y2=-f[Sqrt[2]]*(x-2)+Sin[2]
结果：
y1=
y2= -
3. 求的近似值.
解答：程序：
NIntegrate[Exp[-x^2]*Cos[x^3],{x,0,Pi}]
结果：

4. 求不定积分
解答：程序：
Integrate[Cos[x]/(a*a+Sin[x]*Sin[x]),x]
结果：

5. 作出柱面和圆柱面相交的图形
解答：
程序：
g1= ParametricPlot3D[{Cos[u]*Sqrt[2]/2, Sin[u],v}, {u, -4, 4}, {v, -4, 4}]
g2= ParametricPlot3D[{Cos[u], v,Sin[u]}, {u, -4, 4}, {v, -4, 4}]
Show[g1, g2, PlotRange -> {{-4, 4}, {-4, 4}, {-4, 4}}]
结果：

6. 求的极值.
解答：程序：
Clear[f];
f[x_,y_]=-120*x^3-30*x^4+18*x^5+5*x^6+30*x*y^2
fx=D[f[x,y],x]
fy=D[f[x,y],y]
critpts=Solve[{fx==0,fy==0}]
fxx=D[f[x,y],{x,2}];
fyy=D[f[x,y],{y,2}];
fxy=D[f[x,y],x,y];
disc=fxx*fyy-fxy^2
data={x,y,fxx,disc,f[x,y]}/.critpts;
TableForm[data,TableHeadings->{None,{ "x ", "y ", "fxx ", "disc ", "f "}}]

结果：

由表格可知当x=-2,y=0时,函数有极大值224；当x=2，y=0时，函数有极小值-544。当x=-3,y=0和x=0,y=0时, 判别式disc<=0, 函数在这些点没有极值.

7. 求曲面积分其中为球面的下半部分的外侧.
解答：程序：
Clear[A,fa,ds];
A={0,0,z*x^2*y^2};
fa=-{x,y,z}/a;
ds=a^2*Sin[u];
Integrate[(A.fa/.{xa*Sin[u]*Cos[v],y®a*Sin[u]*Sin[v],z®a*Cos[u]})*ds//Simplify,{u,-Pi/2,0},{v,0,2Pi}]
结果：
8. 求的近似值. 其中路径 :,
解答：
程序：luj ={t,t^2/3, Sqrt[t] }
D[luj,t]
ds=Sqrt[D[luj,t].D[luj,t]]
NIntegrate[(Sqrt[1+x^3+5*y^3]/.{x->t, y->t^2/3,z-> Sqrt[t]})*ds,{t,0,2}]
结果：
9. 求微分方程组的通解.
解答：
程序：sol = DSolve[{x'[t]+ 5*x[t]+ y[t]== Sin[t] , y'[t]+ x[t] + 3*y[t]== Exp[2*t] }, {y[t], x[t]}, t]
Simplify[%]

结果：

10. 求方程在区间[0,4]上的近似解.
解答：程序：fl=NDSolve[{y''[x]+x*y'[x]+y[x]==0,y[1]==0, y'[1]==5}, y[x], {x,0,4}]

结果：

二、(本题50分) 本题由半个椭球面和若干个小球组成。选做下列三种情况之一，得分由图像的难度和优美程度决定。
1情况一：半个椭球面固定，小球以某种能够平衡的方式放在椭球面里面，要求球面和球面，球面和椭球面相切，小球的个数大于等于3。
2情况二：半个椭球面固定，小球在椭球面里面运动，小球的个数大于等于1。
3情况三：半个椭球面以某种规律运动，小球在椭球面内部随着运动，小球个数为1。
解答：
情况一：
程序:
g1:=ParametricPlot3D[{Sin[u]*Cos[v]+1,Sin[u]*Sin[v],Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30]
g2:=ParametricPlot3D[{Sin[u]*Cos[v]-1,Sin[u]*Sin[v],Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30]
g3:=ParametricPlot3D[{Sin[u]*Cos[v],Sin[u]*Sin[v],Cos[u]-Sqrt[3]},{u,0,Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints->30]
g4:=ParametricPlot3D[{2*Sin[u]*Cos[v],4*Sin[u]*Sin[v],(Sqrt[3]+1)*Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,Pi},PlotPoints->30]
Show[{g1,g2,g3,g4},PlotRange ->{{-4,4},{-4,4},{-4,4}}]
结果:

情况二:
程序: Animate[Show[ParametricPlot3D[{4*Sin[u]*Cos[v],6*Sin[u]*Sin[v],(Sqrt[3]+2)*Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,Pi},PlotRangeAll],ParametricPlot3D[{Sin[u]*Cos[v],Sin[u]*Sin[v]+1,Cos[u]+t/2},{u,0,2 Pi},{v,0,2 Pi},PlotRangeAll],ParametricPlot3D[{Sin[u]*Cos[v],Sin[u]*Sin[v]+4,Cos[u]-t/2},{u,0,2 Pi},{v,0,2 Pi},PlotRangeAll]],{t,0,1},DefaultDuration10,RefreshRate0.5,AnimationRunningFalse]
结果：

情况三:
程序:
Animate[Show[ParametricPlot3D[{2*Sin[u]*Cos[v],4*Sin[u]*Sin[v]+t,(Sqrt[3]+1)*Cos[u]+t^3},{u,0,Pi},{v,0,Pi},PlotRangeAll],ParametricPlot3D[{Sin[u]*Cos[v],Sin[u]*Sin[v]+t+1,Cos[u]+t^3},{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},PlotRangeAll]],{t,0,5},DefaultDuration10,RefreshRat0.5,AnimationRunningFalse]
结果: