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八年级数学讲义
第11章 三角形
一、 三角形得概念
1． 三角形得定义 由不在同一直线上得三条线段首尾顺次连结所组成得图形叫做三角形 
要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 
2．三角形得表示 
△ABC中，边：AB，BC，AC 或 c，a，b．
顶点：A，B，C ．
内角：∠A ，∠B ，∠C．． 
二、 三角形得边
1、 三角形得三边关系:（证明所有几何不等式得唯一方法）
(1) 三角形任意两边之与大于第三边:b+c>a
(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a
1、1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形、
当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形、
1、2 确定三角形第三边得取值范围: 两边之差<第三边<两边之与、
2、 三角形得主要线段
2、1三角形得高线
从三角形得一个顶点向它得对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间得线段叫做三角形得高线、

①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；
②直角三角形三条高线交于直角顶点；
③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点
2、2三角形得角平分线
三角形一个角得平分线与它得对边相交，这个角得顶点与交点之间得线段叫做三角形得角平分线。
三条角平分线交于三角形内部一点、
2、3三角形得中线
连结三角形一个顶点与它对边中点 得线段叫做三角形得中线。
三角形得三条中线交于三角形内部一点、
三、 三角形得角
1 三角形内角与定理
结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°  ※三角形中至少有2个锐角
结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．  ※三角形中至多有1个钝角
注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 
如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B） 
②在三角形中，已知三个内角与得比或它们之间得关系，求各内角． 
如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C得度数
2三角形外角与定理
2、1外角：三角形一边与另一边得延长线组成得角叫做三角形得角．
2、2性质： 
①三角形得一个外角等于与它不相邻得两个内角得与、 
②三角形得一个外角大于与它不相邻得任何一个内角、 
③三角形得一个外角与与之相邻得内角互补 
2、3外角个数：
过三角形得一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角
四、 三角形得分类
(1) 按角分：①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形
(2) 按边分：①不等边三角形 ②底与腰不等得等腰三角形 ③等边三角形
五 多边形及其内角
1、 多边形得定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成得图形叫做多边形、
2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等得多边形叫做正多边形。
3、多边形得对角线
　　　　(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。
　　 (2)n边形共有条对角线。
4、n边形得内角与等于(n－2)·180°(n≥3，n就是正整数)。任意凸形多边形得外角与等于360°
※多边形外角与恒等于360°，与边数得多少无关、
※多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；
※多边形得外角中最多有3个钝角，最少没有钝角、
5、实现镶嵌得条件：拼接在同一点得各个角得与恰好等于360°；相邻得多边形有公共边。
【考点三】判断三角形得形状
8、若△ABC得三边a、b、c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断△ABC得形状。
9、已知a，b，c就是△ABC得三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC得形状。
10、若△ABC得三边为a、b、c（a与b不相等），且满足a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0，试判断△ABC得形状。
二、三角形角有关计算
1、如图△ABC中AD就是高,AE、BF就是角平分线，它们相交于点O,∠A= 50°,∠C = 70°求∠DAC,∠AOB
解∵AD就是△ABC得高,∠C = 70°
∴ ∠DAC =180°-90°-70°=20°
∵ ∠BAC =50°
∴ ∠ABC =180°-50°-70°=60°
∵ AE 与BF就是角平分线
∴ ∠BAO =25°, ∠ABO =30°
∴ ∠AOB =180°-25°-30°=125°
2、如图, △ABC中, D就是BC边上一点，∠1= ∠2, ∠3=∠4，∠BAC= 63°,求∠DAC得度数

3、 已知：P就是△ABC内任意一点、 求证：∠BPC＞∠A

4、如图，∠1=∠2， ∠3=∠4，∠A= 100°，求x得值

5、已知△ABC得∠B、∠C得平分线交于点O。求证：∠BOC=90°+ ∠A (角平分线模型)

6、已知：BP、CP就是△ABC得外角得平分线，交于点P。 求证：∠P=90°- ∠A (角平分线模型)

7、△ABC中，∠ABC得平分线BD与△ABC得外角平分线CD交于D，求证：∠A=2∠D (角平分线模型)

8、△AOB中，∠AOB=90°,∠OAB得平分线与△ABC得外角∠OBD平分线交于P，求∠P得度数

9、如图：求证：∠A+∠B+∠C=∠ADC (飞镖模型)

第12章 全等三角形
一、全等三角形得概念与性质
1、概念：能够完全重合得两个三角形叫做全等三角形 。
（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，记作≌
2、性质：（1）对应边相等（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等
二 、全等三角形得判定
1 全等三角形得判定方法：（SAS）,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)
边边边（SSS）
边角边（SAS）
角边角(ASA)
角角边AAS
直角边与斜边（HL）

三边对应相等得两三角形全等
有两边与它们得夹角对应相等得两个三角形全等
有两角与它们得夹边对应相等得两个三角形全等、
两角与及其中一个角所对得边对应相等得两个三角形全等、
有一条斜边与一条直角边对应相等得两个直角三角形全等(HL）
2．全等三角形证题得思路：

3全等三角形得隐含条件：①公共边（或公共角）相等 ②对顶角相等
③利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其与（或差）仍相等
④利用平行线得性质得出同位角、内错角相等
全等三角形（SAS）
【知识要点】
两边与它们得夹角对应相等得两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示
A
B
C
E
D
F
如图，在与中，
≌
【典型例题】
A
D
B
E
C
【例1】 已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD、
证明：在△ABE与△ACD中，
AB=AC，
∠BAE=∠CAD
AD=AE
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴BE=CD、
A
B
D
E
C
1
2
【例2】 如图，已知：点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，由此您能得出哪些结论？给出证明、
【例3】 如图已知：AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE得度数、
B
E
A
F
C
O

【例4】如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B与点E分别在直线AD得两侧，AB∥DE且AB＝DE，AF＝DC。求证：BC∥EF。

D
A
B
C
E
【例5】如图，已知△ABC、△BDE均为等边三角形。求证：BD＋CD=AD。
全等三角形（SSS）
【知识要点】
三边对应相等得两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”，
几何表示
【典型例题】
【例1】如图，在中，M在BC上，D在AM上，AB=AC , DB=DC 求证：AM就是得角平分线
证明:在△ABD与△ACD中，
AB=AC
DB=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD (SSS)
∴∠BAD=∠CAD

又∵AB=AC
∴MB=MC
∴AM就是得角平分线(三线合一)
【例2】如图：在△ABC中，BA=BC，D就是AC得中点。求证：BD⊥AC。

例3、 如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：∠B=∠C。
例4、 如图，在中,，D、E分别为AC、AB上得点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC、求证：DE⊥AB。
全等三角形（AAS）
【知识要点】
两边与它们得夹角对应相等得两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS”，
【典型例题】
A
D
B
E
C
F
【例1】已知如图，，求证：BC=EF
A
B
D
E
C
【例2】如图，AB=AC，，求证：AD=AE
【例3】已知：如图，AB=AC，BD^AC，CE^AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
A
C
B
D
E
F

A
B
C
D
P
1
2
3
4
【例4】已知如图，，点P在AB上，可以得出PC=PD吗？试证明之．
全等三角形（ASA）
【知识要点】
两边与它们得夹角对应相等得两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS”，
【典型例题】
【例1】如图，已知中，，、分别就是及平分线．求证：．

【例2】如图，在△MPN中，H就是高MQ与NR得交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM、

证明：∵MQ与NR就是△MPN得高， ∴∠MQN＝∠MRN＝90°，
又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2
在△MPQ与△NHQ中，
∴△MPQ≌△NHQ（ASA） ∴PM＝HN
【例3】已知：如图AC⊥CD于C , BD⊥CD于D , M就是AB得中点 , 连结CM并延长交BD于点F。求证：AC=BF．
全等三角形（HL）
【知识要点】
直角边与斜边对应相等得两个直角三角形全等，简写成“HL”
【典型例题】
1、如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F就是垂足，．求证：．
A
D
E
C
B

F

例2、已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：① △BEC≌△DAE；②DF⊥BC．
B
C
D
E
F
A

例3、如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。（1）求证：MN=AM+BN。

全等三角形常见辅助线得作法
一 倍长中线法
倍长中线法:就就是将三角形得中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形得有关知识来解决问题得方法．

倍长中线法得过程：延长××到某点，使什么等于什么（延长得那一条），用SAS证全等（对顶角）
方法总结：遇中线，要倍长，倍长之后__构造全等三角形_，转移边、转移角，然后与已知条件重新组合解决问题
【例题精讲】
例1、如图1，在△ABC中，AD为BC边上得中线．求证：AB+AC＞2AD．
分析：①因为AD为中线，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE；
②进而利用全等三角形得判定（SAS）△ABD≌△ECD；③由全等可得_AB=EC__；
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接EC 
∵AD就是中线   ∴DC=DB
在△CDE与△BDA中
DE=AD，
∠CDE=∠BDA，
DC=DB 
∴△CDE≌△BDA（SAS）
∴CE=AB 
在△AEC中 CE+AC>AE，CE=AB
∴AB+AC>AE   ∵DE=AD
∴AE=2AD   ∵AB+AC>AE    ∴AB+AC>2AD
例2如图CB，CD分别就是钝角△AEC与锐角△ABC得中线，且AC=AB．求证：CE=2CD．

证明：延长CD至，使DF=CD，连接BF，
在⊿ADF与⊿BDC中 AD=BD
∠ADF=∠BDC
CD=DF
∴⊿ADF≌⊿BDC
∴AF=BC，
AF∥BC ∴∠CAF+∠ACB=180°，
∵ ∠ACB=∠ABC，∠ABC+∠CBE=180°
∴∠CAF=∠CBE 又因为AC=BE，
∴⊿CAF≌⊿CBE∴CE=CF
例3、 如图，在中，交于点，点就是中点，交得延长线于点，交于点，若，求证：为得角平分线．
证明：延长到点，使，连结．
在与中

∴
∴，
∴，而
∴
又∵
∴，
例4、如图，在中，就是边得中线，E就是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于点F．求证：AF＝EF
证明：延长AD到点G，使AD=DG，连结BG．∵就是边得中线 ∴DC=DB
在△ADC与△GDB中
AD=DG
∠ADC=∠GDB
DC=DB

∴△ADC≌△GDB （SSS）
∴∠CAD=∠BGD BG=AC
又∵BE=AC，∴BE=BG∴∠BED=∠G
∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD，
即：∠AEF=∠FAE，∴AF=EF．
二 截长补短法
截长:1、过某一点作长边得垂线 2、在长边上截取一条与某一短边相同得线段，再证剩下得线段与另一短边相等。
补短:1、延长短边 2、通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
【例题精讲】
例1、 如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2 求证：AB＝AC＋CD

证法一：（补短法）
延长AC至点F，使得AF＝AB
在△ABD与△AFD中

∴△ABD≌△AFD（SAS）
∴∠B＝∠F
∵∠ACB＝2∠B
∴∠ACB＝2∠F
而∠ACB＝∠F＋∠FDC
∴∠F＝∠FDC
∴CD＝CF
而AF＝AC＋CF
∴AF＝AC＋CD
∴AB＝AC＋CD

证法二：（截长法）
在AB上截取AE＝AC，连结DE
在△AED与△ACD中

∴△AED≌△ACD（SAS）

例2、 如图，在△ABC中，AD为BC边上得高，∠B=2∠C、求证：CD=AB+BD、
　证明：在DC上截取DE=DB，连接AE，
在△ADB与△ADE、中DE=DB，∠ADB=∠ADE,AD=AD∴△ADE≌△ADB（SAS）
　　∴ AE=AB，∠AEB=∠B，
　　∵ ∠AEB=∠C+∠CAE，∠B=2∠C，ED=BD，
　　∴ ∠AEB=2∠C、
　　∴ ∠C=∠CAE，故CE=AE=AB、
　　∴ CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD、
例3、如图，AD//BC，BE、AE分别就是∠ABC、∠BAD得平分线，点E在CD上，求证：AB=AD+BC

证明：在AB上截取AF=AD，连接EF．
∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2．
在△FAE与△DAE中，

AF=AD
∠1=∠2
AE=AE

∴△FAE≌△DAE．
∴ ∠AFE=∠D
又∵ AD//BC
∴∠C+∠D=180
而 ∠BFE+∠AFE= 180°
∴ ∠C=∠BFE
在ΔBFE 与 ΔBCE中
∠C=∠BFE
∠3=∠4，
BE=BE
∴ ΔBFE ≌ ΔBCE
∴ BF=BC
∴ AD+BC=AB
例4、如图，△ABC中，AB＞AC，AD就是∠BAC得角平分线，P就是线段AD上任一点除A、D外得任意一点。求证：AB－AC＞PB－PC
证明：在AB就是截取AE＝AC
在△ACP与△AEP中，有：
AC＝AE （已知）
∠EAP＝∠CAP （已知AD就是∠BAC角平分线）
AP＝AP （公共边）
∴ △ACP≌△AEP （SAS）
∴ PC＝PE （全等三角形对应边相等）
∵ BE＞PB－PE （三角形两边差小于第三边）
∴ BE＞PB－PC （等量代换）
∵ BE＝AB－AE
AC＝AE
BE＞PB－PC
∴ AB－AC＞PB－PC

人教版八年级上册数学讲义
三 与角平分线有关得辅助线
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上得点到角两边得距离相等。
1 截取构造全等
例1 如图1，在中，平分，，求：得值．
A
CB
B
D
F
（图2）
C
A
B
D
E
（图1）
解法1：在上截取使，连结．
∵，，
∴，
∴，．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
解法2：延长到，使，连结．
∵ ∠FAD=∠CAD，AD=AD
∴△CAD≌△FAD(SAS)∴AC=AF
又∵ AB+BF=AF ∴BD=BF ∠ABC=2∠F=2∠C
2、“角平分线 + 垂线”构造全等三角形或等腰三角形
例2 如图3，在四边形中，，，平分．
求证：．
A
B
C
D
E
F
（图3）
证明：过点作，交延长线于点，作，交于点．
∵平分，
∴．又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
A
B
C
D
F
E
（图4
例3 如图4，已知等腰三角形中，，得平分线交于点，过点作得垂线交得延长线于点．求证： ．
证明：延长交得延长线于点，
∵就是得平分线，，
∴，
∴就是等腰三角形．
∴．
∴．
∵，，，
∴．
．
角平分线得性质
1、角得平分线得性质
角得平分线上得点到角得两边距离相等。
A
B
C
D
E
O
P
例1，如图，OC就是∠AOB得角平分线，点P就是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE。
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠ODP=∠OEP=900（垂直得定义）
又∵OC平分∠AOB（已知）
∴∠AOC=∠BOC（角得平分线定义）
在Rt△DOP与Rt△EOP中

∴Rt△DOP≌Rt△EOP（AAS）
∴PD=PE（全等三角形得对应边相等）
2、角得平分线得逆应用（角平分线得判定）
角得内部到角得两边得距离相等得点在角得平分线上。
例2已知：如图，点P在∠AOB内部得一条射线OC上，并且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，PD=PE。求证：射线OC就是∠AOB得平分线。
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠ODP=∠OEP=900（垂直得定义）
在Rt△DOP与Rt△EOP中，
∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）
∴∠DOP=∠EOP（全等三角形得对应角相等） 即射线OC平分∠AOB
【典型例题】
O
A
B
C
D
E
例3：如图，已知OE平分∠AOB，BC⊥OA，AD⊥OB。求证：EA=EB
例4：如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于点O，OB=OC。
A
B
C
D
E
O
1
2
求证：∠1=∠2
A
B
D
P
O
M
N
例5：如图所示，已知OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA=OB，点P在OD上，且PM⊥BD，PN⊥AD。求证：PM=PN
A
B
C
D
E
F
O
例6：如图，AD就是△ABC中∠BAC得平分线，DE，DF分别就是△ABD与△ACD得高，那么EF与AD有何特殊得位置关系？试证明您得结论。
例7：如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC。求证：∠A+∠C=1800。
A
B
C
D

第13章 轴对称
知识网络结构图
轴对称
轴对称图形
(1)定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁得部分能够互相重合，
这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就就是它得对称轴

①两个图形成轴对称(或一个图形就是轴对称图形)，则对应线段
(对折后重合得线段)相等；对应角(对折后重合得角)相等
②对称轴垂直平分连接对应点得线段
(2)性质

(3)垂直平分线
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段得直线，叫
做这条线段得垂直平分线
性质：线段垂直平分线上得点与这条线段两个端点得
距离相等
判定：与一条线段两个端点距离相等得点在这条线段
得垂直平分线上
作轴对称图形
用坐标表示轴对称
轴对称变换：由一个平面图形得到它得轴对称图形，叫做轴对称变换
P(x，y)关于x轴得对称点得坐标为P′(x，－y)
P(x，y)关于y轴得对称点得坐标为P″(－x，y)
性质

等腰三角形

定义：有两条边相等得三角形．叫做等腰三角形

(1)等腰三角形得两个底角相等(等边对等角)
(2)等腰三角形得顶角平分线、底边上得中线、底边上得高相互
重合(三线合一)

1、 轴对称及轴对称图形
轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁得部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就就是它得对称轴。这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。如下左图，△ABC就是轴对称图形。
A
B
C
l
A
A
A’
B
B’
C
C’
l

规律方法小结：轴对称图形就是指“一个图形”；轴对称就是指“两个图形”得位置关系，在某种情况下，二者可以互相转换，如果把轴对称得两个图形瞧成一个整体，那么它就就是一个轴对称图形。
等腰三角形与等边三角形
1、 等腰三角形得定义：有两条边相等得三角形叫做等腰三角形
2、 等腰三角形得性质： 等边对等角 三线合一
（1） 两腰相等
（2） 两底角相等
（3） “三线合一”，即顶角平分线、底边上得中线、底边上得高互相重合
3、 等腰三角形得判定：
（1） 有两条边相等得三角形就是等腰三角形
（2） 有两个角相等得三角形就是等腰三角形
4、 等边三角形得定义：有三条边相等得三角形叫做等边三角形
5、 等边三角形得性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°
6、 等边三角形得判定：
（1） 三条边都相等得三角形就是等边三角形
（2） 三个角都相等得三角形就是等边三角形
（3） 有一个角就是60°得等腰三角形就是等边三角形
【典型例题】
例1：已知一个等腰三角形两内角得度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角得度数为（ ）
A、200 B、1200 C、200或1200 D、360
A
B
D
C
800
例2： 如图，在△ABC中，点D就是BC上一点，∠BAD=800，AB=AD=DC，则∠C=________
例2：若等腰三角形得底边长为8cm，腰长就是5cm，则这个等腰三角形得周长就是（ ）
A、21cm B、18cm C、18cm或21cm D、13cm或26cm
A
B
C
D
例3：如图，△ABC中，∠C=900，∠ABC=600，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=_________
A
B
D
E
C
例4：如图，在△ABC中，AB=AC，AE就是∠BAC得外角∠DAC得平分线。试判断AE与BC得位置关系。
例5：如图，△ABD与△ACE就是等边三角形。求证：BE=CD
D
A
C
B
E

例6．已知如图所示, 在△ABC中, BD就是AC边上得中线, DB⊥BC于B, ∠ABC=120o,
求证: AB=2BC
B
A D C
E
A
B
C
D
E
例7：如图，在△ABC中，∠C=900，∠BAC=600，AB得垂直平分线DE交AB于E，交BC于E，若CE=3cm，求BE得长
【例8】如图，△DAC与△EBC均就是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论：①△ACD≌△DCB; ②CM=CN; ③AC=DN、其中正确结论得个数就是
A、3个 B、2个 C、1个 D、0个
分析：∵△DAC与△EBC均就是等边三角形
∴AC=DC,CE=CB, ∠ACD=∠BCE
∴∠ACE=∠DCB
∴△ACE≌△DCB
∴∠CAE=∠CDB
又∵∠ACM=∠DCN=60°，AC=DC
∴△ACM≌△DCN
∴CM=CN、故①②正确