人教版数学高二必修五不等式练习.doc

人教版数学高二必修五不等式练习
不等式
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；
不等式得主要性质：
(1)对称性：　　　　　　　(2)传递性：
(3)加法法则：；(同向可加)
(4)乘法法则：；　　　　
(同向同正可乘)
(5)倒数法则：　　(6)乘方法则：
(7)开方法则：
2、应用不等式得性质比较两个实数得大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）
3、应用不等式性质证明不等式
（二）解不等式
1、一元二次不等式得解法
一元二次不等式得解集：
设相应得一元二次方程得两根为，，则不等式得解得各种情况如下表：

二次函数

（）得图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

2、分式不等式得解法：分式不等式得一般解题思路就是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项得系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

3、不等式得恒成立问题：常应用函数方程思想与“分离变量法”转化为最值问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
（三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成得平面区域、（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域得判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧得所有点()，把它得坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数得符号都相同，所以只需在此直线得某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C得正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧得平面区域、（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划得有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组就是一组变量x、y得约束条件，这组约束条件都就是关于x、y得一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y得一次式z=ax+by就是欲达到最大值或最小值所涉及得变量x、y得解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下得最大值或最小值得问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域与最优解：
满足线性约束条件得解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成得集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值得可行解叫线性规划问题得最优解．
4、求线性目标函数在线性约束条件下得最优解得步骤：
（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示得平面区域做出可行域；
（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数得最优解
（四）基本不等式
1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号、
2．如果a,b就是正数，那么
变形： 有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号、
3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;
如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值、
注：（1）当两个正数得积为定值时，可以求它们与得最小值，当两个正数得与为定值时，可以求它们得积得最小值，正所谓“积定与最小，与定积最大”．
（2）求最值得重要条件“一正，二定，三取等”
4. 常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右得运算结构选用) ；
平方平均≥算术平均≥几何平均≥调与平均（a、b为正数）：
（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水得浓度问题）。
不等式主要题型讲解
（一） 不等式与不等关系
题型一：不等式得性质
1. 对于实数中，给出下列命题：
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥；
⑦； ⑧，则。
其中正确得命题就是________________________
题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）
2. 设，，，试比较得大小
3. 比较1+与得大小
4. 若，则得大小关系就是 、
（二） 解不等式
题型三：解不等式
5. 解不等式
6. 解不等式。
7. 解不等式
8. 不等式得解集为{x|-1＜x＜2}，则=_____, b=_______
9. 关于得不等式得解集为，则关于得不等式得解集为
10. 解关于x得不等式
题型四：恒成立问题
11. 关于x得不等式a x2+ a x+1＞0 恒成立，则a得取值范围就是_____________
12. 若不等式对得所有实数都成立，求得取值范围、
13. 已知且，求使不等式恒成立得实数得取值范围。
（三）基本不等式
题型五：求最值
14. （直接用）求下列函数得值域
（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋
15. （配凑项与系数）
（1）已知，求函数得最大值。
（2）当时，求得最大值。
16. （耐克函数型）求得值域。
注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到得情况，应结合函数得单调性。
17. （用耐克函数单调性）求函数得值域。
18. （条件不等式）
（1） 若实数满足，则得最小值就是 、
（2） 已知，且，求得最小值。
（3） 已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x得最大值、
（4） 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝得最小值、
题型六：利用基本不等式证明不等式
19. 已知为两两不相等得实数，求证：
20. 正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
21. 已知a、b、c，且。求证：
题型七：均值定理实际应用问题：
22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2得三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁得厚度忽略不计，试设计污水池得长与宽，使总造价最低，并求出最低造价。
（四）线性规划
题型八：目标函数求最值
23. 满足不等式组，求目标函数得最大值
24. 已知实系数一元二次方程得两个实根为、,并且,．则得取值范围就是
25. 已知满足约束条件： 则得最小值就是
26. 已知变量（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a得取值范围为 。
27. 已知实数满足如果目标函数得最小值为，则实数等于（ ）
题型九：实际问题
28. 某饼店制作得豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？
复习――不等式得基本知识参考答案
高中数学必修内容练习---不等式
1. ②③⑥⑦⑧；
2. ；
3. 当或时，1+＞；当时，1+＜；当时，1+＝
4. ∵ ∴
（
∴R>Q>P。
5.
6. 或；
7. ）；
8. 不等式得解集为{x|-1＜x＜2}，则=___-6____, b=__6_____
9. ）、
10. 解：当a＝0时，不等式得解集为； 2分
当a≠0时，a(x－)(x－1)＜0；当a＜0时，原不等式等价于(x－)(x－1)＞0
不等式得解集为； 6分
当0＜a＜1时，1＜，不等式得解集为； 8分
当a＞1时，＜1，不等式得解集为； 10分
当a＝1时，不等式得解为φ． 12分
11. _____0≤x＜4________
12. ）
13.
14. 解：（1）y＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞）
（2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；
当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
15. （1）解，
当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。
（2）
当，即x＝2时取等号 当x＝2时，得最大值为8。
16. 解析一：

当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
解析二：本题瞧似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。
17. 解：令，则
因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。
因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。
所以，所求函数得值域为。
18. （条件不等式）
（1） 解： 都就是正数，≥
当时等号成立，由及得即当时，得最小值就是6．
（2） 解：，
当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，
（3） 解：x＝x ＝x·
下面将x，分别瞧成两个因式：
x·≤＝＝ 即x＝·x ≤
（4） 解：法一：a＝， ab＝·b＝
　　　由a＞0得，0＜b＜15
　　　令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8
　　　∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2
　　　令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3
　　　∴≤3，ab≤18，∴y≥
19. 已知为两两不相等得实数，求证：
20. 正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
21. 已知a、b、c，且。求证：
证明：a、b、c，。。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
。当且仅当时取等号。
22. 解：　　若设污水池长为x米，则宽为 （米）
　　水池外圈周壁长： （米）
　　中间隔墙长： （米）
　　池底面积：200（米2）
　　目标函数：
　　　　　　　　≥
23. 4
24.
25. 1
26. 。
27. 5
28. 解：设一盒內放入x个豆沙月饼，y个凤梨月饼，利润为z元
　　　　　　 则x，y必须满足，
　　　　　　 目标函数为z＝15x＋10y

　　　　　　 在可行区內得顶点附近z＝f ( x，y ) 得最大值，
　 所以，一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼，可得最大利润110元。

绝对值不等式得解法：
方法1：利用绝对值性质：

一般得：①②
特别地：①
②
练习1：不等式得解集为___________________
2、 解不等式
3、不等式得解集就是
4、不等式得解集就是_____________________
方法2：利用绝对值定义：
将不等式同解变形为不等式组（即分类讨论思想）
上面5题都可用此法
方法3：零点分区间法，（含有多个绝对值得不等式时可用此法）
练习1、解不等式

方法4：平方法：
若不等式两边均为非负数，对其两边同时平方，再解不等式。
（切记：若用平方法，则不等式两边必须都就是非负数,只有这样，才能运用平方法。）
① ②
练习1、不等式得解集为__________________________
2、不等式得解集就是
绝对值不等式性质定理得运用：，特别就是用此定理求函数得最值。
练习1、不等式对任意实数恒成立，则实数得取值范围为_______________________
2、若不等式，对于均成立，那么实数得取值范围就是___________________
含绝对值不等式得性质：
同号或有；
异号或有、
如设，实数满足，求证：
练习：
1、 已知，求得取值范围。
2、已知，且，求得取值范围。
3、正数满足，求得最小值。
4、设实数满足，当时，求得取值范围。
5、已知函数满足，，求取值范围。
6、已知：、都就是正数，且，，，求得最小值
7、已知集合与，若，求得取值范围。
8、若关于得方程有实数解，求实数得取值范围。