概率论习题选讲.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,例题选讲,解,A,表示“三本书放在一起”,总的基本事件数为,A,的有利事件数为,所以，,A,事件的概率为,例,1,将,10,本书任意地放在书架上，求其中指定的三本,书放在一起的概率。,解,1,A,表示“钱额总和超过一角”,总的基本事件数为,A,事件要发生，则至少应取一个,5,分硬币，否则,最多只可得,8,分钱,所以，,A,事件的概率为,A,事件的有利事件数为,例,2,袋中有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，,从中任取,5,个，求钱额总和超过一角的概率。,解,2,A,表示“钱额总和超过一角”,总的基本事件数为,A,事件要发生，则至少应取一个,5,分硬币，,两个,2,分硬币，,否则最多只可得,9,分钱,所以，,A,事件的概率为,A,事件的有利事件数为,错误,A,表示“钱额总和超过一角”,实验的样本空间为,5,分，,6,分，,，,16,分，,共,12,个样本点,A,事件包含,11,分，,12,分，,，,16,分等,6,个样本点,所以，,A,事件的概率为,错误分析：,实验为任取,5,枚硬币，每枚硬币被,取到的机会均等，但是，钱额总和为,5,，,6,，,，,16,的机会是不均等的，样本空间的形成不对。,例,3,从,1,2000,中随机取一整数，问取到的整数,能被,6,或,8,整除的概率是多少？,解 总的基本事件数为,设,A,表示“取到的数能被,6,整除”，,B,表示“取到的数能被,8,整除”，则,所求概率为,讨论,把,6,个小球随机地投入,6,个盒内,(,球,盒可识别,),求前,三个盒当中有空盒的概率,.,解,设 表示第 个盒空着,则所求概率为,讨论,把,6,个小球随机地投入,6,个盒内,(,球,盒可识别,),求前,三个盒当中有空盒的概率,.,另解 设,A,表示“前三个盒中有空盒”,则,所以,错误,：重复计算,1,2,5,4,6,3,1,2,5,4,6,3,解,设,A,，,B,，,C,分别表示三人破译密码，则,设,D,表示“密码被破译”，则,例,4,三个人独立地破译一个密码，他们各自能破译的,概率分别为,1/5,，,1/3,，,1/4.,求密码被破译的概率。,例,5,已知,5,把钥匙中有一把能打开房门，因开门,者忘记哪把能开门，于是逐把试开，求前三次能打开,门的概率。,解 设,A,i,表示“第,i,次打开门”，,i,1,，,2,，,3,。,B,表示“前三次能打开门”,则,所求概率为,例,6,从,(0,1),中随机地取出两数，求两数之和小于,6/5,的概率。,解 设所取的数分别为,x,y,，设,A,表示“两数之和小于,6/5”,则,A,发生,0 1 1.2,1.2,1,如右图所示，所求概率为,A,例,7,在长度为,a,的线段内任取两点将其分成三段，,求他们可以构成三角形的概率。,解 如图：设插入的分点为,C,，,D,，线段,AC,长为,x,，,CD,长为,y,，则,DB,长为,a-,x-y,。,设,A,表示“分成的三段能构成三角形”，则,A C D B,则,x,y,应满足条件,A,发生,例,7,在长度为,a,的线段内任取两点将其分成三段，,求他们可以构成三角形的概率。,解 如右图所示，所求概率为,0 a/2 a,a,a/2,A,而,A,占据的面积为,例,8,随机地向半圆 （,a,为正常数）内投掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与,x,轴的夹角小于 的概率为多大？,解 设,A,表示“原点与该点的连线与,x,轴的夹角小于,”,由题设可知：,因为,所以,解,A,表示发报台发出信号“,.”,，,B,表示,收报台收到信号“,.”,则,例,9,发报台分别以概率,0.6,和,0.4,发出信号“,.”,和“,-”,，由于,通信系统受到干扰，当发出信号“,.”,时，收报台分别以概,率,0.8,和,0.2,收到信号“,.”,和“,-”,，同样，当发报台发出信号,“,-”,时，收报台分别以概率,0.9,和,0.1,收到信号“,-”,和“,.”,，,求（,1,）收报台收到信号“,.”,的概率；（,2,）当收报台收到,信号“,.”,时，发报台确系发出信号“,.”,的概率。,例,10,一批产品中,96%,是合格品，检查产品时，一件合格品被误认为是次品的概率是,0.02,，一件次品被误认为是合格品的概率是,0.05,，求在被检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率。,解 设,A,表示“产品是合格品,”,，,B,表示“产品被检查,为合格品,”,，则,则所求概率为,例,11,有两台车床生产同一型号零件，甲车床的产量是乙车床的,1.5,倍，甲车床的废品率为,2%,，乙车床的废品率为,1%,，现任取一零件检查是废品，问该产品是由甲车床生产的概率是多少？,解 设,A,表示“甲车床生产的产品,”,，,B,表示“乙车床,生产的产品,”,，,C,表示“废品,”,，则,则所求概率为,例,12,对以往数据进行分析，结果表明：当机器调整良好时，产品的合格率为,90%,，而当机器发生某一故障时，产品的合格率为,30%,，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率是,75%.,设某日早上第一件产品是合格品，试问机器调整良好的概率是多少？,解 设,A,表示“机器调整良好,”,，,B,表示“产品合格,”,，则,则所求概率为,例,13,玻璃杯成箱出售，每箱,20,只，假设各箱中含,0,，,1,，,2,只次品的概率分别为,0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱,玻璃杯，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看,4,只，,若无次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，求,（,1,）顾客买下该箱玻璃杯的概率；,（,2,）在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率。,知识点,全概率公式,Bayes,定理,解,设,A,i,表示“箱中有,i,件次品”（,i=0,，,1,，,2,）；,B,表示“顾客买下整箱玻璃杯”，则,所以,例,14,盒内有,12,个大小相同的球，其中,5,个红球，,4,个白球，,3,个黑球，第一次任取,2,球，第二次从余下的,10,个球中任取,3,个（均为不重复取球）。如果发现第二次取到的,3,个球中有,2,个红球，比较第一次取到几个红球的概率最大。,解 设,A,i,表示“第一次取到,i,个红球”，,B,表示,“第二次取到,2,个红球”，则,所以，第一次取到一个红球的概率最大。,在圆周上任取三点,A,、,B,、,C,，求,ABC,为（,1,）锐角三,角形；（,2,）钝角三角形；（,3,）直角三角形的概率,讨论,解法,1,如图，设圆半径为,R,，以,A,为起点，逆时针方向为正，,则,x,，,y,应满足,设,A,、,B,、,C,分别表示“三角形,ABC,为锐角、钝角、直角三角形”,则,A,发生的充分必要条件是,A,B,C,或,讨论,解法,1,如图，设圆半径为,R,，以,A,为起点，逆时针方向为正，,则,x,，,y,应满足,设,A,、,B,、,C,分别表示“三角形,ABC,为锐角、钝角、直角三角形”,则,A,发生的充分必要条件是,或,R,2,R,R,2,R,所以,讨论,解法,1,如图，设圆半径为,R,，以,A,为起点，逆时针方向为正，,则,x,，,y,应满足,设,A,、,B,、,C,分别表示“三角形,ABC,为锐角、钝角、直角三角形”,则,B,发生的充分必要条件是,或,R,2,R,R,2,R,所以,讨论,解法,1,如图，设圆半径为,R,，以,A,为起点，逆时针方向为正，,则,x,，,y,应满足,设,A,、,B,、,C,分别表示“三角形,ABC,为锐角、钝角、直角三角形”,则,C,发生的充分必要条件是,或,所以,R,2,R,R,2,R,在圆周上任取三点,A,、,B,、,C,，求,ABC,为（,1,）锐角三,角形；（,2,）钝角三角形；（,3,）直角三角形的概率,讨论,则,A,发生的充分必要条件为,设,A,、,B,、,C,分别表示“三角形,ABC,为锐角、钝角、直角三角形”,解法,2,如图，设圆半径为,R,，三角形,ABC,的最大角为,则,A,B,C,在圆周上任取三点,A,、,B,、,C,，求,ABC,为（,1,）锐角三,角形；（,2,）钝角三角形；（,3,）直角三角形的概率,讨论,则,B,发生的充分必要条件为,设,A,、,B,、,C,分别表示“三角形,ABC,为锐角、钝角、直角三角形”,解法,2,如图，设圆半径为,R,，三角形,ABC,的最大角为,则,A,B,C,在圆周上任取三点,A,、,B,、,C,，求,ABC,为（,1,）锐角三,角形；（,2,）钝角三角形；（,3,）直角三角形的概率,讨论,则,C,发生的充分必要条件为,设,A,、,B,、,C,分别表示“三角形,ABC,为锐角、钝角、直角三角形”,解法,2,如图，设圆半径为,R,，三角形,ABC,的最大角为,则,A,B,C,1,、,将线段,AB,任意分成三段,AC,、,CD,、,DB,，,试求这,三段可构成三角形的概率。,思考题,A C D B,2,、在,线段,AE,上,任意,插入三点,B,C,D,，试求,线段,AB,、,AC,、,AD,可,构成三角形的概率。,A C D B E,解答,解答,将线段,AB,任意分成三段,AC,、,CD,、,DB,，,试求这,三段可构成三角形的概率。,思考题,A C D B,解,如图，设,AB,长为,1,，,AC,长为,x,，,CD,长为,y,，,则,DB,长为,1-x-y,于是,x,，,y,应满足,设,A,表示“三段可构成三角形”,则,A,发生的充分必要条件是,所以，所求概率为,0.25,在,线段,AE,上,任意,插入三点,B,C,D,，试求,线段,AB,、,AC,、,AD,可,构成三角形的概率。,思考题,解,如图，设,AE,长为,1,，,AB,长为,x,，,AC,长为,y,，,AD,长为,z,则,x,，,y,，,z,应满足,设,A,表示“线段,AB,、,AC,、,AD,可构成三角形”,则,A,发生的充分必要条件是,所以，所求概率为,A C D B E,