高二数学双曲线知识点及例题.doc

高二数学双曲线知识点及例题
一 知识点
1. 双曲线第一定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。
2. 双曲线的第二定义：
平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。
3. 双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上的：

（2）焦点在y轴上的：

（3）当a＝b时，x2－y2＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线。
注：c2＝a2＋b2
4. 双曲线的几何性质：

<2>对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。
<3>顶点：A1（-a，0），A2（a，0）
线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫双曲线的虚轴，且|B1B2|＝2b。

e越大，双曲线的开口就越开阔。

5．若双曲线的渐近线方程为：
则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：

【典型例题】
例1. 选择题。

A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆
C. 焦点在y轴上的双曲线 D. 焦点在x轴上的双曲线

则△F1PF2的面积为（ ）

例2.

例3. 已知B（-5，0），C（5，0）是△ABC的两个顶点，且
，求顶点A的轨迹方程。
例4. （1）求与椭圆的双曲线的标准方程。
（2）求与双曲线的双曲线的标准方程。

例5.
（1）过点M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为AB的中点，求直线AB的方程；
（2）是否存在直线l，使点为直线l被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。

例六：1. 若表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是（ ）
A. B. （0，2） C. D. （1，2）
2. 双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2或 B. 2 C. D.
3. 圆C1：和圆C2：，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。

[例题答案]
例一：
解：1. 把所给方程与双曲线的标准方程对照
易知：2+m与m+1应同号即可。

∴选A

易知：x2的系数为负，y2的系数为正
∴方程表示焦点在y轴上的双曲线
4. 由双曲线方程知：a＝4，b＝3，c＝5

、
例二：
解：设所求双曲线方程为Ax2－By2＝1，（AB>0）

例三：
分析：在△ABC中由正弦定理可把转化为，结合图形可知顶点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。

解：在△ABC中，|BC|＝10

∴顶点A的轨迹是以B、C为两个焦点，实轴长为6的双曲线的左支
又∵c＝5，a＝3，∴b＝4

注：（1）利用正弦定理可以实现边与角的转换，这是求轨迹方程的关键；
（2）对于满足曲线定义的，可以直接写出轨迹方程；
（3）求轨迹要做到不重不漏，应删除不满足条件的点。
例四：
解：（1）由椭圆方程知：

（2）解法一：

∴双曲线的焦点必在x轴上

解法二：

例五：
解：（1）设AB的方程为：y－1＝k（x－1）

（1）另解法：

当x1＝x2时，直线AB与双曲线没有交点。

（2）假设过的直线l交双曲线于C（x3，y3），D（x4，y4）两点

例六：
1. 答案：A
2. 答案：A
3. 分析：解决本题的关键是寻找动点M满足的条件，对于两圆相切，自然找圆心距与半径的关系。

解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的充要条件知：

即动点M与两定点C1、C2的距离的差是2
根据双曲线定义，动点M的轨迹是双曲线左支（点M与C2的距离大于与C1的距离）
这里
设M（x，y）
∴轨迹方程为