高考数学全真模拟试题第12583期.docx

高考数学全真模拟试题

1

单选题(共8个，分值共：)
1、已知函数若关于的方程有6个根，则的取值范围为（       ）
A．B．C．D．
2、已知函数（，），且，则（       ）
A．B．2C．1D．
3、笼子中有2只鸡和2只兔，从中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出.如果将两只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率为（       ）
A．B．C．D．
4、已知向量，若，则（       ）
A．B．C．1D．2
5、已知，则下列关系中正确的是（       ）
A．B．C．D．
6、已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且的长分别为，又，侧面与底面成角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为
A．B．C．D．
7、在平面直角坐标系xOy中，角和角的顶点均与原点重合，始边均与x铀的非负半轴重合，它们的终边关于y轴对称，若，则（       ）
A．B．C．D．
8、已知函数，则是不等式成立的的取值范围是（       ）
A．B．
C．D．
多选题(共4个，分值共：)
9、一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥，取中点与中点，则下列判断中正确的是（       ）

A．直线面
B．与面所成的角为定值
C．设面面，则有∥
D．三棱锥体积为定值.
10、设向量，则下列命题中正确的有（       ）
A．的最小值为3B．的最小值为3
C．若，则D．若，则
11、给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是（       ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．函数过定点
C．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为
D．函数的定义域为D，若满足：（1）在D内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”．若函数是“梦想函数”，则t的取值范围是
12、下列函数中，能取到最小值的是（       ）
A．B．
C．D．
双空题(共4个，分值共：)
13、在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为__________，体积为__________．

14、设复数（）满足（是虚数单位），则__________，__________.
15、已知函数.
①的最大值为________ ；
②设当时，取得最大值，则______.
解答题(共6个，分值共：)
16、如图，在直三棱柱中，，分别为和的中点．

（1）求证：平面；
（2）若，，求与平面所成的角．
17、的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）若，求；
（2）当A取得最大值时，求的面积.
18、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝，△PAB为等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥底面ABCD，E为PD的中点.

（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）求三棱锥P－EBC的体积.
19、已知，集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
20、如图，已知平面，平面，为等边三角形，，F为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．
21、如图，四棱锥中，侧面是边长为4的正三角形，且与底面垂直，底面是菱形，且，为的中点．

（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．
双空题(共4个，分值共：)
22、设函数.
①若a=1，则f(x)的值域为___________；
②若f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是___________.

15

高考数学全真模拟试题参考答案
1、答案：B
解析：
作出函数的图象,令，则原方程可化为在上有2个不相等的实根，再数形结合得解.

作出函数的图象如图所示．令，则可化为，要使关于的方程有6个根，数形结合知需方程在上有2个不相等的实根，，不妨设，，则解得，故的取值范围为，
故选B．
小提示：
形如的函数的零点问题与函数图象结合较为紧密，处理问题的基础和关键是作出，的图象．若已知零点个数求参数的范围，通常的做法是令，先估计关于的方程的解的个数，再根据的图象特点，观察直线与图象的交点个数，进而确定参数的范围．
2、答案：C
解析：
令，由，可得为奇函数，利用奇函数的性质即可求解.
解：令，
因为，
所以为奇函数，
所以，即，
又，
所以，
故选：C.
3、答案：D
解析：
依据古典概型即可求得“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率；
把2只鸡记为，，2只兔子分别记为“长耳朵”H和短耳朵h，
则从笼中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出，共有如下24种不同的取法：
，，，，，
，，，，，
，，，，，

，，，，，
其中“长耳朵”H恰好是第2只被取出的动物，则共有种不同的取法.
则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率
故选：D
4、答案：B
解析：
根据平行向量的坐标关系，即可求出的值.
由，得，解得.
故选:B.
小提示：
本题考查向量的坐标运算，属于基础题.
5、答案：C
解析：
均化为以为底的形式，然后利用指数函数在上为减函数，而，从而可比较大小
解：，，
而函数在上为减函数，
又，所以，
即.
故选：C.
6、答案：A
解析：
将三棱锥体积用公式表示出来，结合均值不等式和，可得体积最大时，进而得到，带入体积公式求得，根据公式求出外接球的表面积.
解：，当且仅当时取等号，
因为侧面与底面成角，
则，
，
，
所以，
故外接球的表面积为.
故选：A.
小提示：
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
7、答案：B
解析：
根据三角函数的定义可求.
设的终边上有一点，则，
因为角和角的终边关于y轴对称，则是角终边上一点，
所以.
故选：B.
8、答案：A
解析：
先判断是偶函数，可得，在单调递增，可得，解不等式即可得的取值范围.
的定义域为，
，
所以是偶函数，
所以
当时，单调递增，根据符合函数的单调性知单调递增，
所以在单调递增，
因为，
所以，
所以，
所以，
解得：或，
所以不等式成立的的取值范围是：
故选：A
小提示：
本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.
9、答案：ABC
解析：
对于A，利用线面垂直的判定定理即可解决；对于B，C，依托于选项A即可较容易得到.点到平面的距离不等确定，即可判断选项D.
对于A，由中点与中点，得,
得，
由为等腰直角三角形得，由，
面，
得直线面，故A正确；
对于B，由A得，与面所成的角为，为定值，故B正确；
对于C，由A得，，故面，由面，
面面，所以∥，故C正确；
对于D，的面积为定值，
但三棱锥的高会随着点的位置移动而变化，
故D错误.
故选：ABC.
小提示：
此题考立体几何中关于线面垂直，线面角，线面平行的判定与性质，属于简单题.
10、答案：BCD
解析：
根据向量模、向量共线、向量垂直的坐标运算求解判断．
由题意，时取等号，A错；
，时取等号，B正确；
若，则，，C正确；
若，则，，D正确．
故选：BCD．
11、答案：AC
解析：
A选项，求出的解集为，结合得到充分不必要条件；
B选项，求出对数复合函数恒过定点；
C选项，构造新函数，利用单调性解不等式；
D选项，根据题意把问题转化为与是方程的两个不相等的实数根，换元后转化为一元二次方程问题，进而利用二次函数图象进行求解.
对于A，，解得：，所以，但，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确；
对于B，恒过点，B错误；
对于C，定义在上的函数满足，不妨设，则，即，令，，则，故单调递减，因为，所以，由（）变形为（），即，根据单调递减，所以，C选项正确；
对于D，函数，根据复合函数单调性可知：单调递增，结合题意可得： 即，化简得：，则与是方程的两个根，令，则与是一元二次方程的两个不相等的正实根，令，故满足：，解得：，D选项错误.
故选：AC
12、答案：CD
解析：
利用基本不等式可验证各选项中函数的最值，同时在利用基本不等式时，要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，由此可得出合适的选项.
对于A选项，当时，，A选项不合乎题意；
对于B选项，当时，，则，B选项不合乎题意；
对于C选项，对任意的，，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，函数的最小值为，C选项合乎题意；
对于D选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，函数的最小值为，D选项合乎题意.
故选：CD.
小提示：
本题考查利用基本不等式求解函数的最值，要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.
13、答案：         
解析：
作出几何体的直观图，可知该几何体为直三棱柱，利用柱体的表面积、体积公式结合三视图中的数据可求得结果.
根据三视图还原原几何体如下图所示：

由图可知，该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，腰长为，底边长为，
所以，该“堑堵”的表面积为，
该“堑堵”的体积为.
故答案为：；.
14、答案：         
解析：
根据已知表达式将其化为最简形式，得出表达式，根据复数相等的充要条件得出的值相乘即可得出的值；再根据复数模的求法直接算出即可.
①因为，所以，又因为，根据复数相等的充要条件知，所以；②因为，所以.
故答案为:;
15、答案：         
解析：
由辅助角公式以及正弦函数的性质得到的最大值；根据①的结果以及诱导公式化简即可求解.
①， (其中 ，)
当，即时，取最大值
②由题意可知

故答案为：；
小提示：
本题主要考查了求正弦型函数的最值等，属于中档题.
16、答案：（1）证明见解析；（2）60°．
解析：
（1）取中点，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．
（2）取中点，连结，则为与面所成角，由此能求出与平面所成的角．
（1）取中点，连结、，
在中，、为中点，，
又，且，，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面．
（2）取中点，连结，
，面，面，
为与面所成角，
在中，，，
，
，
与平面所成的角为．

小提示：
本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数形结合思想，是中档题．
17、答案：（1）；（2）.
解析：
（1）利用正弦定理求得的值，由此求得的值.
（2）利用余弦定理求得，结合基本不等式求得的最大值，由此求得此时的面积.
（1）由正弦定理，得，解得
所以.
（2）由余弦定理得.
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以，则，则A的最大值为.
此时，的面积.
18、答案：（1）证明见解析；（2）.
解析：
（1）取PC的中点F，连接EF，BF，由三角形中位线定理可得EF∥CD，CD＝2EF，再结合已知条件可得AB∥EF，且EF＝AB，从而可得四边形ABFE为平行四边形，所以AE∥BF，进而由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由于AE∥平面PBC，所以VP－EBC＝VE－PBC＝VA－PBC＝VP－ABC，取AB的中点O，连接PO，则可证得OP⊥平面ABCD，在等腰直角三角形PAB可求得OP＝1，在等腰梯形ABCD中可求出S△ABC＝1，从而可求出三棱锥P－EBC的体积
(1)如图，取PC的中点F，连接EF，BF，

∵PE＝DE，PF＝CF，
∴EF∥CD，CD＝2EF，
∵AB∥CD，CD＝2AB，
∴AB∥EF，且EF＝AB.
∴四边形ABFE为平行四边形，∴AE∥BF.
∵BF⊂平面PBC，AE平面PBC.
故AE∥平面PBC.
(2)由(1)知AE∥平面PBC，
∴点E到平面PBC的距离与点A到平面PBC的距离相等，
∴VP－EBC＝VE－PBC＝VA－PBC＝VP－ABC.
如图，取AB的中点O，连接PO，
∵PA＝PB，∴OP⊥AB.
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，OP⊂平面PAB，
∴OP⊥平面ABCD.
∵△PAB为等腰直角三角形，PA＝PB，AB＝2，
∴OP＝1.
∵四边形ABCD为等腰梯形，且AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝，
∴梯形ABCD的高为1，
∴S△ABC＝×2×1＝1.
故VP－EBC＝VP－ABC＝×1×1＝.
小提示：
关键点点睛：此题考查线面平行的判定，考查几何体体积的求法，解题的关键是利用等体积法转化，即VP－EBC＝VE－PBC＝VA－PBC＝VP－ABC，考查推理能力和计算能力，属于中档题
19、答案：(1)
(2)
解析：
（1）先求出集合A，再求两集合的交集即可，
（2）由可得，然后分和两种情况求解
(1)
当时，，
∵，∴
(2)
若，则.
①当，即时，，符合题意.
②当时，
解得.
综上所述，实数的取值范围为
20、答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
解析：
（Ⅰ）取CE中点G，连接BG，FG，则可证且，根据题意可得，，可得四边形ABGF为平行四边形，所以，根据线面平行的判定定理，即可得证.
（Ⅱ）根据四边形ABGF为平行四边形，根据题意及线面垂直的判定定理，可证平面CDE，则即为直线和平面所成角，在中，求得各个边长，根据三角函数的定义，即可求得答案.
（Ⅰ）取CE中点G，连接BG，FG，如图所示：

因为F、G分别为CD、CE的中点，
所以且，
又因为平面，平面，
所以，,
所以，，
所以四边形ABGF为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（Ⅱ）因为平面，平面ACD，
所以，所以，
又为等边三角形，F为CD的中点，
所以，
又平面CDE，
所以平面CDE，即平面CDE，
又平面CDE，则，
连接DG，BD，如图所示，

则即为直线和平面所成角，
设，在中，，
在直角梯形ABED中，，
在中，，
所以，
所以直线和平面所成角的正弦值为.
小提示：
解题的关键是熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，并灵活应用，在用定义法处理线面角时，需找到平面的垂线，作出线面角，利用三角函数进行求解，考查分析计算，推理证明的能力，属基础题.
21、答案：（1）证明见解析；（2）.
解析：
(1)取的中点，连接，，，先证明平面，再由平面得，．
(2)等体积法求解.根据题目条件，先证明为三棱锥的高，再求出以为顶点，为底面的三棱锥的体积和以为顶点，为底面的三棱锥的体积，根据，求点到平面的距离.
(1)证明：如图，取的中点，连接，，．
依题意可知，，均为正三角形，
∴，．
又∵，∴平面．
又平面，∴．

(2)由(1)可知，∵平面平面，
平面平面，平面，
∴平面，即为三棱锥的高．
由题意得，∵为的中点，∴．
在中，，∴，，
∴在中，边上的高，
∴的面积．
的面积．
点到平面的距离即点到平面的距离．
设点到平面的距离为，
由，得，
即，解得，
即点到平面的距离为．
22、答案：         
解析：
①a=1，直接求值域；
②在同一个坐标系内作出和的图像，分析a的取值范围.
解：①若a=1，则，
当x≤1时，f(x)=3x﹣1∈(﹣1，2]，
当x>1时，f(x)=|x+1|>2，
∴f(x)的值域为(﹣1，2]∪(2，+∞)=(﹣1，+∞)；
②在同一平面直角坐标系内作出函数y=3x﹣1与y=|x+1|的图象如图：

由图可知，要使函数在R上的增函数，只需-1≤a≤1，
则实数a的取值范围是[﹣1，1].
故答案为：①；②.
小提示：
由分段函数（数列）单调性求参数的取值范围的方法：
(1)分段函数的每一段都单调；
(2)根据单调性比较端点函数值的大小.