化工数学第一章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,华罗庚先生曾说“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁,无一不可用数学来表达。”,化工数学,任课教师：阮文红,二零一二年九月于康乐园,第一章 概述,一、学习,化工数学,的目的,二、,化工数学,涉及的内容,三、通过实例说明,化工数学,的用途,四、教材及参考文献,一、学习,化工数学,的目的,1,、,能够科学的设计试验：减少试验次数，获得更可靠的结果；,2,、学习用数学语言描述问题；,3,、能选择适当的数学运算获得结果；,4,、能够对所得结果进行合理的分析和解释。,化学与化工研究过程,找到隐藏在化工现象背后的规律，从而建立一个能够正确地反映所研究对象或过程的数学模型。,数学模型化过程,过程模型化的方法主要分为两类,：,（,1,）,分析法,：这种方法在运用有关专业理论知识对所研究的对象或过程进行机理分析的基础上，通过合理的简化，结合具体问题及其条件，推导出描述过程特性的数学模型。然后通过实验，确定模型中的未知参量，再回到实验中进行反复的检验和修正，从而获得既能在一定程度上反映过程机理，又在实验范围内与实验结果相吻合的过程模型。,（,2,）,经验法,：它放弃了对所研究对象或过程的机理分析，即视过程为一,“,黑箱,”,，仅考察这一,“,黑箱,”,的输入和输出特性，从而运用统计回归分析的方法获取刻画过程特性的数学模型。,应该指出：经验法所确定的过程模型中参数的物理意义是不明确的，它们仅用以在实验范围内拟合实验数据；而分析法中所确定的未知参量是反映过程机理的参数。,二、,化工数学,涉及的内容,微分,（高等数学已学）,积分,（高等数学已学）,试验设计及数据处理,（,6,学时）,线性代数,（,24,学时,）,概率论,（,16,学时）,数理统计,（,8,学时）,数值分析,（研究生阶段）,试验设计,线性代数,数据处理,概率论,数理统计,想让你成为数学家吗？,No,初步建立用数学语言表达这类问题的基本思想和方法。,只是针对化学与化工中经常出现或典型的问题，讨论数学方法的选择、运用和技巧，把数学作为一种研究现象和过程的手段。,数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。数学工作者要对此负一定的责任。数学教学有时竟演变成空洞的解题训练。这种训练虽然可以提高形式推导的能力，但却不能导致对数学的真正理解，也无助于提高独立思考的能力。,什么是数学,柯朗,（,1941,出版）,三、化学与化工中的数学方法举例,化工中的一般问题,含有多个组分的两相或多相物质在某个给定的工程体系之中相互接触，在一定条件下，每种组分可能发生相转变，并伴随着热效应；也可能发生放热或吸热的化学反应。给定初始条件，要求确定系统在规定点的状态（在一定的接触时间以后），或者达到一定状态装置的尺寸大小。,(,一）,为了描述这种一般系统，通常要用到下述四种类型的关系,（,1,）,物料平衡,：对每种组分有着不同的物料平衡关系；如果存在化学反应，还要使用相应的化学计量关系式。它所依据的是质量守恒定律。,（,2,）,能量平衡,：热力学第一定律表明系统内能的变化，等于加进系统内的热量与系统对外界所做功之差，即,U=Q-W,。如果没有热量加进系统，系统对外也没有做功，则热力学第一定律可简化为焓平衡。,（,3,）,速率方程,：当考虑时间因素时，就要应用速率方程，它包括传递速率和反应速率，例如各种相界面间的质量传递，发生在不同相中的单个的化学反应等。,（,4,）,平衡关系,：平衡状态是指系统的压力、温度和浓度等不随时间而变化的状态。在多相系统中要考虑到从一相到另一相的传递净速率问题，平衡一般发生在相间的边界界面上。,二、,大多数化学与化工问题可以用微分方程进行数学描述，一般步骤是,：,（,1,）画出示意图，列出所给数据；,（,2,）确定自变量和因变量：通常可独立选择用来描述系统变化的量称为,自变量,，而当自变量变化时，反映体系某些性质的随之变化的量称为,因变量,。自变量和因变量是由不同的问题所决定的。对于非稳态问题，时间一般选做自变量；,（,3,）写出系统规定的自变量及其对应的因变量的数值，这就是所谓的,边界条件,或,初始条件,；,（,4,）选用前述的四种关系式，列出问题的数学模型或方程式，其中要注意简化问题时所采取的假设和近似的合理性；,（,5,）求解数学模型，获得合乎逻辑的解。,关于边界条件，以传热过程为例一般有,：,（,1,）指定的温度。表面的温度或边界的温度是已知常数，或是位置或时间的函数；,（,2,）指定的热流量。穿过边界的热流量是已知常数，或是位置或时间的函数，例如：,（,3,）无热流的情况或绝热系统，边界条件为：,（,4,）由对流作用热量传到系统外部，边界条件为：,其中,是导热系数，,h,为传热系数，,T,0,为环境温度，,q,为常数，,L,为边界。,四、教材及参考书目,教材,工程数学,线性代数,，高等教育出版社，同济大学应用数学系编，,ISBN 7-04-011941-2,概率论与数理统计,，西南财经大学出版社，李捷等编，,ISBN 7-81088-240-6,参考书目,化学与化工中的数学方法,，北京理工大学出版社，潘亚明等编,化工数学,，化学工业出版社，,日,河村佑治,化工应用数学,，上海交通大学出版社，胡乾定等编,化工数学,，复汉出版社，,P.G.Francis,，马俊雄编译,化学中的数学,，上海教育出版社，,日,铎木启三,化学用数理统计手册,，化学工业出版社，,美,E.L.Bauer,如果要解决化学与化工中的数学问题，化学工作者当然要求助于数学家，希望数学家能把问题变成用已知方法可以解决的数学命题，然而这条路是行不通的，因为数学家要把问题变成简单的数学假说，却没有必要的化工基础知识，而化学家又没有必要的数学基础，因而无法帮助数学家对问题进行解析,。,W.R.Marshall and R.L.Pigford,试验为什么要设计？,化工过程模型化需要使用大量的实验数据，如何取得典型信息以使建立起来的过程模型具有准确性和通用性，如何用较少的实验数据反映现象及过程的规律，这在实际的化学与化工实验中有着特别重要的意义。因此有必要研究获取高质量实验数据，减少盲目增加实验次数带来损失的方法，这就是试验设计的内容。,第二章 试验设计和数据处理,试验设计（包括数据处理）是数理统计的一门重要分枝，它的主要内容是讨论如何合理的安排试验以及试验后的数据如何分析等。,本课程仅仅介绍在实际中应用最广的,正交设计法,。,试验设计和数据处理,第二章 试验设计和数据处理,一、试验设计,1,、简单试验设计,2,、正交试验设计,2.1,因子间无交互作用的正交试验设计,选取正交表，直观分析法,2.2,因子间有交互作用的正交试验设计,正交表和交互作用列表,2.3,因子水平数不同的正交试验设计,混合水平正交表,拟水平法,2.4,多指标的分析方法,综合平衡法,综合评分法,第二章 试验设计和数据处理,一、试验设计,3,、回归正交设计,二、数据的表达与处理,1,、数据的图示方法,2,、经验方程,3,、方差与随机误差分布,三、最小二乘法和线性回归,例,2-1,：,某地想移植外地的优良小麦品种，选了,A,、,B,、,C,三种品种进行试验，看那一种品种在本地更合适一些？,（,1,）一种试验的方法是把三种品种种在图所示的三块田里。如果试验的结果是品种,A,产量最高，,B,其次，,C,最少，我们能否下结论说品种,A,在本地最合适呢？,仔细观察一下就会发现，三种品,种尽管种在相邻的三块地上，但,三块地的土质不会完全一样，如,果正好种,A,的这块田土质等条件,最好，种,B,的那块田稍次，种,C,的那块田最差，那么,A,的产量高并不一定说明,A,最适合本地生产。,这是品种的好坏与土壤的情况混杂在一起，给如何下结论带来了困难。因此，图,的这种设计显然是不好的。,A,B,C,（,2,）另一种试验的方法是一种随机化的方法。把原来的三大块田每块各分成三小块，在每大块上三种品种都种，三种,品种分别种在哪一地，由抽签的方法决定，如图所示。,这种方法比要好，它使土质,等因素对试验的影响大大减弱,了，得到的结论就比较可靠。,但是这种方法还有不足之处，,即土地从纵的方向来看是安排得比较好的，但如果从横的方向把土地分成三大块 安排得就不那么好了。如果土壤按横的三大块划分土质相差较大，则给结果又带来了干扰。,A,C,A,C,B,B,B,A,C,（,3,）还有一种拉丁方的方法，种植的情况如图,我们无论从纵的方向还是从横的方向来看，每大块三,种品种都有，这样，品种的情况就不会和土壤等因素的作用混起来。,（,3,）,A,B,C,B,C,A,C,A,B,试验设计一般分三个阶段,：,（,1,）试验,：首先要明确试验的目的和要求；其次是合理选择试验考察的,指标,和影响因素（即,因子,）；最后确定试验中影响因素的具体条件（即,因子的水平,）。在这一阶段中，没有影响或影响很小的因子应该除去；而影响不明或有争议的因子应该尽量考虑；要注意因子各水平之间有无对指标有影响的交互作用；因子水平的选择是确定的还是随机的等等。,（,2,）设计：,根据因子及因子的水平，确定试验方案；决定试验的顺序，试验的方法，测量的点数以及重复的次数等。,（,3,）分析：,对试验所得到的数据进行整理，制成易于计算的表格，建立假设，计算分析用的各种统计量；确定显著性水平进行检验，得出结论。,常用术语,指标,：,试验需要考察的结果称为指标。,因素（因子）,：,对指标可能有影响，且在试验中提出 明确条件加以对比的因素，也称为因子。,水平,：,每个因素在试验中要对比的各个具体条件称为,因素的水平。,例,2-2,某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素分三个等级进行试验，因素和水平表如下：,因素,水平,A,：温度,B:,压力,C:,加碱量,1,80,5MPa,2.0kg,2,100,6MPa,2.5kg,3,120,7MPa,3.0kg,1,、简单试验设计,（,1,）全面试验法：是指对影响指标的各个因子的不同水平进行全面搭配的方法。这种方法只在因子不多，水平数较少的情况下才可行。例如一个三因子的试验，每个因子要对比三个水平，则全面试验法至少需作,333=27,次试验。而六因子五水平的全面试验数目为,5,6,=15625,次，一般是不可能做到的。,1,、简单试验设计,（,2,）孤立因子法试验次数较少：孤立因子法的做法是首先人为地固定,A,和,B,的量，变化,C,：,C,1,A,1,B,1,C,2,C,3,试验结果发现,C,2,最好，然后固定,A,为,A,1,，,C,为,C,2,，变化,B,：,B,1,A,1,C,2,B,2,B,3,试验结果发现,B,3,最好，然后固定,B,为,B,3,，,C,为,C,2,，变化,A,：,A,1,B,3,C,2,A,2,A,3,结果是,A,2,最好。于是简单对比法得出结论：,最适宜的分析条件是,A,2,B,3,C,2,1,、简单试验设计,（,3,）完全随机化法：将试验的不同处理完全随机地分配至试验单位，其中试验处理指因子或水平，试验单位指一次试验处理的对象。,（,4,）随机区组法：是当试验单位不均匀一致时，可把相对均匀的放在一组，再将不同的处理随机分配到各试验单位，且使处理的个数与试验单位的个数相同。,简单试验设计的缺点,：,（,1,）当因子间交互作用影响较大时，不一定给出的 是各因子水平的最好组合；,（,2,）这种方法安排试验，同样的试验次数，提供的信息量不丰富；,（,3,）若不做重复试验，给不出误差的估计。,因此，在试验设计时，既要考虑试验次数少，又要得出全面的结论（尽量提高试验的精度，排除误差的干扰,),，这就需要用科学的方法进行合理的安排。,2,、正交试验设计,所谓正交试验设计，是利用数理统计学与正交性原理，从大量试验点中选取适量的具有代表性的试验点，应用,正交表,合理安排试验的科学方法。,正交试验设计的内容包括正交设计，正交试验的直观分析，多指标试验设计的分析方法，水平数不同的正交设计，有交互作用的正交设计，正交试验设计的方差分析等。,1,、,正交拉丁方,例,2-3,生产某染料，用四种主要原料,A,硫磺，,B,硫化碱，,C,烧碱，,D,二硝基，每种原料均取三个水平，需要找一个较好的配方，使质量又好，成本又低。,2.1,因子间无交互作用的正交试验设,计,（,1,）如果每个因素各个水平的所有组合都做试验，要做,3,4,81,次。试验次数太多，能否只做一部分试验，又能得出较好的结果呢？,（,2),我们先考虑,A,B,两个因素，全部试验要作,9,次，安排如下：,我们看到只考虑两个因素时，二因素的三个水平相互各碰一次，这样反映的情况比较全面。,B,A,B,1,B,2,B,3,A,1,A,1,B,1,A,1,B,2,A,1,B,3,A,2,A,2,B,1,A,2,B,2,A,2,B,3,A,3,A,3,B,1,A,3,B,2,A,3,B,3,（,3,）,如果同时还要考虑因素,C,，而试验次数不增加，怎么安排呢？,当三个因素时，要反映的情况比较全面，必须任两个因素间的不同水平各碰一次。可采用如下的安排：,C B,A,B,1,B,2,B,3,A,1,A,1,B,1,C,1,A,1,B,2,C,2,A,1,B,3,C,3,A,2,A,2,B,1,C,2,A,2,B,2,C,3,A,2,B,3,C,1,A,3,A,3,B,1,C,3,A,3,B,2,C,1,A,3,B,3,C,2,这样的安排很均衡，,A,的每个水平和,B,的三个水平各碰一次，和,C,的三个水平也各碰一次；同样,B,的每个水平和,A,、,C,的三个水平也是正好各碰一次；对,C,也有同样的性质。可以设想，虽然只做了,9,次试验（全部要做,3,3,27,次），,还是可以反映比较全面的情况的。为了书写的简便，上面的试验设计表可以简化为：好各出现一次，具有这种性质的方块叫拉丁方,C B,A,1,2,3,1,1,2,3,2,2,3,1,3,3,1,2,我们发现，在每一行、每一列中，,1,，,2,，,3,正好各出现一次。具有这种性质的方块叫,拉丁方,。,（,4,）,若还要考虑因素,D,，能否还保持上述的要求，而试验次数不增加呢？,根据方才的经验，,D,的三个水平必须构成拉丁方，这样和,A,，,B,才能均衡。我们用,1,，,2,，,3,表示,D,的三个水平，试验安排如下：,C D B,A,1,2,3,1,11,22,33,2,22,33,11,3,33,11,22,可以看到，,A,，,B,和,C,之间很均衡，,A,，,B,和,D,之间也很均衡，但,C,和,D,之间就不均衡了。,C,的,1,水平只和,D,的,1,相碰，和,2,，,3,一次也没碰上，,C,的其它水平也有类似的情形。这样的安排是不好的，需要改进设计。,D,的三个水平要排成拉丁方这一点是不能变的，问题是,D,的拉丁方和,C,的拉丁方不能一样，两个拉丁方之间要搭配均匀。按此原则改成如下的设计：,C D B,A,1,2,3,1,11,22,33,2,23,31,12,3,32,13,21,这样，在满足和,A,，,B,之间搭配均衡的前提下，,D,和,C,之间也很均衡，,D,的每个水平和,C,的,1,，,2,，,3,各碰一次，达到设计的要求。,1,2,3,2,3,1,3,1,2,发现,1,，,2,，,3,与,1,，,2,，,3,各碰一次，既无重复又无遗漏。具有这种性质的两个拉丁方叫,正交拉丁方,。,正交拉丁方设计由于互相搭配均匀，在分析数据时可以把每个因素的作用分得清清楚楚，不会混杂，并且可以方便地找到最优的工艺条件。正交拉丁设计可以大大减少试验次数，因此当因素较多时，用正交拉丁方来安排试验就更好了，它既能减少试验次数，又能达到因素间的均衡，同时提供分析试验的信息比较丰富，还能给出试验误差的估计。,1,2,3,3,1,2,2,3,1,我们将,C,和,D,的两个拉丁方叠在一起：,11,22,33,23,31,12,32,13,21,2,、,正交表：是正交拉丁方的自然推广,正交表是正交试验设计的工具，它是对大量的实践经验进行总结，并根据数学理论整理而得到的成果。,表,1-1,所示为,L,9,（,3,4,）正交表，记号的一般形式为,L,N,（,m,k,）,，其中,L,表示正交表，,N,表示试验次数，,k,表示可能安排的因子的最大数目，,m,表示因子的水平数。,表,2,-1,L,9,（,3,4,）,正交表,正交表的正交性：,（,1,）每个纵列中不同数字（例如表,1,中的“,1”,、“,2”,和“,3”,）出现的次数相同，这意味着每个因子的不同水平在全部试验中出现的次数相同。,（,2,）任意两列之间，不同水平之间正好各碰相同的次数。这意味着任意两个因子之间不同的搭配在全部试验中出现的次数相同。,正交试验设计对全体因子而言是部分试验，但对其中任意两个因子而言是具有相同重复次数的全面试验，所以用正交表安排的试验是均衡搭配的，且整齐可比，代表性高，效率高。,因素,试验号,A,B,C,D,1,1,1,1,1,2,1,2,2,2,3,1,3,3,3,4,2,1,2,3,5,2,2,3,1,6,2,3,1,2,7,3,1,3,2,8,3,2,1,3,9,3,3,2,1,如何使用正交表？,（,1,）根据试验的目的，确定试验要考察的因素。如果对事物的变化规律了解不多，因素可以多取一些，如果对其规律已有相当了解，可以准确的判断主要因素，这时因素可取少一些。,（,2,）确定每个因素变化的水平。每个因素的水平数可以相等，也可以不等。重要的因素，或者特别希望详细了解的因素水平可多一些，其余可少一些。,（,3,）估计试验条件的情况，看看一次能作多少试验，一次作不完，需要分成几次。,（,4,）综合上述三点选取,L,表。,正交试验设计的应用,例,2-4,某聚合反应条件的试验问题,为提高某聚合反应生成物产量，对反应条件做进一步研究，考察三个因子，即溶剂用量,A,，配比,B,和催化剂用量,C,，每个因子取三个水平，如表,2-2,所示,。,表,2-2,因子,水平表,水平,因子,溶剂用量,Aml,配比,B,催化剂用量,Cg,1,840,10,40,2,850,15,60,3,860,20,80,解法一、若采用全面试验法,这类问题在化学与化工中经常出现，称其为多因子对比试验问题。对于,k,个因子，若每个因子取,m,个水平，则记为,m,k,型试验。,若采用全面试验法，因子与水平间不同的搭配共有,3,3,=27,种。为从这,27,种不同的搭配方案中选出对提高产量最有利的条件，没有必要将它们全都试验一遍，并且在因子数目和水平数目较多的情况下也不可能。,解法二：因子间无交互作用的正交设计,先考虑一种简单情况，假设三个因子，即溶剂用量,A,，配比,B,和催化剂用量,C,之间没有交互作用（或交互作用可以忽略）。,试验设计步骤：,（,1,）根据试验的目的和要求，确定指标、因子及其水平后，选取合适的正交表。,（,2,）表头设计：往正交表表头的列号中填因子以制定试验方案的过程，称为表头设计。,（,3,）按正交表规定的试验条件进行具体的科学实验。,（,4,）实验完毕后，把测得的生成物产量（指标）填入正交表右侧的栏中。,（,5,）对实验结果进行直观分析,2.1.1,选取正交表,选取如表,2-1,所示的,L,9,（,3,4,）正交表，该表可以安排不超过四个因子的三水平试验，将因子,A,、,B,和,C,任意填入不同的列中，得到表,2-3,。,表,2-3 L,9,（,3,4,）正交表,表中填了因子的各列数字“,1”,、“,2”,和“,3”,分别是所填因子的水平，于是表,2-2,所确定的九个试验条件分别是：,（,1,）,A,1,B,1,C,1,；（,2,）,A,1,B,2,C,2,；,（,3,）,A,1,B,3,C,3,；（,4,）,A,2,B,2,C,3,；,（,5,）,A,2,B,3,C,1,；（,6,）,A,2,B,1,C,2,；,（,7,）,A,3,B,3,C,2,；（,8,）,A,3,B,1,C,3,；,（,9,）,A,3,B,2,C,1,其中试验条件（,1,）,A,1,B,1,C,1,详细写出是：溶剂用量为,840ml,，配比为,10,，催化剂用量为,40g,，其余的试验条件类似。,试验号,A,B,C,1,1,1,1,1,2,1,2,2,2,3,1,3,3,3,4,2,1,2,3,5,2,2,3,1,6,2,3,1,2,7,3,1,3,2,8,3,2,1,3,9,3,3,2,1,选取正交表,安排正交表时，还有两点可以考虑：,分区组,对于一批试验，如果要在几台不同的机器（或用几种原料）上进行，为了防止由于机器（或原料）的不同而带来误差，从而干扰试验的分析，那么在安排试验时，可以用,L,表中未排因素的一列来安排机器（或原料）。与此类似，如果指标检验需要几个人（或几台仪器）检验，为了消除不同人（仪器）检验的水平不同给试验分析带来干扰，也可采用在,L,表中用一列来安排的方法。,这样一种方法叫做分区组的方法。,选取正交表,随机化,在正交表表头设计时，每个因素的水平总是由小到大（或由大到小）按顺序排列，这样按正交表安排试验时，所有的,1,水平要碰在一起，而这种极端的情况有时是不希望出现的，有时没有实际意义。所以当希望出现某一个特定的水平组合时，最好不要完全按由小到大排列因素水平。常用的一种方法叫随机化。一是对部分因素的水平随机化，可以采用抽签的方式；另一是对试验号码随机化，试验进行的次序不是按正交表的试验号码排列，而是采用抽签等方法而决定的。两种随机化可以兼而用之，也可只采用一个，这要看具体情况来决定。,2.1.2,实验结果列入表中,实验完毕后，把测得的生成物产量（,指标,）填入表,2-3,右侧的栏中（如,y,1,，,y,2,，,y,9,）。,表,2-4 L,9,（,3,4,）正交表的结果分析,试验号,A,B,C,生成物产量,g,1,1,1,1,1,y,1,=190,2,1,2,2,2,y,2,=200,3,1,3,3,3,y,3,=175,4,2,1,2,3,y,4,=165,5,2,2,3,1,y,5,=183,6,2,3,1,2,y,6,=212,7,3,1,3,2,y,7,=196,8,3,2,1,3,y,8,=178,9,3,3,2,1,y,9,=187,K,1,565,580,560,T=1686,K,2,560,552,608,=187.3,K,3,561,554,518,正交表的直观分析,表,2-4 L,9,（,3,4,）正交表的结果分析,试验号,A,B,C,生成物产量,g,K,1,565,580,560,K,2,560,552,608,K,3,561,554,518,188.3,193.3,186.7,186.7,184,202.7,187,184.7,172.7,正交表的直观分析,在计算基础上，作因素和指标的关系图，即把每个因素的 、对相应的水平作图。一个因素对指标影响大，是主要的，那么这个因素不同的水平，相应的指标平均值之间的差异较大，一个因素影响不大，是次要的，相应的指标平均值差异较小。反应在图中上，可以直观的看出，数据波动大的为主要影响因素，数据波动小的为次要因素。,实验结果的直观分析,（,1,）,直接看，可靠又方便,。希望试验条件使生成物产量越高越好，直接比较这,9,次试验的结果。第,6,号试验（,A,2,B,1,C,2,）的生成物产量,y,6,=212g,最大，所以可以认为较好的试验条件是,A,2,B,1,C,2,，即,溶剂用量为,850ml,，配比为,10,，催化剂用量为,60g,。,（,2,）,算一算，重要又简单,。表,2-4,中计算出每个因子的每个水平下的指标加和,K,i,，例如因子,B,的水平,2,下的指标加和：,K,2,=y,2,+y,4,+y,9,=200+165+187=552g,，其它类似。还可计算出每个因子的,K,i,中最大值与最小值的差，即,级差,。级差大的因子是重要因子，级差小的因子是次要因子。例如因子,A,的级差为,K,1,与,K,2,之差，为,5,，而因子,B,和,C,的级差分别为,28,和,90,。可知因子,B,和,C,，即配比和催化剂用量是重要因子，因子,A,，即溶剂用量是次要因子。所以，最后确定好的试验条件为,A,1,B,1,C,2,，这是因为因子,A,对指标影响不大，考虑节约溶剂用量，故,A,可以取较少的用量（水平,1,，即,A,1,=840ml,）。,正交试验的特点,用正交试验设计实验，只作次数不多的实验，就能得到较好的实验条件。正交试验效率高的原因在于：,（,1,）正交表把各种实验条件均衡分散在排列完全的水平组合中，所以代表性强，易找到好的实验条件，这就是,均衡分散性,。,（,2,）对于每列因子，在各个水平的结果之和,K,i,中，其它因子各个水平出现的次数都是相同的。这保证了在各个水平的效应中，最大限度地排除了其它因子的干扰，突出了本列因子的作用，所以能有效地进行比较，作出合理的分析，这就是,整齐可比性,。,2.2,因子间具有交互作用的正交试验设计,交互作用,：在一个试验里，不仅各个因素在起作用，而且因素间有时联合起来起作用，这个作用就叫交互作用。,多因子对比试验中，不仅要研究各因子的水平对指标的影响，还要研究各个因子的不同水平之间的搭配，即交互作用对指标的影响。如果因子间交互作用对指标的影响可以忽略，则表头设计就是将因子随意填入适当的正交表的不同列中；若交互作用的影响不能忽略时，就要同时使用与,正交表,对应的,交互作用列表,。,表,2-5 L,8,（,2,7,）正交表,列号,试验号,1,2,3,4,5,6,7,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,2,2,2,2,3,1,2,2,1,1,2,2,4,1,2,2,2,2,1,1,5,2,1,2,1,2,1,2,6,2,1,2,2,1,2,1,7,2,2,1,1,2,2,1,8,2,2,1,2,1,1,2,相应的交互作用列表,表,2-6,是表,2-5,相应的,L,8,（,2,7,）两列间交互作用列表。从正交表的交互作用列表中，可以查出任意两列的交互作用列。例如，表,2-6,中表明第,2,列与第,4,列的交互作用列为第,6,列，其余类似。交互作用列表是考虑因子间交互作用时进行表头设计的依据。,表,2-6 L,8,（,2,7,）交互作用列表,列号,列号,1,2,3,4,5,6,7,1,（,1,）,3,2,5,4,7,6,（,2,）,1,6,7,4,5,（,3,）,7,6,5,4,（,4,）,1,2,3,（,5,）,3,2,（,6,）,1,（,7,）,例,2-5,如何提高乙酰胺苯磺化试验的反应收率,根据试验的目的和要求，确定试验的指标、因子及其水平。酰胺苯磺化试验的因子与水平如表,2-7,所示。,表,2-7,乙酰胺苯磺化试验的因子和水平,因子,水平,反应温度,A,反应时间,Bh,硫酸浓度,C%,操作条件,D,1,50,1,17,搅拌,2,70,2,27,不搅拌,解法一、如果不考虑因子间的交互作用,如果不考虑因子间的交互作用，选用表,2-5,的,L,8,（,2,7,）正交表，将因子填在任意,4,列上，得表,2-8,。,表,2-8,无交互作用的正交试验表,列号,试验号,A,B,C,D,收率,y,i,%,1,1,1,1,1,65,2,1,1,2,2,74,3,1,2,1,2,71,4,1,2,2,1,73,5,2,1,1,2,70,6,2,1,2,1,73,7,2,2,1,1,62,8,2,2,2,2,67,K,1,283,282,268,273,T=555,K,2,272,273,287,282,=69.375,无交互作用时的实验结果分析,从实验结果看，产率越高越好。直接比较这,8,次实验的结果，第,2,号实验的产率,y,2,=74%,最高，所以可以认为较好的实验条件是,A,1,B,1,C,2,D,2,，即反应温度,50,，反应时间,1h,，硫酸浓度,27%,和操作条件为不搅拌。,从极差来看，极差最大的为因子,C,，说明硫酸浓度,C,是重要因子。而其它的次要因子均已满足节约能耗，缩短反应时间和操作方便，可以确定实验条件为,A,1,B,1,C,2,D,2,。,解法二：考虑因子间交互作用时的正交试验设计,考虑反应温度与反应时间的交互作用，甚至反应温度和硫酸浓度之间、反应时间和硫酸浓度之间也可能具有交互作用，正交试验该如何设计呢？是否会得到相同的实验结果呢？实验结果如何分析呢？,选择正交表及其交互作用列表进行表头设计,依据试验的因子与水平选择,L,8,（,2,7,）正交表及其交互作用列表进行表头设计。参见表,2-5,和表,2-6,。,将有交互作用的因子先填入表,2-5,的第,1,列和第,2,列中，由表,2-6,可知第,1,列和第,2,列的交互作用列在第,3,列。将不考察交互作用的因子,C,和,D,填在第,4,至第,7,的任意两列。若考察,A,与,C,和,B,与,C,间的交互作用，则由交互作用列表,2-6,可知交互作用列分别在第,5,列和第,6,列。表头设计如表,2-9,。,表,2-9,表头设计,因子,A,B,AB,C,AC,BC,D,列号,1,2,3,4,5,6,7,正交试验设计,将表,2-9,的表头设计与,L,8,（,2,7,）正交表,2-5,结合可得表,2-10,。,表,2-10,正交设计表及结果,列号,试验号,A,B,AB,C,AC,BC,D,收率,y,i,%,1,1,1,1,1,1,1,1,65,2,1,1,1,2,2,2,2,74,3,1,2,2,1,1,2,2,71,4,1,2,2,2,2,1,1,73,5,2,1,2,1,2,1,2,70,6,2,1,2,2,1,2,1,73,7,2,2,1,1,2,2,1,62,8,2,2,1,2,1,1,2,67,K,1,283,282,268,268,273,T=555,K,2,272,273,287,287,282,=69.375,关于交互作用的讨论,考虑的交互作用越多，交互作用占的列就越多，那么正交表能排下的因子数就越少。于是正交设计的突出优点，即减少试验次数与考虑交互作用是矛盾的。这个矛盾如何解决呢？,从表,2-10,可以看出，因子,A,和,B,对指标的影响不显著，但,A,与,B,的交互作用对指标的影响却是显著的，即因子,B,对指标的影响与因子,A,处在什么水平有很大关系。具体地讲，,A=A,1,=50,时，,B=B,1,=2h,较好；,A=A,2,=70,时，,B=B,1,=1h,较好。,为什么会出现不同温度下时间对指标影响截然相反的情况呢？这正是交互作用的影响所在！如何削弱交互作用的影响呢？,术语：相对水平,这种随一个因子,A,水平不同而取另外一个因子,B,的不同水平进行对比，对称因子,B,取了,相对水平,，即取,B,1,=,较短；,B,2,=,较长。这两个水平随因子,A,的不同而有具体不同的含义，写出来为：,B,1,=,较短,=1h,，当,A,1,=50,时；或,B,1,=,较短,=20min,，当,A,2,=70,时,B,2,=,较长,=2.5h,，当,A,1,=50,时；或,B,2,=,较长,=40min,，当,A,2,=70,时,因子,B,取了相对水平后，一切处理均与取相对水平前相同，只是因子,B,的不同水平在碰到具体的,A,1,或,A,2,后才赋予具体的含义。,应该指出，因子,B,的相对水平的确定，必须根据已有的专业经验，提出一个大概范围，在此范围内，对因子,A,的不同水平，分别确定,B,的各水平进行对比。,术语：等价因子,下面举例说明：某两种化学原料在一定的溶液中进行反应，合成产品，指标是转化率。这类试验会提出下述因子进行考察：因子,A=,甲种原料用量，因子,B=,乙种原料用量，因子,C=,催化剂种类，因子,D=,反应温度，因子,E=,反应时间。,对于因子,D,和,E,之间的交互作用，可采取相对水平法予以消除或削弱。而对于因子,A,和,B,，可以知道若甲、乙两种原料有一种过量，必然使转化率下降。因此对指标而言，,A,和,B,一般是有交互作用的。,等价因子法是处理这类问题的方法。这类问题的关键有两个：一是寻找甲乙原料间合适的比例；二是确定原料总量以充分发挥固定用量的催化剂的作用。即两种原料的比例是反应进行是否充分的基本条件，而原料总量与催化剂的配合决定能否加速反应进行。所以不直接考察因子,A,和,B,，而考察,因子,A=,甲种原料与乙种原料用量之比,因子,B=,原料总量,因子,A,和,B,对指标的影响是可以迭加的，即,A,和,B,之间的交互作用可以忽略。,因子,A,和,B,构成一个因子组，因子,A,和,B,也构成一个因子组，这两个因子组是等价的。因为,A,和,B,唯一地确定了,A,和,B,，反之，,A,和,B,也唯一地确定了,A,和,B,。但由于角度不同，在处理交互作用时就很不一样了。,因子间具有交互作用的正交试验结果分析：,对于考虑因子间具有交互作用的正交试验，通过与前述相同的结果分析，可以判断因子间交互作用的大小，并给出误差的估计，这正是正交表的优点之一。,