资源描述
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已知一受力物体中某点的应力状态为：
式中a为已知常数，且a＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量之和。为平均应力。并说明这样分解的物理意义。
解：
球应力张量作用下，单元体产生体变。体变仅为弹性变形。偏应力张量作用下单元体只产生畸变。塑性变形只有在畸变时才可能出现。关于岩土材料，上述观点不成立。
9
一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。若选取＝ay2做应力函数。试求该物体的应力解、应变解和位移解。
（提示：①基础绝对刚性，则在x＝0处，u＝0 ；②由于受力和变形的对称性，在y＝0处，v＝0 。）
解： ，满足 ，是应力函数。相应的应力分量为：
， ， ； ①
应力边界条件：在x = h处， ②
将式①代入②得： ，故知：
， ， ； ③
由本构方程和几何方程得：
④
积分得： ⑤ ⑥
在x=0处u=0，则由式⑤得，f1(y)= 0；
在y=0处v=0，则由式⑥得，f2(x)=0；
因此，位移解为：
附，对比另一方法：
例，方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，且 >>。试选取适当的应力函数解此问题，求出相应的应力分量。
解答：1、确定应力函数
分析截面内力：，故选取
积分得：，代入相容方程，有：
，
要使对任意的 x、y 成立，有
，积分，得：，
。
2、计算应力分量
，
3、由边界条件确定常数
左右边界（）：；；
上边界（）：
4、应力解答为：
10
已知一半径为R＝50mm，厚度为t＝3mm的薄壁圆管，承受轴向拉伸和扭转的联合作用。设管内各点处的应力状态均相同，且设在加载过程中始终保持，（采用柱坐标系，r为径向，θ为环向，z为圆管轴向。）材料的屈服极限为＝400MPa。试求此圆管材料屈服时（采用Mises屈服条件）的轴向载荷P和轴矩Ms。
（提示：Mises屈服条件： ；）
解：据题意知一点应力状态为平面应力状态，如图示，且知 ，则
，且 = 0。
代入Mises屈服条件得：
即：
解得： 200 MPa；
轴力：P= = 2×50×10－3×3×10－3×200×106=188.495kN
扭矩：M= = 2×502×10－6×3×10－3×200×106=9.425 kN· m
11
在平面应力问题中，若给出一组应力解为：
， ， ，
式中a、b、c、d、e和f均为待定常数。且已知该组应力解满足相容条件。试问：这组应力解应再满足什么条件就是某一弹性力学平面应力问题的应力解。（15分）
解：应力解应再满足平衡微分方程即为弹性力学平面应力问题可能的应力解，代入平衡微分方程得：
则知，只要满足条件a＝－f，e＝－d，b和c可取任意常数。若给出一个具体的弹性力学平面应力问题，则再满足该问题的应力边界条件，该组应力分量函数即为一个具体的弹性力学平面应力问题的应力解。
12
在物体内某点，确定其应力状态的一组应力分量为：
=0，=0，=0，=0，=3a，=4a，知。
试求：（16分）
①该点应力状态的主应力、和；
②主应力的主方向；
③主方向彼此正交；
解：由式（2—19）知，各应力不变量为
、，
代入式（2—18）得：
也即
（1）
因式分解得：
（2）
则求得三个主应力分别为
。
设主应力与xyz三坐标轴夹角的方向余弦为
、 、 。
将 及已知条件代入式（2—13）得：
（3）
由式（3）前两式分别得：
（4）
将式（4）代入式（3）最后一式，可得0=0的恒等式。再由式（2—15）得：
则知
； （5）
同理可求得主应力的方向余弦、、和主应力 的方向余弦、、，并且考虑到同一个主应力方向可表示成两种形式，则得：
主方向为： ；（6）
主方向为： ；（7）
主方向为： ； （8）
若取主方向的一组方向余弦为 ，主方向的一组方向余弦为 ，则由空间两直线垂直的条件知：
（9）
由此证得 主方向与主方向彼此正交。同理可证得任意两主应力方向一定彼此正交。
13
如图所示，楔形体OA、OB边界不受力。楔形体夹角为2α，集中力P与y轴夹角为β。试列出楔形体的应力边界条件。（14分）
解：楔形体左右两边界的逐点应力边界条件：当θ＝±α时， ＝0，＝0；以半径为r任意截取上半部研究知：
、
14
一矩形横截面柱体，如图所示，在柱体右侧面上作用着均布切向面力q，在柱体顶面作用均布压力p。试选取：
做应力函数。式中A、B、C、D、E为待定常数。试求： （16分）
（1）上述式是否能做应力函数；
（2）若可作为应力函数，确定出系数A、B、C、D、E。
（3）写出应力分量表达式。（不计柱体的体力）
解：据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即：；由此可知应力函数可取为：
（a）
将式（a）代入 ，可得：
(b)
故有：
； (c)
则有：
； (d)
略去 中的一次项和常数项后得：
(e)
相应的应力分量为：
(f)
边界条件：
① 处，
，则 ； (g)
② 处，
， 则 ； (h)
③在y = 0处，
， ，即
由此得：
，
再代入式（h）得：
；
由此得：
（i）
由于在y=0处，
，
积分得：
（j）
，
积分得：
（k）
由方程(j ) (k)可求得：
，
投知各应力分量为：
(l)
据圣文南原理，在距处稍远处这一结果是适用的。
15
已知受力物体内一点处应力状态为：
（Mpa）
且已知该点的一个主应力的值为2MPa。试求：（15分）
①应力分量的大小。
②主应力、和 。
窗体底端
16
已知一弹性力学问题的位移解为：（13分）
； ； ；
式中a为已知常数。试求应变分量，并指出它们能否满足变形协调条件（即相容方程）。
解：将位移分量代入几何方程得：
； ； ；
由于应变分量是x的线性函数，固知它们必然满足变形协调条件：
17
设如图所示三角形悬臂梁，只受自重作用，梁材料的容重为。若采用纯三次多项式：
作应力函数，式中A、B、C、D为待定常数。试求此悬臂梁的应力解。（15分）
解：将 式代入 知满足，可做应力函数，相应的应力分量为：（已知Fx＝0，Fy=γ）
边界条件：
① 上边界： ， ， ，代入上式得：A ＝ B ＝0，
② 斜边界： ， ， ， ，则：
得：
；
于是应力解为：
题四、2图
18
试列出下列各题所示问题的边界条件。（每题10分，共20分。）
（1）试列出图示一变截面薄板梁左端面上的应力边界条件，如图所示。
题四、3、（1）图 题四、3、（2）图
（2）试列出半空间体在边界上受法向集中P作用——Boussinesq问题的应力边界条件，如图所示。
（1）左端面的应力边界条件为：据圣文南原理
题四、3、（1）图
（2）上边界：①当 时 ， ；
②当 时 ， ；
③当 时 ， ； 在此边界上已知：
， ， ；
④当设想 时，截取一平面，取上半部研究，则由平衡条件知：
，已知： ，对称性
19
一薄壁圆筒，承受轴向拉力及扭矩的作用，筒壁上一点处的轴向拉应力为，环向剪应力为，其余应力分量为零。若使用Mises屈服条件，试求：（16分）
1）材料屈服时的扭转剪应力应为多大？
2）材料屈服时塑性应变增量之比，即：∶∶∶∶∶。已知Mises屈服条件为：
解：采用柱坐标，则圆筒内一点的应力状态为：
则miss条件知：
解得： ；此即为圆筒屈服时，一点横截面上的剪应力。
已知：
则：
由增量理论知：
则：
即：
20
如图所示一半圆环，在外壁只受的法向面力作用，内壁不受力作用。A端为固定端，B端自由。试写出该问题的逐点应力边界条件和位移边界条件。（15分）
、解：逐点应力边界条件：
当r＝a时，＝0， ＝0；
当r＝b时，＝qsiθ， ＝0；
当θ=π时， ＝0， ＝0；
A端位移边界条件：
当θ＝0 ， 时，ur＝0 ，uθ＝0 ，且过A点处径向微线素不转动，即 ＝0；或环向微线素不转动，即 =0。
21
已知一点的应变状态为：
，，，
，，。
试将其分解为球应变状态与偏斜应变状态。（15分）
解：
；
；
22
已知受力物体内一点处应力状态为：
（Mpa）
且已知该点的一个主应力的值为2MPa。试求：（18分）
①应力分量的大小 ；
② 主应力、和。
解（1）：
；
即：
，
将：
代入上式解得：
；
故知：
由：
又解（2）：代入教材、公式： 代入
由： ，
且由上式知：2式知 ，由3式 ，故 ，则知： ；（由1式）再由：
展开得：
；
则知：
；
由：
即：
； ；
再由：
知：
23
一厚壁圆筒，内半径为a，外半径为b ，仅承受均匀内压q作用（视为平面应变问题）。圆筒材料为理想弹塑性，屈服极限为。试用Tresca屈服条件，分析计算该圆筒开始进入塑性状态时所能承受的内压力q的值。已知圆筒处于弹性状态时的 应力解为：
； ；
； ；
； ；
上式中：a≤r≤b。（16分）
解：由题目所给条件知：
则由Tresca条件：
知：
则知：
24
梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为g，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’ 的面力边界条件。
25
作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为
试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
26
单位厚度的楔形体，材料比重为g，楔形体左侧作用比重为g1的液体，如图所示。试写出楔形体的边界条件。
27
已知球体的半径为r，材料的密度为r1，球体在密度为r1（r1＞r1）的液体中漂浮，如图所示。试写出球体的面力边界条件。
28
矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。试根据材料力学应力解答
推导挤压应力sy的表达式。
29
等厚度板沿周边作用着均匀压力q ，若O点不能移动和转动，试求板内任意点的位移分量。
30
简支梁仅承受自身重量，材料的比重为g，试检验函数
j f =Ax2y3+By5+C y3+Dx 2y
是否可以作为应力函数，并且求各个待定系数。
31
建筑在水下的墙体受水压，轴向压力F和侧向力F作用，如图所示。已知墙体的端部与水平面等高，水的比重为g，侧向力与水平面距离为2h，设应力函数为
j f =Ay3+Bx2+Cxy+Dx3y+Ex3
试求y =3h墙体截面的应力分量。
32
已知如图所示单位厚度的矩形薄板，周边作用着均匀剪力 q。试求边界上的 并求其应力分量（不计体力）。
33
矩形截面柱侧面受均布载荷q的作用，如图所示。试求应力函数及应力分量（不计体力）。
34
如图所示悬臂梁，承受均布载荷q的作用，试检验函数
j f =Ay3+Bx2y3+Cy3+Dx2+Ex2y
能否做为应力函数。如果可以，求各个待定系数及悬臂梁应力分量。
35
矩形截面柱体承受偏心载荷作用，如果不计柱体自身重量，则若应力函数为
j f =Ax3+Bx2
试求：
a. 应力分量和应变分量；
b. 假设O点不动，且该点截面内的任意微分线段不能转动，求其位移分量；
c.轴线的位移－挠曲线方程。
36
已知悬臂梁如图所示，如果悬臂梁的弯曲正应力sx 由材料力学公式给出，试由平衡方程式求出sy 及txy ，并检验计算所得的应力分量能否满足应力表示的变形协调方程。
37
三角形悬臂梁，承受自重作用，如图所示。已知材料的比重为g ，试确定应力函数及应力分量。
38
39
根据各向同性体的广义虎克定理，证明主应力方位与主应变方位相重合（15分）。
证明：已知广义虎克定律
（1） （3分）
而主应力状态下有
（2） （2分）
令主应力方向余弦为，则相应的特征方程为
（3） （4分）
且：
上式中为对应的主应力方向。将式（1）、（2）代入式（3）整理得：
（4） （4分）
上式正好为主应变方程， 对应的主应变方向也为。可见：对于均匀各向同性体，主应力方向和主应变方向重合。（2分）
40
已知应力函数，试求出应力分量并画出下图中薄板斜边界上对应的面力分布情况(包括正应力和剪应力)。（15分）
解：由公式：
（3分）
在斜截面上的方向余弦为：
， （2分）
由坐标变化公式，斜截面上的正应力为
（4分）
B点：，C点：，如图所示。
0
x
y
0
x
y
斜截面正应力分布
斜截面剪应力分布
A
B
B
A
(+)
斜截面上的剪应力为 （4分）
（4分） （3分）
B点：，C点：，如图所示。
41
对于图示的偏心压缩杆件，已知压力P和偏心矩e。试求应力分布。（20分）。
解：1、由材料力学可知：
即沿x方向线性分布。
可设： （3分）
又由： 推得应力函数为：
（3分）
2、应力分量为
（2分）
3、由边界条件定常数
上端面：静力等效
①、 （4）
②、（4分）
则应力分量为， （2分）
42
1. 试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚）
图5-1
解：在主要边界上，应精确满足下列边界条件：
，； ，
在次要边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚时，
，，
在次要边界上，有位移边界条件：，。这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件代替：
，，
43
2. 试考察应力函数，，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。
图5-2
解：（1）相容条件：将代入相容方程，显然满足。
（2）应力分量表达式：，，
（3）边界条件：在主要边界上，即上下边，面力为，
在次要边界上，面力的主失和主矩为
弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主失量和主矩如解图所示。
44
3. 设有矩形截面的长竖柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力q, 如图5-3所示，试求应力分量。（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量 ）
图 5-3
解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量，
(1) 假设应力分量的函数形式。
(2) 推求应力函数的形式。此时，体力分量为。将代入应力公式有对积分，得， （a）
。 （b）
其中，都是的待定函数。
(3)由相容方程求解应力函数。将式（b）代入相容方程，得
这是y的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的y值都应该满足），可见它的系数和自由项都必须等于零。，，两个方程要求
， (c)
中的常数项，中的一次和常数项已被略去，因为这三项在的表达式中成为y的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数
(d)
（4）由应力函数求应力分量。
， (e)
， (f)
. (g)
(5) 考察边界条件。利用边界条件确定待定系数
先来考虑左右两边的主要边界条件：
，，。
将应力分量式(e)和(g)代入，这些边界条件要求：
，自然满足； (h)
(i)
由（h）（i） 得 （j）
考察次要边界的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为
； 得
， 得
（k）
由（h）（j）（k）得 ,
将所得A、B、C、D、E代入式（e）（f）（g）得应力分量为：
，，
45
图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为 ） （13分）
题三（1）图
解：很小，，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。
将应力函数代入，可求得应力分量：
； ；
边界条件：
（1）；
代入应力分量式，有
或 （1）
（2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：，和M = Pd
由该脱离体的平衡，得
将代入并积分，有
得 （2）
联立式（1）、（2）求得：
，
代入应力分量式，得
； ； 。
结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差
46
图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。
（12分）
题三（2）图
解：（1）求横截面上正应力
任意截面的弯矩为，截面惯性矩为，由材料力学计算公式有
（1）
（2）由平衡微分方程求、
平衡微分方程：
其中，。将式（1）代入式（2），有
积分上式，得
利用边界条件：，有
即
（4）
将式（4）代入式（3），有
或
积分得
利用边界条件：
，
得：
由第二式，得
将其代入第一式，得
自然成立。
将代入的表达式，有
（5）
所求应力分量的结果：
（6）
校核梁端部的边界条件：
（1）梁左端的边界（x = 0）：
， 代入后可见：自然满足。
（2）梁右端的边界（x = l）：
可见，所有边界条件均满足。
检验应力分量是否满足应力相容方程：
常体力下的应力相容方程为
将应力分量式（6）代入应力相容方程，有
，
显然，应力分量不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。
47
一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k。梁受有均匀分布载荷q作用，如图所示。试：
（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数；
（2）用最小势能原理或Ritz法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系数）。
（13分）
题二（3）图
解：两种形式的梁挠度试函数可取为
—— 多项式函数形式
—— 三角函数形式
此时有：
即满足梁的端部边界条件。
梁的总势能为
取：，有
，
代入总势能计算式，有
由，有
代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为
48
已知受力物体内某一点的应力分量为：，，，，，，试求经过该点的平面上的正应力。 （12分）
解：由平面方程，得其法线方向单位矢量的方向余弦为
，，
，
49
常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为，请问：相容方程的作用是什么？两种解法中，哪一种解法不需要将相容方程作为基本方程？为什么？（13分）
答：
（1）连续体的形变分量（和应力分量）不是相互独立的，它们之间必须满足相容方程，才能保证对应的位移分量存在，相容方程也因此成为判断弹性力学问题解答正确与否的依据之一。
（2）对于按位移求解（位移法）和按应力求解（应力法）两种方法，对弹性力学问题进行求解时位移法求解不需要将相容方程作为基本方程。
（3）（定义）按位移求解（位移法）是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，并由此解出应变分量，进而再求出形变分量和应力分量。
50
考虑上端固定，下端自由的一维杆件，见题七图，只受重力作用，（ρ为杆件密度，g为重力加速度），并设μ=0。
试用位移法求解杆件竖向位移及应力。（14分）
（平面问题的平衡微分方程：，；用位移分量表示的
应力分量表达式：，，）
解：据题意，设位移u=0，v=v(y)，按位移进行求解。
根据将用位移分量表示的应力分量代入平面问题的平衡微分方程，得到按位移求解平面应力问题的基本微分方程如下：
(a)
(b)
将相关量代入式(a)、(b)，可见(a) 式（第一式）自然满足，而(b) 式第二式成为
可由此解出
(c)
本题中，上下边的边界条件分别为位移边界条件和应力边界条件，且
将(c)代入，可得
反代回(c)，可求得位移：
51
设有函数，
（1）判断该函数可否作为应力函数？（3分）
（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见题九图）中能解决什么问题（l >>h）。（15分）
题九图
解：
（1）将φ代入相容方程，显然满足。因此，该函数可以作为应力函数。
（2）应力分量的表达式：
考察边界条件：在主要边界y＝±h/2上，应精确满足应力边界条件
在次要边界x＝0上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：
在次要边界x＝l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：
对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力；而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。
所以能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载q的问题。
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如图所示，悬臂梁上部受线性分布荷载，梁的厚度为1，不计体力。试利用材料力学知识写出，表达式；并利用平面问题的平衡微分方程导出，表达式。
分析：该问题属于平面应力问题；在材料力学中用到了纵向纤维互不挤压假定，即无存在，可以看出上边界存在直接荷载作用，则会有应力存在，所以材料所得结果是不精确的；在平衡微分方程二式中都含有，联系着第一、二式；材料力学和弹性力学中均认为正应力主要由弯矩引起。
解：横截面弯矩：，横截面正应力
代入平衡微分方程的第一式得：（注意未知量是的函数），由得出，
可见
将代入平衡微分方程的第二式得：
，，
59
某一平面问题的应力分量表达式：，，，体力不计，试求，，的值。
解答：两类平面问题的平衡微分方程是一样的，且所给应力分量是实体的应力，它对实体内任意一点均是成立的。将所给应力分量代入平衡微分方程中：
代入第一式：，
即：，
，，
代入第二式：，
即：，，，，
60
设物体内的应力场为，，，，试求系数。
解：由应力平衡方程的：
即： （1）
（2）
有（1）可知：因为与为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零，因此， （3）
（4）
联立（2）、（3）和（4）式得：
即：
61
已知图示平板中的应力分量为：，，。试确定OA边界上的方向面力和AC边界上的方向面力，并在图上画出，要求标注方向。
解：1、OA边界上的方向面力：，在处，
=，正值表示方向和坐标轴正向一致，且成三次抛物线分布，最大值为。
2、AC边界上的方向面力：，在处，
==，负值表示方向和坐标轴正向相反，成直线分布，最小值为0，最大值为。
62
已知下列应变状态是物体变形时产生的，试求各系数之间应满足的关系。
解：为了变形连续，所给应变分量必须满足相容方程，将其代入到式相容方程中得出
，上式应对任意的均成立，所以有：，由此可得到各系数之间应满足的关系是。系数可取任意值，同时也说明了常应变不论取何值，实体变形后都是连续的。
63
已知平面应变状态下，变形体某点的位移函数为：
，，试求该点的应变分量。
解：，，
64
设，其中为常数，试问该应变场在什么情况下成立？
解：对求的2次偏导，即：
，
即：时上述应变场成立。
65
试由下述应变状态确定各系数与物体体力之间的关系。
，
分析：该问题为平面应变问题，因为平面应变问题总有；所给应变存在的可能性，即应变分量必须满足相容方程，才是物体可能存在的；因为要求求出体力，体力只是和平衡微分方程有关，需要先求出应力分量，而应力分量可通过应力与应变关系即物理方程求出，由应变求出应力，注意两类问题的物理方程不一样，需要应用平面应变问题的物理方程。
解：（1）检验该应变状态是否满足相容方程，因为：，即，满足。
（2）将应变分量代入到平面应变问题的物理方程式（2-23）中求出应力分量：
（3）将上述应力分量代入到平衡微分方程式（2-2）中，可得到各系数与物体体力之间的关系：
（4）讨论：若无体力（），则由上式可得
，根据它对物体内的任意一点均成立，又可得
结论：若体力不为零，各系数与物体体力之间的关系即是（3）的结果；若体力为零，则是（4）的结果；是任意值。
66
如图所示为矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件（下边界不写）。
解：应力边界条件公式为：；。
1）左右边界为主要边界，利用面力边值条件：
左面（）：，则：
右面（）：，则：
2）上端面（）为小边界应用静力等效：
，，
67
平面问题如图所示，已知位移分量为：，。若已知变形前点坐标为（1.5，1.0），变形后移至（1.503，1.001），试确定点的应变分量。
答：；
点的应变分量：。（3分）
68
试写出如图所示的位移边界条件。
（1）图（）为梁的固定端处截面变形前后情况，竖向线不转动；
（2）图（）为梁的固定端处截面变形前后情况，水平线不转动；
（3）图（）为薄板放在绝对光滑的刚性基础上。
答：（1）图（），，；
（2）图（），，；
（3）图（）边界位移边界条件为：，
69
试验证应力分量， ，是否为图示平面问题的解答（假定不考虑体力）。
解答：1）将应力分量代入平衡微分方程
，得0+0=0，
，得，
故不满足平衡微分方程
2）将应力分量代入相容方程：
，或写成，故：满足相容方程
3）将应力分量代入边界条件：
主要边界如下：
在边界上：，即0=0，满足；
在边界上：，即0=0，满足；
在边界上：，将题所给表达式代入满足；
在边界上：，将题所给表达式代入满足；
（在及次要边界上，采用圣维南原理等效，不要求学生写出）
4）结论：所给应力分量不是图所示平面问题的解答。
70
图所示楔形体，处形抛物线，下端无限伸长，厚度为1，材料的密度为。试证明：， ，为其自重应力的正确解答。
证明：该问题为平面应力问题，体力为常量，正确的应力解答要同时满足相容方程、平衡微分方程和应力边界条件。
1）考察是否满足相容方程：将应力分量代入到相容方程中，，代入满足；
2）考察是否满足平衡微分方程：
代入第一式：，即0+0+0=0，满足；
代入第二式：，即，满足；
3）考察边界条件：,，，，，
代入第一式：，即 （）；
代入第二式：，即 （）；
曲线的斜率为，而，
则，将其连同应力分量代入到（）中，满足；同理代入到（）中，也满足，因此满足边界条件。
故是正确解答。
71
已知如图所示悬挂板，在O点固定，若板的厚度为1，材料的相对密度为，试求该板在重力作用下的应力分量。
解答：1、确定应力函数
分析截面内力：，故选取
积分得：，代入相容方程，有：
，
要使对任意的 x、y 成立，有
，积分，得：，
。
2、计算应力分量（含待定常数，体力不为0）
，
，
3、由边界条件确定常数
左右边界（）：，自然满足；；，
下边界（）：
4、应力解答为：，
72
试检验函数是否可作为应力函数。若能，试求应力分量（不计体力），并在图所示薄板上画出面力分布。
解答：检验函数：因为代入相容方程，满足相容方程，因此该函数可作为应力函数。
应力分量：由应力函数所表示的应力分量表达式求得应力分量为：
板边面力：根据应力边界条件公式，求出对应的边界面力。
上边界：得出
下边界：得出
左边界：得出
右边界：得出
面力分布如图所示：
73
74
75
6.3 在拉伸试验中，伸长率为，截面收缩率为，其中和为试件的初始横截面面积和初始长度，试证当材料体积不变时有如下关系：
证明：将和的表达式代入上式，则有
6.4 为了使幂强化应力-应变曲线在时能满足虎克定律，建议采用以下应力-应变关系：
(1)为保证及在处连续，试确定、值。
(2)如将该曲线表示成形式，试给出的表达式。
解：（1）由在处连续，有
（a）
由在处连续，有
（b）
（a）、（b）两式相除，有
（c）
由（a）式，有
（d）
（2）取形式时，
当：即
当：应力相等，有
解出得，
（代入值）
（代入值）
6.5已知简单拉伸时的应力-应变曲线如图6-1所示，并表示如下：
问当采用刚塑性模型是，应力-应变曲线应如何表 示？ 图6-1
解：刚塑性模型不考虑弹性阶段应变，因此刚塑性应力应变曲线即为 曲线，这不难由原式推得
而在强化阶段，，因为这时
将都移到等式左边，整理之即得答案。
其中
6.6 已知简单拉伸时的曲线由（6.1）式给出，考虑横向应变与轴向应 变的比值
在弹性阶段，为材料弹性时的泊松比，但进入塑性阶段后值开始增大最后趋向于。试给出的变化规律。
解：按题设在简单拉伸时总有
（a）
左边为体积变形，不论材料屈服与否，它要按弹性规律变化，即有
（b）
比较（a），（b）两式，得
将表达式代入，即可得。
6.7如图所示等截面直杆，截面积为，且。在处作用一个逐渐增加的力。该杆材料为线性强化弹塑性，拉伸和压缩时性能相同。求左端反力和力的关系。
解：（1）弹性阶段
基本方程：平衡方程 （a）
几何方程 </p>
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