2026年内蒙古自治区包头市青山区重点达标名校初三3月摸底考试数学试题理试题含解析.doc

2026年内蒙古自治区包头市青山区重点达标名校初三3月摸底考试数学试题理试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．下面的图形是轴对称图形，又是中心对称图形的有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
3．如图，反比例函数y＝－的图象与直线y＝－x的交点为A、B，过点A作y轴的平行线与过点B作的x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为( )

A．8 B．6 C．4 D．2
4．空气的密度为0.00129g/cm3，0.00129这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．0.129×10﹣2 B．1.29×10﹣2 C．1.29×10﹣3 D．12.9×10﹣1
5．如图，图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第（n）个图形中面积为1的正方形的个数为（　　）

A． B． C． D．
6．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A．正五边形 B．平行四边形 C．矩形 D．等边三角形
7．计算的结果等于( )
A．-5 B．5 C． D．
8．如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是( )

A． B． C． D．
9． 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
10．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．则两次摸出的小球的标号的和等于6的概率为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE＝5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为_____ m．

12．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是_____．

13．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是___________．
14．对于函数，我们定义（m、n为常数）．
例如，则．
已知：．若方程有两个相等实数根，则m的值为__________．
15．当 __________时，二次函数 有最小值___________.
16．如图，圆锥底面圆心为O，半径OA＝1，顶点为P，将圆锥置于平面上，若保持顶点P位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点A恰好回到原处，则圆锥的高OP＝_____．

17．分解因式：=　　　　.
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）解分式方程：
19．（5分）在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．
（I）如图①，若∠F=50°，求∠BGF的大小；
（II）如图②，连接BD，AC，若∠F=36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．

20．（8分）已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）与x轴相交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）当A（﹣1，0），C（0，﹣3）时，求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点．
①当点P关于原点的对称点P′落在直线BC上时，求m的值；
②当点P关于原点的对称点P′落在第一象限内，P′A2取得最小值时，求m的值及这个最小值．
21．（10分）如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：
A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．
根据统计结果绘制如下两个统计图（如图），根据统计图提供的信息，解答下列问题：
请你补全条形统计图；在扇形统计图中，求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角的度数；为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学担任生活监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率．
22．（10分）先化简，再求值：（）÷，其中a=+1．
23．（12分）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD．∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系.

图1 图2 图3
(1)思路梳理
将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合.由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线. 易证△AFG ，故EF，BE，DF之间的数量关系为 ；
(2)类比引申
如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明.
(3)联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°. 若BD=1，EC=2，则DE的长为 .
24．（14分）校园手机现象已经受到社会的广泛关注．某校的一个兴趣小组对“是否赞成中学生带手机进校园”的问题在该校校园内进行了随机调查．并将调查数据作出如下不完整的整理；
看法
频数
频率
赞成
5

无所谓

0.1
反对
40
0.8
（1）本次调查共调查了　 　人；（直接填空）请把整理的不完整图表补充完整；若该校有3000名学生，请您估计该校持“反对”态度的学生人数．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、B
【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各个图形进行逐一分析即可．
【详解】
解：第一个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
第二个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
第四个图形即是轴对称图形，又是中心对称图形；
∴既是轴对称图形，又是中心对称图形的有两个，
故选：B．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．
2、A
【解析】
一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．故当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形.
故选A.
此题主要考查了多边形，减去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条.
3、A
【解析】
试题解析：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，
则△ABC的面积=2|k|=2×4=1．
故选A．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
4、C
【解析】
试题分析：0.00129这个数用科学记数法可表示为1.29×10﹣1．故选C．
考点：科学记数法—表示较小的数．
5、C
【解析】
由图形可知：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n+1=.
【详解】
第(1)个图形中面积为1的正方形有2个，
第(2)个图形中面积为1的图象有2+3=5个，
第(3)个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，
…，
按此规律，
第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+(n+1)= 个.
本题考查了规律的知识点，解题的关键是根据图形的变化找出规律.
6、C
【解析】
分析：根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．
详解：A. 正五边形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.
B. 平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误.
C. 矩形，既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确.
D. 等边三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.
故选C.
点睛：本题考查了对中心对称图形和轴对称图形的判断，我们要熟练掌握一些常见图形属于哪一类图形，这样在实际解题时，可以加快解题速度，也可以提高正确率.
7、A
【解析】
根据有理数的除法法则计算可得．
【详解】
解：15÷（-3）=-（15÷3）=-5，
故选：A．
本题主要考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
8、C
【解析】
两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．
【详解】
直线l1经过（2，3）、（0，-1），易知其函数解析式为y=2x-1；
直线l2经过（2，3）、（0，1），易知其函数解析式为y=x+1；
因此以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是：．
故选C．
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
9、C
【解析】
由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．
【详解】

∵∠1=50°，
∴∠3=∠1=50°，
∴∠2=90°−50°=40°.
故选C.
本题主要考查平行线的性质，熟悉掌握性质是关键.
10、C
【解析】
列举出所有情况，看两次摸出的小球的标号的和等于6的情况数占总情况数的多少即可．
解：

共16种情况，和为6的情况数有3种，所以概率为．
故选C．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、7.5
【解析】
试题解析：当旋转到达地面时，为最短影长，等于AB，
∵最小值3m，
∴AB=3m，
∵影长最大时，木杆与光线垂直，

即AC=5m，
∴BC=4，
又可得△CAB∽△CFE，
∴
∵AE=5m，
∴
解得：EF=7.5m.
故答案为7.5.
点睛：相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例.
12、
【解析】
如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，

则AC=4，OC=2，
在Rt△ACO中，AO=，
∴sin∠OAB=．
故答案为．
13、且.
【解析】
方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．
【详解】
方程两边同乘以x-1，得，m-1=x-1，
解得x=m-2，
∵分式方程的解为正数，
∴x=m-2＞0且x-1≠0，
即m-2＞0且m-2-1≠0，
∴m＞2且m≠1，
故答案为m＞2且m≠1．
14、
【解析】
分析：根据题目中所给定义先求，再利用根与系数关系求m值.
详解：由所给定义知，,若
=0,
解得m=.
点睛：一元二次方程的根的判别式是,
△=b2-4ac,a,b,c分别是一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项.
△>0说明方程有两个不同实数解,
△=0说明方程有两个相等实数解,
△<0说明方程无实数解.
实际应用中，有两种题型（1）证明方程实数根问题，需要对△的正负进行判断，可能是具体的数直接可以判断，也可能是含字母的式子，一般需要配方等技巧.
15、1 5
【解析】
二次函数配方，得：，所以，当x＝1时，y有最小值5，
故答案为1，5.
16、
【解析】
先利用圆的周长公式计算出PA的长，然后利用勾股定理计算PO的长．
【详解】
解：根据题意得2π×PA＝3×2π×1，
所以PA＝3，
所以圆锥的高OP＝
故答案为．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17、
【解析】
试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：。

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、无解
【解析】
首先进行去分母，将分式方程转化为整式方程，然后按照整式方程的求解方法进行求解，最后对所求的解进行检验，看是否能使分母为零．
【详解】
解：两边同乘以（x+2）（x－2）得：
x（x+2）－（x+2）（x－2）=8
去括号，得：+2x－+4=8
移项、合并同类项得：2x=4
解得：x=2
经检验，x=2是方程的增根
∴方程无解
本题考查解分式方程，注意分式方程结果要检验．
19、（I）65°；（II）72°
【解析】
（I）如图①，连接OB，先利用切线的性质得∠OBF=90°，而OA⊥CD，所以∠OED=90°，利用四边形内角和可计算出∠AOB=130°，然后根据等腰三角形性质和三角形内角和计算出∠1=∠A=25°，从而得到∠2=65°，最后利用三角形内角和定理计算∠BGF的度数；
（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，利用切线的性质得OB⊥BF，再利用AC∥BF得到BH⊥AC，与（Ⅰ）方法可得到∠AOB=144°，从而得到∠OBA=∠OAB=18°，接着计算出∠OAH=54°，然后根据圆周角定理得到∠BDG的度数．
【详解】
解:（I）如图①，连接OB，
∵BF为⊙O的切线，
∴OB⊥BF，
∴∠OBF=90°，
∵OA⊥CD，
∴∠OED=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣50°=130°，
∵OA=OB，
∴∠1=∠A=（180°﹣130°）=25°，
∴∠2=90°﹣∠1=65°，
∴∠BGF=180°﹣∠2﹣∠F=180°﹣65°﹣50°=65°；
（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，
∵BF为⊙O的切线，
∴OB⊥BF，
∵AC∥BF，
∴BH⊥AC，
与（Ⅰ）方法可得到∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣36°=144°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=（180°﹣144°）=18°，
∵∠AOB=∠OHA+∠OAH，
∴∠OAH=144°﹣90°=54°，
∴∠BAC=∠OAH+∠OAB=54°+18°=72°，
∴∠BDG=∠BAC=72°．

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
20、（1）抛物线的解析式为y=x3﹣3x﹣1，顶点坐标为（1，﹣4）；（3）①m=；②P′A3取得最小值时，m的值是，这个最小值是．
【解析】
（1）根据A（﹣1，3），C（3，﹣1）在抛物线y=x3+bx+c（b，c是常数）的图象上，可以求得b、c的值；
（3）①根据题意可以得到点P′的坐标，再根据函数解析式可以求得点B的坐标，进而求得直线BC的解析式，再根据点P′落在直线BC上，从而可以求得m的值；
②根据题意可以表示出P′A3，从而可以求得当P′A3取得最小值时，m的值及这个最小值．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=x3+bx+c（b，c是常数）与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，3），C（3，﹣1），∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y=x3﹣3x﹣1．
∵y=x3﹣3x﹣1=（x﹣1）3﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（3）①由P（m，t）在抛物线上可得：t=m3﹣3m﹣1．
∵点P和P′关于原点对称，∴P′（﹣m，﹣t），当y=3时，3=x3﹣3x﹣1，解得：x1=﹣1，x3=1，由已知可得：点B（1，3）．
∵点B（1，3），点C（3，﹣1），设直线BC对应的函数解析式为：y=kx+d，，解得：，∴直线BC的直线解析式为y=x﹣1．
∵点P′落在直线BC上，∴﹣t=﹣m﹣1，即t=m+1，∴m3﹣3m﹣1=m+1，解得：m=；
②由题意可知，点P′（﹣m，﹣t）在第一象限，∴﹣m＞3，﹣t＞3，∴m＜3，t＜3．
∵二次函数的最小值是﹣4，∴﹣4≤t＜3．
∵点P（m，t）在抛物线上，∴t=m3﹣3m﹣1，∴t+1=m3﹣3m，过点P′作P′H⊥x轴，H为垂足，有H（﹣m，3）．
又∵A（﹣1，3），则P′H3=t3，AH3=（﹣m+1）3．在Rt△P′AH中，P′A3=AH3+P′H3，∴P′A3=（﹣m+1）3+t3=m3﹣3m+1+t3=t3+t+4=（t+）3+，∴当t=﹣时，P′A3有最小值，此时P′A3=，∴=m3﹣3m﹣1，解得：m=．
∵m＜3，∴m=，即P′A3取得最小值时，m的值是，这个最小值是．

本题是二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
21、（1）详见解析；（2）72°；（3）
【解析】
（1）由B类型的人数及其百分比求得总人数，在用总人数减去其余各组人数得出C类型人数，即可补全条形图；
（2）用360°乘以C类别人数所占比例即可得；
（3）用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，从中确定恰好抽到一男一女的结果数，根据概率公式求解可得．
【详解】
解：（1）∵ 抽 查的总人数为：（人）
∴ 类人数为：（人）
补全条形统计图如下：

（2）“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角度数为：
（3）设男生为、，女生为、、，
画树状图得：

∴恰好抽到一男一女的情况共有12 种，分别是
∴ （恰好抽到一男一女）．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22、，.
【解析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解: （）÷
=
=
=
=，
当a=+1时，原式==．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
23、（1）△AFE. EF=BE+DF.（2）BF=DF-BE，理由见解析；（3）
【解析】
试题分析：（1）先根据旋转得：计算 即点共线，再根据SAS证明△AFE≌△AFG，得EF=FG，可得结论EF=DF+DG=DF+AE；
（2）如图2，同理作辅助线：把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，证明△EAF≌△GAF，得EF=FG，所以EF=DF−DG=DF−BE;
（3）如图3，同理作辅助线：把△ABD绕点A逆时针旋转至△ACG，证明△AED≌△AEG，得，先由勾股定理求的长，从而得结论．
试题解析：(1)思路梳理：
如图1,把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，可使AB与AD重合，即AB=AD，
由旋转得：∠ADG=∠A=，BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∴∠FDG=∠ADF+∠ADG=+=，
即点F. D. G共线，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=，
∵∠EAF=，
∴
∴
∴
在△AFE和△AFG中，
∵
∴△AFE≌△AFG(SAS)，
∴EF=FG，
∴EF=DF+DG=DF+AE；
故答案为：△AFE，EF=DF+AE；
(2)类比引申：

如图2，EF=DF−BE，理由是：
把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，可使AB与AD重合，则G在DC上，
由旋转得：BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∵∠BAD=，
∴∠BAE+∠BAG=，
∵∠EAF=，
∴∠FAG=−=，
∴∠EAF=∠FAG=，
在△EAF和△GAF中，
∵
∴△EAF≌△GAF(SAS)，
∴EF=FG，
∴EF=DF−DG=DF−BE;
(3)联想拓展：
如图3,把△ABD绕点A逆时针旋转至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，

由旋转得：AD=AG，∠BAD=∠CAG，BD=CG，
∵∠BAC=，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=，
∴∠ACG=∠B=，
∴∠BCG=∠ACB+∠ACG=+=，
∵EC=2，CG=BD=1，
由勾股定理得：
∵∠BAD=∠CAG,∠BAC=，
∴∠DAG=，
∵∠BAD+∠EAC=，
∴∠CAG+∠EAC==∠EAG，
∴∠DAE=，
∴∠DAE=∠EAG=，
∵AE=AE，
∴△AED≌△AEG，
∴
24、（1）50；（2）见解析；（3）2400.
【解析】
（1）用反对的频数除以反对的频率得到调查的总人数；
（2）求无所谓的人数和赞成的频率即可把整理的不完整图表补充完整；
（3）根据题意列式计算即可．
【详解】
解：（1）观察统计表知道：反对的频数为40，频率为0.8，
故调查的人数为：40÷0.8＝50人；
故答案为：50；
（2）无所谓的频数为：50﹣5﹣40＝5人，
赞成的频率为：1﹣0.1﹣0.8＝0.1；
看法
频数
频率
赞成
5
0.1
无所谓
5
0.1
反对
40
0.8
统计图为：

（3）0.8×3000＝2400人，
答：该校持“反对”态度的学生人数是2400人．
本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．