2026届江苏省无锡市梁溪区民办辅仁中学全国初三冲刺考（四）全国II卷数学试题试卷含解析.doc

2026届江苏省无锡市梁溪区民办辅仁中学全国初三冲刺考（四）全国II卷数学试题试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（　　）

A．48° B．40° C．30° D．24°
2．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点，AB=10，BC=8，DE=4.5，则△DEF的周长是（　　）

A．9.5 B．13.5 C．14.5 D．17
3．在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（　　）
A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π
4．的倒数是（ ）
A． B．3 C． D．
5．如图是我市4月1日至7日一周内“日平均气温变化统计图”，在这组数据中，众数和中位数分别是（ ）

A．13；13 B．14；10 C．14；13 D．13；14
6．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
7．（﹣1）0+|﹣1|=（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
8．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF,连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H,下列结论：
①△AED≌△DFB；②S四边形 BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF
,其中正确的结论

A．只有①②. B．只有①③. C．只有②③. D．①②③.
9．如图，已知直线 PQ⊥MN 于点 O，点 A，B 分别在 MN，PQ 上，OA=1，OB=2，在直线 MN 或直线 PQ 上找一点 C，使△ABC是等腰三角形，则这样的 C 点有（ ）

A．3 个 B．4 个 C．7 个 D．8 个
10．如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠DOF＝142°，则∠C的度数为（　　）

A．38° B．39° C．42° D．48°
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．在△ABC中，点D在边BC上，BD=2CD，，，那么= ．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知C（1，），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，要使△DEF的面积是△ABC面积的5倍，则点F的坐标为_____．

13．八位女生的体重（单位：kg）分别为36、42、38、40、42、35、45、38，则这八位女生的体重的中位数为_____kg．
14．将代入函数中，所得函数值记为，又将代入函数中，所得的函数值记为，再将代入函数中，所得函数值记为…，继续下去．________；________；________；________．
15．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积
为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；
取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；
如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为_________________．
16．有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接：
方式1：如图1；
方式2：如图2；

若有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是_______.有个边长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若得图案的外轮廓的周长为18，则的最大值为__________．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，，点E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求证：≌；
（2）当时，求四边形AECF的面积．

18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ADE～△ABC；
（2）当AC＝8，BC＝6时，求DE的长．

19．（8分）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

20．（8分）（（1）计算：；
（2）先化简，再求值：
，其中a=．
21．（8分）计算：﹣3tan30°．
22．（10分）某中学采用随机的方式对学生掌握安全知识的情况进行测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请根据有关信息解答：

(1)接受测评的学生共有________人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为________°，并补全条形统计图；
(2)若该校共有学生1200人，请估计该校对安全知识达到“良”程度的人数；
(3)测评成绩前五名的学生恰好3个女生和2个男生，现从中随机抽取2人参加市安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出抽到1个男生和1个女生的概率．
23．（12分）已知四边形ABCD为正方形，E是BC的中点，连接AE，过点A作∠AFD，使∠AFD=2∠EAB，AF交CD于点F，如图①，易证：AF=CD+CF．
（1）如图②，当四边形ABCD为矩形时，其他条件不变，线段AF，CD，CF之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明；
（2）如图③，当四边形ABCD为平行四边形时，其他条件不变，线段AF，CD，CF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

图① 图② 图③
24．某校为了解本校九年级男生体育测试中跳绳成绩的情况，随机抽取该校九年级若干名男生，调查他们的跳绳成绩（次/分），按成绩分成，，，，五个等级．将所得数据绘制成如下统计图．根据图中信息，解答下列问题：
该校被抽取的男生跳绳成绩频数分布直方图

（1）本次调查中，男生的跳绳成绩的中位数在________等级；
（2）若该校九年级共有男生400人，估计该校九年级男生跳绳成绩是等级的人数．
参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解析】
解：∵AB∥CD，∴∠1=∠BAE=48°．∵CF=EF，∴∠C=∠E．∵∠1=∠C+∠E，∴∠C=∠1=×48°=24°．故选D．

点睛：本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
2、B
【解析】
由三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点，
∴DE=AC=4.1，DF=BC=4，EF=AB=1，
∴△DEF的周长=（AB+BC+AC）=×（10+8+9）=13.1．
故选B．
考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
3、B
【解析】
直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．
【详解】
在实数|-3|，-1，0，π中，
|-3|=3，则-1＜0＜|-3|＜π，
故最小的数是：-1．
故选B．
此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键．
4、A
【解析】
解：的倒数是．
故选A．
本题考查倒数，掌握概念正确计算是解题关键．
5、C
【解析】
根据统计图，利用众数与中位数的概念即可得出答案．
【详解】
从统计图中可以得出这一周的气温分别是：12,15,14,10,13,14,11
所以众数为14；
将气温按从低到高的顺序排列为：10,11,12,13,14,14,15
所以中位数为13
故选：C．
本题主要考查中位数和众数，掌握中位数和众数的求法是解题的关键．
6、B
【解析】
根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，由此即可解答．
【详解】
∵图1中阴影部分的面积为：（a﹣b）2；图2中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2；
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故选B．
本题考查了完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．
7、A
【解析】
根据绝对值和数的0次幂的概念作答即可.
【详解】
原式=1+1=2
故答案为：A.
本题考查的知识点是绝对值和数的0次幂，解题关键是熟记数的0次幂为1.
8、D
【解析】
解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD．

∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB；
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
∴CM=CN，
则△CBM≌△CDN，（HL）
∴S四边形BCDG=S四边形CMGN．
S四边形CMGN=1S△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=CG，CM=CG，
∴S四边形CMGN=1S△CMG=1××CG×CG=CG1．

③过点F作FP∥AE于P点．
∵AF=1FD，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=1AE，
∴FP：BE=1：6=FG：BG，
即 BG=6GF．
故选D．
9、D
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分AB可能为底，可能是腰进行分析．
解：使△ABC是等腰三角形，
当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．
当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．
当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．
所以共8个．
故选D．

点评：本题考查了等腰三角形的判定；解题的关键是要分情况而定，所以学生一定要思维严密，不可遗漏．
10、A
【解析】
分析：根据翻折的性质得出∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，进而得出∠DOF=∠A+∠B，利用三角形内角和解答即可．
详解：∵将△ABC沿DE，EF翻折，∴∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=142°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣142°=38°．
故选A．
点睛：本题考查了三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、
【解析】
首先利用平行四边形法则，求得的值，再由BD=2CD，求得的值，即可求得的值．
【详解】
∵，，
∴=-=-，
∵BD=2CD，
∴==，
∴=+==．

故答案为．
12、（，）
【解析】
根据相似三角形的性质求出相似比，根据位似变换的性质计算即可．
【详解】
解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，要使△DEF的面积是△ABC面积的5倍，
则△DEF的边长是△ABC边长的倍，
∴点F的坐标为（1×，×），即（，），
故答案为：（，）．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
13、1
【解析】
根据中位数的定义，结合图表信息解答即可．
【详解】
将这八位女生的体重重新排列为：35、36、38、38、40、42、42、45，
则这八位女生的体重的中位数为=1kg，
故答案为1．
本题考查了中位数，确定中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据个数是奇数或偶数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数有时不一定是这组数据的数．
14、 2 2
【解析】
根据数量关系分别求出y1，y2，y3，y4，…，不难发现，每3次计算为一个循环组依次循环，用2006除以3，根据商和余数的情况确定y2006的值即可．
【详解】
y1=，
y2=−=2，
y3=−=，
y4=−=，
…，
∴每3次计算为一个循环组依次循环，
∵2006÷3=668余2，
∴y2006为第669循环组的第2次计算，与y2的值相同，
∴y2006=2，
故答案为；2；；2.
本题考查反比例函数的定义，解题的关键是多运算找规律.
15、
【解析】
∵正六角星形A2F2B2D2C2E2边长是正六角星形A1F1B1D1C1E边长的，
∴正六角星形A2F2B2D2C2E2面积是正六角星形A1F1B1D1C1E面积的．
同理∵正六角星形A4F4B4D4C4E4边长是正六角星形A1F1B1D1C1E边长的，
∴正六角星形A4F4B4D4C4E4面积是正六角星形A1F1B1D1C1E面积的．
16、18 1
【解析】
有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，利用4n+2的规律计算；把六个正六边形围着一个正六边按照方式2进行拼接可使周长为8，六边形的个数最多．
【详解】
解：有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长为4×4+2=18；
按下图拼接，图案的外轮廓的周长为18，此时正六边形的个数最多，即n的最大值为1．

故答案为：18；1．
本题考查了正多边形和圆，以及图形的变化类规律总结问题，根据题意，得出规律是解决此题的关键．

三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，BC=AD，∠B=∠D，求出BE=DF，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）求出△ABE是等边三角形，求出高AH的长，再求出面积即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∵点E、F分别是BC、AD的中点，
∴，，
∴，
在和中
，
∴≌（）；
（2）作于H，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵点E、F分别是BC、AD的中点，，
∴，，
∴，，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵，
∴四边形AECF是菱形，
∴，
∵，
∴，
即是等边三角形，
，
由勾股定理得：，
∴四边形AECF的面积是．
本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
18、（1）见解析;（2）．
【解析】
（1）根据两角对应相等，两三角形相似即可判定；
（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】
（1）∵DE⊥AB，∴∠AED=∠C=90°．
∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB．
（2）在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，∴AB1．
∵DE垂直平分AB，∴AE=EB=2．
∵△AED∽△ACB，∴，∴，∴DE．
本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
19、
【解析】
过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，先解Rt△PBD，得出BD=PD•tan26.6°；解Rt△CBD，得出CD=PD•tan37°；再根据CD﹣BD=BC，列出方程，求出PD=2，进而求出PE=4，AE=5，然后在△APE中利用三角函数的定义即可求解．
【详解】
解：如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．

在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，
∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°．
在Rt△CBD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=37°，
∴CD=PD•tan∠CPD=PD•tan37°．
∵CD﹣BD=BC，∴PD•tan37°﹣PD•tan26.6°=1．
∴0.75PD﹣0.50PD=1，解得PD=2．
∴BD=PD•tan26.6°≈2×0.50=3．
∵OB=220，∴PE=OD=OB﹣BD=4．
∵OE=PD=2，∴AE=OE﹣OA=2﹣200=5．
∴．
20、（1）2016；（2）a（a﹣2），．
【解析】
试题分析：（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值、绝对值的性质及数的开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．
试题解析：（1）原式==2016；
（2）原式====a（a﹣2），
当a=时，原式==．
21、1.
【解析】
直接利用零指数幂的性质、绝对值的性质和负整数指数幂的性质及特殊角三角函数值分别化简得出答案．
【详解】
﹣3tan30°
=4+﹣1﹣1﹣3×
=1．
此题主要考查了实数运算及特殊角三角函数值，正确化简各数是解题关键．
22、 (1)80，135°，条形统计图见解析；(2)825人；（3）图表见解析，（抽到1男1女）．
【解析】
试题分析：(1)、根据“中”的人数和百分比得出总人数，然后求出优所占的百分比，得出圆心角的度数；(2)、根据题意得出“良”和“优”两种所占的百分比，从而得出全校的总数；(3)、根据题意利用列表法或者树状图法画出所有可能出现的情况，然后根据概率的计算法则求出概率.
试题解析：(1)80，135°； 条形统计图如图所示

(2)该校对安全知识达到“良”程度的人数：（人）
（3）解法一：列表如下:
所有等可能的结果为20种，其中抽到一男一女的为12种，
所以（抽到1男1女）．

女1
女2
女3
男1
男2
女1
---
女2女1
女3女1
男1女1
男2女1
女2
女1女2
---
女3女2
男1女2
男2女2
女3
女1女3
女2女3
---
男1女3
男2女3
男1
女1男1
女2男1
女3男1
---
男2男1
男2
女1男2
女2男2
女3男2
男1男2
---
解法二：画树状图如下:

所有等可能的结果为20种，其中抽到一男一女的为12种，
所以（抽到1男1女）．
23、（1）图②结论：AF=CD+CF. （2）图③结论：AF=CD+CF.
【解析】
试题分析：（1）作，的延长线交于点.证三角形全等，进而通过全等三角形的对应边相等验证之间的关系；
（2）延长交的延长线于点由全等三角形的对应边相等验证关系.
试题解析：（1）图②结论：
证明：作，的延长线交于点.

∵四边形是矩形，

由是中点，可证≌

（2）图③结论：
延长交的延长线于点如图所示

因为四边形是平行四边形
所以//且,
因为为的中点，所以也是的中点，
所以
又因为

所以
又因为
所以≌
所以
因为

24、（1）C;(2)100
【解析】
（1）根据中位数的定义即可作出判断；
（2）先算出样本中C等级的百分比，再用总数乘以400即可.
【详解】
解：（1）由直方图中可知数据总数为40个，第20，21个数据的平均数为本组数据的中位数，第20，21个数据的等级都是C等级，故本次调查中，男生的跳绳成绩的中位数在C等级；
故答案为C.
（2）400 =100（人）
答：估计该校九年级男生跳绳成绩是等级的人数有100人.
本题考查了中位数的求法和用样本数估计总体数据，理解相关知识是解题的关键.