江西省宁都县重点中学2026届初三第一次综合测试数学试题试卷含解析.doc

江西省宁都县重点中学2026届初三第一次综合测试数学试题试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．若一次函数y＝（2m﹣3）x﹣1+m的图象不经过第三象限，则m的取值范图是（　　）
A．1＜m＜ B．1≤m＜ C．1＜m≤ D．1≤m≤
2．钟鼎文是我国古代的一种文字，是铸刻在殷周青铜器上的铭文，下列钟鼎文中，不是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
3．如图，圆O是等边三角形内切圆，则∠BOC的度数是（　　）

A．60° B．100° C．110° D．120°
4．一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，1，85，1．关于这组数据说法错误的是（　　）
A．极差是20 B．中位数是91 C．众数是1 D．平均数是91
5．下列说法正确的是（　 　）
A．“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有一次正面朝上
C．“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖
D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近
6．直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOD，点P在射线OM上（点P与点O不重合），如果以点P为圆心的圆与直线AB相离，那么圆P与直线CD的位置关系是（　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
7．多项式4a﹣a3分解因式的结果是（　　）
A．a（4﹣a2） B．a（2﹣a）（2+a） C．a（a﹣2）（a+2） D．a（2﹣a）2
8．估计的运算结果应在哪个两个连续自然数之间（　　）
A．﹣2和﹣1 B．﹣3和﹣2 C．﹣4和﹣3 D．﹣5和﹣4
9．在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）

A． B．
C． D．
10．在0，π，﹣3，0.6，这5个实数中，无理数的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．如果正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是 __．
12．有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是_______.

13．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为_____．

14．在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为_____．
15．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为_____．

16．分解因式：3x2-6x+3=__．
17．如图，在ABC中，AB=AC=6，∠BAC=90°，点D、E为BC边上的两点，分别沿AD、AE折叠，B、C两点重合于点F，若DE=5，则AD的长为_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．
已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E在边BC上，且∠DAE＝α．
（1）如图1，当α＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连接DF，
①求∠DAF的度数；
②求证：△ADE≌△ADF；
（2）如图2，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当α＝120°，BD＝4，CE＝5时，请直接写出DE的长为　 　．

19．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点E．求证：FC=2BF．

20．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．

21．（10分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是　 　；
（3）△A2B2C2的面积是　 　平方单位．

22．（10分）如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x＋b的图象交于A(1，8)，B(－4，m)．求k1，k2，b的值；求△AOB的面积；若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数y＝的图象上的两点，且x1<x2，y1<y2，指出点M，N各位于哪个象限，并简要说明理由．

23．（12分）如图所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC的延长线交BD于点P．
（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD，CE的关系是　 　（选填“相等”或“不相等”）；简要说明理由；
（2）若AB=3，AD=5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC=90°时，在图2中作出旋转后的图形，PD=　 　，简要说明计算过程；
（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为　 　，最大值为　 　．

24．（14分）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求方程的解集（请直接写出答案）．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、B
【解析】
根据一次函数的性质，根据不等式组即可解决问题；
【详解】
∵一次函数y=（2m-3）x-1+m的图象不经过第三象限，
∴，
解得1≤m＜．
故选：B．
本题考查一次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
2、A
【解析】
根据轴对称图形的概念求解．
解：根据轴对称图形的概念可知：B，C，D是轴对称图形，A不是轴对称图形，
故选A．
“点睛”本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3、D
【解析】
由三角形内切定义可知OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，所以可得到关系式∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入即可求得∠BOC的值．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵圆O是等边三角形内切圆，
∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣60°）=60°，
∴∠BOC=180°﹣60=120°，
故选D．
此题主要考查了三角形的内切圆与内心以及切线的性质．关键是要知道关系式∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）．
4、D
【解析】
试题分析：因为极差为：1﹣78=20,所以A选项正确;
从小到大排列为：78,85,91,1,1，中位数为91，所以B选项正确；
因为1出现了两次,最多,所以众数是1，所以C选项正确；
因为，所以D选项错误.
故选D．
考点：①众数②中位数③平均数④极差.
5、D
【解析】
根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案．
【详解】
解：A. “明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性较大，故A不符合题意；
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每次抛正面朝上的概率都是，故B不符合题意；
C. “彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票有可能中奖．故C不符合题意；
D. “抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近，故D符合题意；
故选D
本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
6、A
【解析】
根据角平分线的性质和点与直线的位置关系解答即可．
【详解】
解：如图所示；

∵OM平分∠AOD，以点P为圆心的圆与直线AB相离，
∴以点P为圆心的圆与直线CD相离，
故选：A．
此题考查直线与圆的位置关系，关键是根据角平分线的性质解答．
7、B
【解析】
首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】
4a﹣a3=a（4﹣a2）=a（2﹣a）（2+a）．
故选：B．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
8、C
【解析】
根据二次根式的性质，可化简得=﹣3=﹣2，然后根据二次根式的估算，由3＜2＜4可知﹣2在﹣4和﹣3之间．
故选C．
点睛：此题主要考查了二次根式的化简和估算，关键是根据二次根式的性质化简计算，再二次根式的估算方法求解.
9、B
【解析】
根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程.
【详解】
由题意，设金色纸边的宽为，
得出方程：（80+2x）（50+2x）=5400，
整理后得：
故选：B.
本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键.
10、B
【解析】
分别根据无理数、有理数的定义逐一判断即可得．
【详解】
解：在0，π，-3，0.6，这5个实数中，无理数有π、这2个，
故选B．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、k>1
【解析】
根据正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限得出k的取值范围即可．
【详解】
因为正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限，
所以k-1＞0，
解得：k＞1，
故答案为：k＞1．
此题考查一次函数问题，关键是根据正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限解答．
12、小林
【解析】
观察图形可知，小林的成绩波动比较大，故小林是新手．
故答案是：小林．
13、
【解析】
由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论．
【详解】
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴
∴S阴影=S△OAB-S扇形OMN=
故答案为
考查不规则图形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键.
14、3
【解析】
≈3.317，且在3和4之间，∵3.317-3=0.317，4-3.317=0.683，
且0.683＞0.317，∴距离整数点3最近．
15、．
【解析】
根据共走了45米，每次前进5米且左转的角度相同，则可计算出该正多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度．
【详解】
连续左转后形成的正多边形边数为：，
则左转的角度是．
故答案是：．
本题考查了多边形的外角计算，正确理解多边形的外角和是360°是关键．
16、3(x-1)2
【解析】
先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】
.
故答案是：3(x-1)2.
考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
17、或
【解析】
过点A作AG⊥BC，垂足为G，根据等腰直角三角形的性质可得AG=BG=CG=6，设BD=x，则DF=BD=x，EF=7-x，然后利用勾股定理可得到关于x的方程，从而求得DG的长，继而可求得AD的长.
【详解】
如图所示，过点A作AG⊥BC，垂足为G，
∵AB=AC=6，∠BAC=90°，
∴BC==12，
∵AB=AC，AG⊥BC，
∴AG=BG=CG=6，
设BD=x，则EC=12-DE-BD=12-5-x=7-x，
由翻折的性质可知：∠DFA=∠B=∠C=∠AFE=45°，DB=DF，EF=FC，
∴DF=x，EF=7-x，
在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2，即25=x2+(7-x)2，
解得：x=3或x=4，
当BD=3时，DG=3，AD=，
当BD=4时，DG=2，AD=，
∴AD的长为或，
故答案为：或.

本题考查了翻折的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，正确添加辅助线，灵活运用勾股定理是解题的关键.

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）①30°②见解析（2）BD2+CE2＝DE2（3）
【解析】
（1）①利用旋转的性质得出∠FAB=∠CAE，再用角的和即可得出结论；②利用SAS判断出△ADE≌△ADF，即可得出结论；
（2）先判断出BF=CE，∠ABF=∠ACB，再判断出∠DBF=90°，即可得出结论；
（3）同（2）的方法判断出∠DBF=60°，再用含30度角的直角三角形求出BM，FM，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：（1）①由旋转得，∠FAB＝∠CAE，
∵∠BAD+∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°；
②由旋转知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，
∴∠BAF+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝∠DAE，
在△ADE和△ADF中，，
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
（2）BD2+CE2＝DE2，
理由：如图2，将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置，连接DF，
∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACB，
由（1）知，△ADE≌△ADF，
∴DE＝DF，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠DBF＝∠ABC+∠ABF＝∠ABC+∠ACB＝90°，
根据勾股定理得，BD2+BF2＝DF2，
即：BD2+CE2＝DE2；
（3）如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置，连接DF，
∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACB，
由（1）知，△ADE≌△ADF，
∴DE＝DF，BF＝CE＝5，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠DBF＝∠ABC+∠ABF＝∠ABC+∠ACB＝60°，
过点F作FM⊥BC于M，
在Rt△BMF中，∠BFM＝90°﹣∠DBF＝30°，
BF＝5，
∴，
∵BD＝4，
∴DM＝BD﹣BM＝，
根据勾股定理得， ，
∴DE＝DF＝，
故答案为．

此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，构造全等三角形和直角三角形是解本题的关键．
19、见解析
【解析】
连接AF，结合条件可得到∠B=∠C=30°，∠AFC=60°，再利用含30°直角三角形的性质可得到AF=BF=CF，可证得结论．
【详解】
证明：连接AF，

∵EF为AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
又AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=∠BAF=30°，
∴∠FAC=90°，
∴AF=FC，
∴FC=2BF．
本题主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
20、（2）证明见解析；（2）四边形EBFD是矩形．理由见解析.
【解析】
分析：（1）根据SAS即可证明；
（2）首先证明四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
在△DEO和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF．
（2）结论：四边形EBFD是矩形．
理由：∵OD=OB，OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BD=EF，
∴四边形EBFD是矩形．

点睛：本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21、（1）（2，﹣2）；
（2）（1，0）；
（3）1．

【解析】
试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．
试题解析：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；
故答案为（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）；
故答案为（1，0）；
（3）∵=20，=20，=40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：××=1平方单位．
故答案为1．

考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理
22、 (1) k1＝1，b＝6(1)15(3)点M在第三象限，点N在第一象限
【解析】
试题分析：（1）把A（1，8）代入求得=8，把B（-4，m）代入求得m=-1，把A（1，8）、B（-4，-1）代入求得、b的值；（1）设直线y=1x+6与x轴的交点为C，可求得OC的长，根据S△ABC=S△AOC+S△BOC即可求得△AOB的面积；（3）由＜可知有三种情况，①点M、N在第三象限的分支上，②点M、N在第一象限的分支上，③ M在第三象限，点N在第一象限，分类讨论把不合题意的舍去即可．
试题解析：解：（1）把A（1，8）， B（-4，m）分别代入，得=8，m=-1．
∵A（1，8）、B（-4，-1）在图象上，
∴，
解得，．
（1）设直线y=1x+6与x轴的交点为C，当y=0时，x=-3，
∴OC=3
∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=
（3）点M在第三象限，点N在第一象限．
①若＜＜0，点M、N在第三象限的分支上，则＞，不合题意；
②若0＜＜，点M、N在第一象限的分支上，则＞，不合题意；
③若＜0＜，M在第三象限，点N在第一象限，则＜0＜，符合题意．
考点：反比例函数与一次函数的交点坐标；用待定系数法求函数表达式；反比例函数的性质．
23、（1）BD，CE的关系是相等；（2）或；（3）1，1
【解析】
分析：（1）依据△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，即可BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，进而得到△ABD≌△ACE，可得出BD=CE；
（2）分两种情况：依据∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，可得△PCD∽△ACE，即可得到=，进而得到PD=；依据∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，可得△BAD∽△BPE，即可得到，进而得出PB=，PD=BD+PB=；
（3）以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A右上方与⊙A相切时，PD的值最大．在Rt△PED中，PD=DE•sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．分两种情况进行讨论，即可得到旋转过程中线段PD的最小值以及最大值．
详解：（1）BD，CE的关系是相等．
理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE；
故答案为相等．
（2）作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：

∵∠EAC=90°，
∴CE=，
∵∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，
∴△PCD∽△ACE，
∴，
∴PD=；
若点B在AE上，如图2所示：

∵∠BAD=90°，
∴Rt△ABD中，BD=，BE=AE﹣AB=2，
∵∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，
∴△BAD∽△BPE，
∴，即，
解得PB=，
∴PD=BD+PB=+=，
故答案为或；
（3）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A右上方与⊙A相切时，PD的值最大．
如图3所示，分两种情况讨论：

在Rt△PED中，PD=DE•sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．
①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时，
在Rt△ACE中，CE==4，
在Rt△DAE中，DE=，
∵四边形ACPB是正方形，
∴PC=AB=3，
∴PE=3+4=1，
在Rt△PDE中，PD=，
即旋转过程中线段PD的最小值为1；
②当小三角形旋转到图中△AB'C'时，可得DP'为最大值，
此时，DP'=4+3=1，
即旋转过程中线段PD的最大值为1．
故答案为1，1．
点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题．
24、（1）y=﹣，y=﹣x﹣2（2）3（3）﹣4＜x＜0或x＞2
【解析】
试题分析：（1）将B坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；将A坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）对于直线AB，令y=0求出x的值，即可确定出C坐标，三角形AOB面积=三角形AOC面积+三角形BOC面积，求出即可；
（3）由两函数交点A与B的横坐标，利用图象即可求出所求不等式的解集．
试题解析：（1）∵B（2，﹣4）在y=上，
∴m=﹣1．
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
∵点A（﹣4，n）在y=﹣上，
∴n=2．
∴A（﹣4，2）．
∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），
∴，
解之得．
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2．
（2）∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y=0时，x=﹣2．
∴点C（﹣2，0）．
∴OC=2．
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×2+×2×4=3．
（3）不等式的解集为：﹣4＜x＜0或x＞2．