第八章-非线性系统.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,自动控制原理,自动控制原理,自动控制原理,自动控制原理,第八章 非线性控制系统,Nonlinear Control System,内容提要,8.1,概述,8.2,相平面图,8.3,奇点和极限环,8.4,非线性系统的相平面图分析,8.5,非线性特性的描述函数,8.6,用描述函数分析非线性系统,8.1,概述,典型非线性特性,非线性系统的运动特点,非线性系统的研究方法,一、典型非线性特性,(,一,),饱和非线性,(Saturation nonlinear),输入,近似饱和特性,输出,实际饱和特性,M,-,M,t,-t,0,输入,0,输出,K,K,h,-h,(,二,),死区非线性,(Dead zone nonlinear),一、典型非线性特性,(,三,),间隙非线性,(Backlash nonlinear),0,输入,输出,K,b,-b,一、典型非线性特性,(,四,),继电器型非线性,输入,输出,M,-M,0,(a),输出,M,-M,0,h,-h,输入,(b),输入,输出,M,-M,0,h,-h,(c),输出,M,-M,0,mh,-,mh,输入,h,-h,(d),(On-off nonlinear),当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非,线性系统。一般地，非线性系统的数学模型可以表示为,其中,f(0),和,g(0),为非线性函数。当非线性程度不严重时，可以忽略非线性特性的影响，从而可将非线性环节视为线性环节；当系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围时，可运用小偏差法将非线性模型线性化。注意，对于,非线性程度比较严重,，,且系统工作范围较大的非线性系统,，只有使用,非线性的分析和设计方法,，才能得到较为正确的结果。要对系统进行高性能和高精度的控制，必须针对非线性系统的数学模型，采用非线性控制理论进行研究。此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制，还必须考虑,非线性控制器的设计,。例如，为了获得最短时间控制，需对执行机构采用继电控制，使其始终工作在最大电压或最大功率下，充分发挥其调节能力；这了兼顾系统的响应速率和稳态精度，需使用变增益控制器。非线性特性千差万别，对于非线性系统，目前还没有统一的且普遍适用的处理方法。线性系统是非线性系统的特例，线性系统分析和设计方法在非线性控制系统的研究中仍将发挥非常重要的作用,二、非线性系统的运动特点,(,一,),稳定性,与系统的结构和参数及系统的输入信号和初始条件有关。,研究时应注意：,1,、系统的初始条件；,2,、系统的平衡状态。,二、非线性系统的运动特点,t,E,0,e,(,t,),(,二,),系统的零输入响应形式,某些非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态有关。,非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。,二、非线性系统的运动特点,(,三,),极限环（自激振荡）,e,(,t,),频率,0,振幅,K,0,K,K,=0,K,非线性弹簧,M,重物,粘性阻尼器,B,系统微分方程：,M,+,B,+,Kx,+,x =,0,K,3,x,.,.,x,.,(,四,),频率响应,系统进行强迫振荡实验时的微分方程是：,M,+,B,+,Kx,+,x =,P,cos,w,t,K,3,x,.,.,x,.,频率响应,具有硬弹簧的机械系统,0,0,x,1,2,3,4,6,5,K,0,具有软弹簧的机械系统,0,4,0,x,5,1,3,2,6,K,0,x,.,0,且,a,2,-4b0,，两个实部为负的共轭复根，相轨迹奇点为稳定的焦点。,（,2,）,a0,且,a,2,-4b0,且,a,2,-4b0,两个负实根，相轨迹奇点为稳定的节点。,（,4,）,a0,且,a,2,-4b,0,两个正实根，相轨迹奇点为不稳定的节点。,（,5,）,a=0,，一对虚根，相轨迹奇点为中心点。,（,6,）,b0,m,=,M,，,系统方程为：,在区域,内,T,+=,KM,e,.,.,e,.,e,0,m,=,-,M,系统方程为：,与,T,+=,-,KM,e,.,.,e,.,其相平面图,对称于原点,比较,M,-M,-,e,m,若继电元件有滞环特性,在 ,0,时的平面内，分界线为,e,=+D,。,在 ,0,时的平面内，分界线为,e,=-D,。,它们把相平面分为两部分。,e,&,e,&,e,e,.,其右半平面，系统在,+,M,信号作用下，,系统方程为：,T,+=,-,KM,e,.,.,e,.,相轨迹为曲线族,。,其左半平面，系统在,-,M,信号作用下，,系统方程为：,T,+=,KM,e,.,.,e,.,相轨迹为曲线族,。,M,-M,-,e,m,若继电元件有死区,当,e,D,m,=+,M,当,e,-D,m,=-,M,当,-D,e,D,m,=,0,元件特性为：,分界线为,e,=+D,和,e,=-D,，,它们将相平面分为三个区域,e,e,.,在区域,内,T,+=,-,KM,e,.,.,e,.,在区域,内,T,+=,KM,e,.,.,e,.,在区域,内,T,+=0,e,.,.,e,.,相轨迹斜率为：,8.3,非线性特性的描述函数,一、谐波线性化,描述函数,(describing function),是对非线性特性在正弦信号作用下的输出，进行谐波线性化处理之后得到的，表达形式上类似于线性理论中的幅相频率特性。,描述函数法对系统的基本假设是：,1,、可归化为下图所示的典型结构。,2,、非线性部分输出中的高次谐波振 幅小于基波振幅。,3,、线性部分的低通滤波效应较好。,非线性特性,G,输入信号,x,(,t,),=,A,sin,w,t,0,3,5,7,Y,方波信号的富里叶级数,M,x,y,0,y,M,0,2,t,0,2,t,x,推广到一般情况，设输出信号可以表示为富氏级数形式,:,式中,若非线性特性具有奇对称特性，则,A,0,=,0,式中,二、描述函数,(describing function),非线性元件输出信号,y,(,t,),中的一次谐波分量,y,1,(,t,),与正弦输入信号,x,(,t,),的复数比，称为非线性元件的,描述函数,(describing function),，,其数学表达式为,式中：,A,为非线性元件正弦输入信号的振幅；,Y,1,为非线性元件正弦输入信号中一次谐波分量的振幅；,f,1,为非线性元件正弦输入信号中一次谐波分量的角位移。,三、典型非线性特性的描述函数,(,一,),饱和非线性,输出,y,(,t,),k,输入,x,(,t,),s,-s,0,2,0,-,1,1,x,(,t,),X,t,x,(,t,),=,X,sin,w,t,2,0,1,-,1,ks,y,(,t,),t,y,(,t,),y,1,(,t,),=,Y,1,sin,w,t,饱和非线性输出,由于饱和非线性是原点单值奇对称,所以，,A,0,=,0,，,A,1,=,0,从图中可得,饱和非线性,的,描述函数,为,0,x,(,t,),X,2,-,1,1,t,x,(,t,),=,X,sin,w,t,输出,y,(,t,),k,输入,x,(,t,),0,-,k,2,0,1,-,1,y,(,t,),t,y,(,t,),y,1,(,t,),=,Y,1,sin,w,t,(,二,),死区非线性,非线性的输出,死区非线性,的,描述函数,为,mh,M,-M,-,mh,h,-h,y,(,t,),x,(,t,),0,2,0,x,(,t,),X,t,x,(,t,),=,X,sin,w,t,j,3,j,1,j,2,j,4,2,y,(,t,),t,y,(,t,),y,1,(,t,),=,Y,1,sin(,w,t,+,j,1,),0,j,3,j,4,j,2,j,1,(,三,),具有死区和滞环的继电器型非线性,非线性的输出,式中：,由于具有死区和滞环的继电器特性是对原点多值奇对称，它在正弦输入作用下的输出量,y,(,t,),既不是奇函数又不偶函数，所以,A,1,和,B,1,都必须计算，但,A,0,=,0,于是具有死区和滞环继电器的描述函数为,8.6,用描述函数分析非线性函数,非线性系统的典型结构,非线性系统的稳定性分析,非线性系统自激振荡的稳定性分析,非线性系统结构图的简化,对非线性系统进行分析，首先考虑的是稳定性和自激振荡问题。,描述函数法对于系统的稳定性、产生自激振荡的条件、自激振荡的振幅和频率的确定、以及如何抑制自激振荡等问题，都能够给出比较符合实际的解答。,一、非线性系统的典型结构,一个非线性环节的描述函数只是表示了该环节在正弦输入下，环节输出的一次谐波分量与输入的关系。,如果这个系统发生了自激振荡，我们总可以假定非线性环节输入端的振荡是接近于正弦波的形式。,如图所表示的非线性控制系统，其中,G,代表系统的线性部分。,非线性特性,G,二、非线性系统的稳定性分析,若已知系统中非线性特性的描述函数,N,(,X,),和线性部分的频率特性,G,(,j,w,),，,则系统的特征方程为,1,+,N,(,X,),G,(,j,w,),=,0,或,N,(,X,),G,(,j,w,),=-,1,可改写为,G,(,j,w,),=,N,(,X,),-,1,线性系统的特征方程为,G,(,j,w,),=-,1,根据复平面内系统的开环频率特性,G,(,j,w,),曲线与临界点,(,-,1,，,j,0),的相对位置，应用乃奎斯特,(,Nyquist,),稳定判据，可以分析线性控制系统的稳定性。,在同一复平面内画以,w,为参变量的系统线性部分的频率特性,G,(,j,w,),曲线和以,X,为参变量的非线性特性的负倒描述函数,-,1/,N,(,X,),曲线，根据两者的相对位置，应用乃奎斯稳定性判据，可以分析谐波线性化后非线性系统零平衡状态的稳定性。,可以把乃奎斯特稳定判据，推广应用于谐波线性化的非线性系统，需要修改的仅仅是将复平面内的临界点,(,-,1,，,j,0),扩展为临界曲线,-1/,N,(,X,),曲线。,利用乃奎斯特稳定性判据，,如果,-,1/,N,(,X,),曲线不被,G,(,j,w,),曲线包围，则系统的零平衡状态是稳定的。,=0,+,X,Re,Im,G,(,j,w,),=0,-1,N,(,X,),(a),0,如果,-,1/,N,(,X,),曲线被,G,(,j,w,),曲线全部包围或部分包围,，,则系统状态在干扰作用下，不能回到零平衡状态，所以系统就是不稳定的。,X,0,Re,Im,G,(,j,w,),=0,-1,N,(,X,),(b),A,A,=0,+,0,Re,Im,G,(,j,w,),=0,X,-1,N,(,X,),A,B,B,B,(c),三、非线性系统自激振荡的分析,如果非线系统的负倒描述函数,-,1/,N,(,X,),曲线与线性部分频率特性,G,(,j,w,),曲线相交,，,交点处的参数,振幅,X,i,和频率,w,i,使系统的特征方程成立，非线性系统可能产生,X,i,sin,w,i,t,的自激振荡。,A,A,=0,+,0,Re,Im,G,(,j,w,),=0,X,-1,N,(,X,),A,B,B,B,(c),在复平面内,G,(,j,w,),曲线与,-,1/,N,(,X,),曲线有交点，在交点处，沿,A,增加的方向,-,1/,N,(,X,),曲线由不稳定区进入稳定区，,则该交点处的代表的是稳定周期运动（自激振荡）；反之，,该交点处的代表的是不稳定周期运动。,分析非线性系统自激振荡稳定性的判据为：,例,8.4,解：,X,=0,+,0,Re,Im,G,(,j,w,),=0,-2,-1,N,(,X,),8,M,=1,X=,4,s,(,s+,1),2,M,-,M,y,(,t,),x,(,t,),-x,(,t,),0,作,G(jw,),和,-1/N(A),如右图所示,.,在交点处，沿,A,增加的方向,-1/,N,(,X,),曲线由不稳定区进入稳定区,故存在自振,.,令,G,(,j,w,),的虚部为零,求得交点处的频率,w,1,-,w,2,=,0,代入,G,(,j,w,),的表达式，得,w,=,1(,弧度,/,秒,),交点处的参数应满足,即,自激振荡的参数为,A,=,8,M,/,p,，,w,=,1,。,A,=,8,M,/,p,M,-,M,x,(,t,),4,s,(,s+,1),2,y,(,t,),-x,(,t,),-,h,h,M,=1,h,=0.6,例,8.5,解,作,G(jw,),和,-1/N(A),如右图所示,.,由,得到,:,w,G,(,j,w,),-2,X,=0.618,=1,X,=2.46,=1,-0.948,0,Re,Im,-1,N,(,X,),X,X,当,A,1,=0.618,时,在交点处，沿,A,增加的方向,-1/,N,(,X,),曲线由稳定区进入不稳定区,故不存在自振,.,当,A,2,=2.46,时,交点处，沿,A,增加的方向,-1/,N,(,X,),曲线由不稳定区进入稳定区,故存在自振,.,所以,:,自振参数,:A=2.46,w,=,1,四、非线性系统结构图的简化,为了应用描述函数法分析系统的稳定性及自激振荡，需要将实际系统的各种结构形式归化为典型结构。,在讨论自激振荡时，只研究系统内部的周期运动，并不考虑外部作用。因此，在将结构图归化时，可以认为所有外作用均为零。,e,N,1,N,2,G,c,两个非线性部件并联的系统,在结构归化时，可以将两个非线性特性进行叠加，对叠加的特性求其描述函数,N,(,X,),。,也可以先求各非线性的描述函数,N,1,(,X,),和,N,2,(,X,),并联非线性特性的描述函数则为,N,(,X,),=,N,1,(,X,),+,N,2,(,X,),。,M,S,y,x,M,S,K,h,x,y,当两个非线性环节串联时，则先将两个环节的特性等效为一个特性，然后求总描述函数,N,(,X,),。,应当注意，调换串联的前后次序，等效特性将会不同。因此不能随便更动位置，这一点是与线性环节串联有所区别的。,本章,小结,介绍了非线性系统的特点，,不满足叠加原理；,非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件及外输入有关；,描述函数法,基于谐波分析,相平面法,基于图解,