北京工大附中2026届高考适应性月考卷（三）数学试题含解析.doc

北京工大附中2026届高考适应性月考卷（三）数学试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．6
3．在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．若，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B． C．13 D．
6．半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知且，函数，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知复数z满足,则在复平面上对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1
10．若单位向量，夹角为，，且，则实数（ ）
A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－1
11．已知复数满足（其中为的共轭复数），则的值为( )
A．1 B．2 C． D．
12．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：

根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于E点，若满足，且，则椭圆C的离心率为______.
14．已知函数的最小值为2，则_________．
15．若随机变量的分布列如表所示，则______，______．

-1
0
1

16．已知函数若关于的不等式的解集为，则实数的所有可能值之和为_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．
18．（12分）已知函数，，设．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设方程（其中为常数）的两根分别为，，证明：．
（注：是的导函数）
19．（12分）如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）已知；.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为真命题且为假命题，求实数的取值范围.
21．（12分）数列满足，是与的等差中项.
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
22．（10分）已知函数 ，
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，判断函数，（）有几个零点，并证明你的结论；
（3）设函数，若函数在为增函数，求实数的取值范围．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
先求导得（），由于函数有两个不同的极值点，，转化为方程有两个不相等的正实数根，根据，，，求出的取值范围，而有解，通过分裂参数法和构造新函数，通过利用导数研究单调性、最值，即可得出的取值范围.
【详解】
由题可得：（），
因为函数有两个不同的极值点，，
所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有解得.
若不等式有解，
所以
因为
.
设，
，故在上单调递增，
故，
所以，
所以的取值范围是.
故选：C.
本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.
2．B
【解析】
设，，利用复数几何意义计算.
【详解】
设，由已知，，所以点在单位圆上，
而，表示点
到的距离，故.
故选：B.
本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式来解决.
3．C
【解析】
分析：从两个方向去判断，先看能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.
详解：由题意可得，在中，因为，
所以，因为，
所以，，
结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为，
所以，即，所以，
因此，所以是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足，
反之，若是钝角三角形，也推不出“，故必要性不成立，
所以为既不充分也不必要条件，故选D.
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.
4．D
【解析】
设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】
设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知：
，因此双曲线的渐近线方程为：
.
故选：D
本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.
5．C
【解析】
由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．
【详解】
解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即

点到坐标原点的距离最大，即．
故选：．
本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．
6．B
【解析】
设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，利用，可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】
如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，则，

在中，，化为，
，
，
当且仅当时取等号，此时.
故选：B.
本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.
7．C
【解析】
根据分段函数的解析式，知当时，且，由于，则，即可求出.
【详解】
由题意知：
当时，且
由于，则可知：，
则，
∴，则，
则.
即.
故选：C.
本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量.
8．A
【解析】
设，由得：，由复数相等可得的值，进而求出，即可得解.
【详解】
设，由得：，即，
由复数相等可得：，解之得：，则，所以，在复平面对应的点的坐标为，在第一象限.
故选：A.
本题考查共轭复数的求法，考查对复数相等的理解，考查复数在复平面对应的点，考查运算能力，属于常考题.
9．A
【解析】
由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】
两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
10．D
【解析】
利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数的值.
【详解】
由于，所以，即，，即，解得或.
故选：D
本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.
11．D
【解析】
按照复数的运算法则先求出，再写出，进而求出.
【详解】
，
，
.
故选：D
本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.
12．C
【解析】
由题可得，解得，
则，，
所以这部分男生的身高的中位数的估计值为，故选C．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
采用数形结合，计算以及，然后根据椭圆的定义可得，并使用余弦定理以及，可得结果.
【详解】
如图

由，所以
由，所以
又，则
所以
所以
化简可得：
则
故答案为：
本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.
14．
【解析】
首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对照函数值等于2的时候对应的自变量的值，从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参数的值.
【详解】
根据题意可知，
可以发现当或时是分界点，
结合函数的解析式，可以判断0不可能，所以只能是是分界点，
故，解得，故答案是.
本题主要考查分段函数的性质，二次函数的性质，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．
【解析】
首先求得a的值，然后利用均值的性质计算均值，最后求得的值，由方差的性质计算的值即可.
【详解】
由题意可知，解得（舍去）或.
则，
则，
由方差的计算性质得.
本题主要考查分布列的性质，均值的计算公式，方差的计算公式，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．
【解析】
由分段函数可得不满足题意；时，，可得，即有，解方程可得，4，结合指数函数的图象和二次函数的图象即可得到所求和．
【详解】
解：由函数，可得
的增区间为，，
时，，，时，，
当关于的不等式的解集为，，
可得不成立，
时，时，不成立；
，即为，
可得，即有，
显然，4成立；由和的图象可得在仅有两个交点．
综上可得的所有值的和为1．
故答案为：1．
本题考查分段函数的图象和性质，考查不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力，属于中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (1)见证明；(2)
【解析】
（1）取PD中点G，可证EFGA是平行四边形，从而， 得证线面平行；
（2）取AD中点O，连结PO，可得面，连交于，可证是二面角的平面角，再在中求解即得．
【详解】
（1）证明：取PD中点G，连结

为的中位线，且，
又且，且，
∴EFGA是平行四边形，则，
又面，面，
面；
（2）解：取AD中点O，连结PO，
∵面面，为正三角形，
面，且，
连交于，可得，
，则，即．
连，又，
可得平面，则，
即是二面角的平面角，
在中，
∴，即二面角的正切值为．
本题考查线面平行证明，考查求二面角．求二面角的步骤是一作二证三计算．即先作出二面角的平面角，然后证明此角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中计算．
18．（1）在上单调递增，在上单调递减．（2）见解析
【解析】
（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；
（2）求出含有参数的，再求出，由的两根是，得，
计算，代入后可得结论．
【详解】
解：，函数的定义域为，
．
（1）当时，，
由得，由得，
故函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：由条件可得，，，
方程的两根分别为，，，且，可得．
．
本题考查用导数研究函数的单调性，考查导数的运算、方程根的知识．在可导函数中一般由确定增区间，由确定减区间．
19．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）解法一： 作的中点，连接，.利用三角形的中位线证得，利用梯形中位线证得，由此证得平面平面，进而证得平面.解法二：建立空间直角坐标系，通过证明直线的方向向量和平面的法向量垂直，证得平面.
（2）利用平面和平面法向量，计算出二面角的余弦值.
【详解】
（1）法一：作的中点，连接，.又为的中点，∴为的中位线，∴，又为的中点，∴为梯形的中位线，∴，在平面中，，在平面中，，∴平面平面，又平面，∴平面.

另解：（法二）∵在长方体中，，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
，，，
，，，
，，.
（1）设平面的一个法向量为，
则，
令，则，.∴，又，
∵，，又平面，平面.
（2）设平面的一个法向量为，
则，
令，则，.∴.
同理可算得平面的一个法向量为
∴，
又由图可知二面角的平面角为一个钝角，
故二面角的余弦值为.

本小题考查线面的位置关系，空间向量与线面角，二面角等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，数形结合思想，化归与转化思想.
20．（1） （2）或
【解析】
（1）根据为真命题列出不等式，进而求得实数的取值范围；（2）应用复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.
【详解】
（1），
且，
解得
所以当为真命题时，实数的取值范围是.
（2）由，可得，
又∵当时，，
.
∵当为真命题，且为假命题时，
∴与的真假性相同，
当假假时，有，解得；
当真真时，有，解得；
故当为真命题且为假命题时，可得或.
本题主要考查结合不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
21．（1）见解析，（2）
【解析】
（1）根据等差中项的定义得，然后构造新等比数列，写出的通项即可求
（2）根据（1）的结果，分组求和即可
【详解】
解：（1）由已知可得，即，可化为，故数列是以为首项，2为公比的等比数列.
即有，所以.
（2）由（1）知，数列的通项为：，

故.
考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.
22．（1）单调增区间,单调减区间为,;（2）有2个零点，证明见解析;（3）
【解析】
对函数求导,利用导数的正负判断函数的单调区间即可;
函数有2个零点.根据函数的零点存在性定理即可证明;
记函数,求导后利用单调性求得,由零点存在性定理及单调性知存在唯一的,使，求得为分段函数,求导后分情况讨论：①当时，利用函数的单调性将问题转化为的问题;②当时，当时,在上恒成立，从而求得的取值范围.
【详解】
（1）由题意知,，列表如下：

0

2

0

极小值

极大值

所以函数的单调增区间为，单调减区间为,.
（2）函数有2个零点.证明如下：
因为时，所以，
因为,所以在恒成立,在上单调递增，
由，，且在上单调递增且连续知,
函数在上仅有一个零点，
由（1）可得时,，
即，故时，，
所以，
由得，平方得，所以，
因为，所以在上恒成立,
所以函数在上单调递减,因为,所以,
由，，且在上单调递减且连续得
在上仅有一个零点，
综上可知：函数有2个零点.
（3）记函数，下面考察的符号．
求导得．
当时恒成立．
当时，因为，
所以．
∴在上恒成立，故在上单调递减．
∵，∴，又因为在上连续，
所以由函数的零点存在性定理得存在唯一的，使，
∴,
因为,所以
∴
因为函数在上单调递增,,
所以在，上恒成立．
①当时，在上恒成立，即在上恒成立．
记，则，
当变化时，，变化情况如下表：

极小值

∴，
故，即．
②当时，，当时，在上恒成立．
综合（1）（2）知， 实数的取值范围是．
本题考查利用导数求函数的单调区间、极值、最值和利用零点存在性定理判断函数零点个数、利用分离参数法求参数的取值范围;考查转化与化归能力、逻辑推理能力、运算求解能力;通过构造函数,利用零点存在性定理判断其零点,从而求出函数的表达式是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.