2026年河南省郑州外国语学校高三下学期期初考试数学试题含附加题含解析.doc

2026年河南省郑州外国语学校高三下学期期初考试数学试题含附加题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（　　）

A．该市总有 15000 户低收入家庭
B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户
C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户
D．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户
2．如图，中，点D在BC上，，将沿AD旋转得到三棱锥，分别记，与平面ADC所成角为，，则，的大小关系是（ ）

A． B．
C．，两种情况都存在 D．存在某一位置使得
3．设函数，若函数有三个零点，则（　　）
A．12 B．11 C．6 D．3
4．复数，是虚数单位，则下列结论正确的是
A． B．的共轭复数为
C．的实部与虚部之和为1 D．在复平面内的对应点位于第一象限
5．已知变量的几组取值如下表：

1
2
3
4

7
若与线性相关，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
6． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A． B．
C． D．
7．若x，y满足约束条件且的最大值为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知等比数列的前项和为，若，且公比为2，则与的关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，为图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点，满足，则下列区间中存在极值点的是（ ）
A． B． C． D．
11．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
12．已知双曲线的左焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同的两点，，若，则该双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．平面向量与的夹角为，，，则__________．
14．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．
15．函数的定义域为______.
16．对任意正整数，函数，若，则的取值范围是_________；若不等式恒成立，则的最大值为_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知a＝3，，且B＝60°.
（1）求△ABC的面积；
（2）若D，E是BC边上的三等分点，求.
18．（12分）已知函数 .
（1）若在 处导数相等，证明： ；
（2）若对于任意 ，直线 与曲线都有唯一公共点，求实数的取值范围.
19．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，且.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围.
20．（12分）选修4­4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
21．（12分）某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶7元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：摄氏度℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为500瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温

天数
4
14
36
27
6
3
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为（单位：瓶）时，的数学期望的取值范围？
22．（10分）三棱柱中，平面平面，，点为棱的中点，点为线段上的动点.

（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，求二面角的正切值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.
【详解】
解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，
则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确，
该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确，
该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确，
该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．
故选：D.
本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.
2．A
【解析】
根据题意作出垂线段，表示出所要求得、角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案．
【详解】

由题可得过点作交于点，过作的垂线，垂足为，则易得，．
设，则有，，，
可得，．
，
，；
，；
，
，，
．
综上可得，．
故选：．
本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
3．B
【解析】
画出函数的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果．
【详解】
作出函数的图象如图所示，

令，
由图可得关于的方程的解有两个或三个（时有三个，时有两个），
所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五个根），
由，可得的值分别为，
则
故选B．
本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型.
4．D
【解析】
利用复数的四则运算，求得，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．
【详解】
由题意，
则，的共轭复数为，
复数的实部与虚部之和为，在复平面内对应点位于第一象限，故选D．
复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为．
5．B
【解析】
求出，把坐标代入方程可求得．
【详解】
据题意，得，所以，所以．
故选：B．
本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值．
6．D
【解析】
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，
又，则
故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.
7．A
【解析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可．
【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为的最大值为，所以在点处取得最大值，则，即.
故选：A

本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
8．B
【解析】
由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.
【详解】
因为，由诱导公式得，所以 .
故选B
本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.
9．C
【解析】
在等比数列中，由即可表示之间的关系.
【详解】
由题可知，等比数列中，且公比为2，故
故选：C
本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.
10．A
【解析】
结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求，即可判断．
【详解】
图象上相邻两个极值点，满足，
即，
，，且，
，，
，，，
当时，为函数的一个极小值点，而．
故选：．
本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用．
11．C
【解析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.
【详解】
①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.
综上所述，年纪最大的是丙
故选：C.
本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.
12．A
【解析】
直线的方程为，令和双曲线方程联立，再由得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.
【详解】
由题意可知直线的方程为,不妨设.
则，且
将代入双曲线方程中，得到
设
则
由，可得，故
则，解得
则
所以双曲线离心率
故选：A
此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由平面向量模的计算公式，直接计算即可.
【详解】
因为平面向量与的夹角为，所以，
所以;
故答案为
本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.
14．
【解析】
由已知条件得出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，计算出，利用二次函数的基本性质求出的最大值及其对应的值，即可得解.
【详解】
设等差数列的公差为，由，解得，
.
所以，当时，取得最大值，
对任意都有成立，则为数列的最大值，因此，.
故答案为：.
本题考查等差数列前项和最值的计算，一般利用二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题.
15．
【解析】
对数函数的定义域需满足真数大于0，再由指数型不等式求解出解集即可.
【详解】
对函数有意义，
即.
故答案为：
本题考查求对数函数的定义域，还考查了指数型不等式求解，属于基础题.
16．
【解析】
将代入求解即可；当为奇数时,,则转化为,设,由单调性求得的最小值；同理,当为偶数时,,则转化为,设,利用导函数求得的最小值,进而比较得到的最大值.
【详解】
由题,,解得.
当为奇数时,,由,得,
而函数为单调递增函数,所以,所以；
当为偶数时,,由,得,
设,
,单调递增,
,所以,
综上可知,若不等式恒成立,则的最大值为.
故答案为:(1)；(2)
本题考查利用导函数求最值,考查分类讨论思想和转化思想.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）
【解析】
（1）根据正弦定理，可得△ABC为直角三角形，然后可计算b，可得结果.
（2）计算，然后根据余弦定理，可得，利用平方关系，可得结果.
【详解】
（1）△ABC中，由csinC＝asinA+bsinB，
利用正弦定理得c2＝a2+b2，所以△ABC是直角三角形.
又a＝3，B＝60°,所以；
所以△ABC的面积为.
（2）设D靠近点B，则BD＝DE＝EC＝1.
，
所以
所以.
本题考查正弦定理的应用，属基础题.
18．（I）见解析（II）
【解析】
（1）由题x＞0，，由f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，得到，得，
由韦达定理得，由基本不等式得，得，由题意得，令,则，令，，利用导数性质能证明．
（2）由得，令，
利用反证法可证明证明恒成立．
由对任意，只有一个解，得为上的递增函数，得，令，由此可求的取值范围..
【详解】
（I）
令，得，
由韦达定理得
即，得

令,则，令，
则，得
（II）由得
令，
则，，
下面先证明恒成立．
若存在，使得，，，且当自变量充分大时，，所以存在，，使得，，取，则与至少有两个交点，矛盾．
由对任意，只有一个解，得为上的递增函数，
得，令，则，
得
本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力属难题．
19． (1)；(2)
【解析】
（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得，进而求得和，代入求得结果；
（2）利用正弦定理可将表示为，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为，根据正弦型函数值域的求解方法，结合的范围可求得结果.
【详解】
（1）由正弦定理可得：

即

（2）由（1）知：
，

，即的取值范围为
本题考查解三角形知识的相关应用，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式和辅助角公式的应用、与三角函数值域有关的取值范围的求解问题；求解取值范围的关键是能够利用正弦定理将边长的问题转化为三角函数的问题，进而利用正弦型函数值域的求解方法求得结果.
20．（1），（2）
【解析】
试题分析：利用将极坐标方程化为直角坐标方程：化简为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即为x＋y＝1．再利用点到直线距离公式得：设点P的坐标为（2cosα，sinα），得P到直线l的距离
试题解析：解：化简为ρcosθ＋ρsinθ＝1，
则直线l的直角坐标方程为x＋y＝1．
设点P的坐标为（2cosα，sinα），得P到直线l的距离，
dmax＝．
考点：极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式
21．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）X的可能取值为300,500,600，结合题意及表格数据计算对应概率，即得解；
（2）由题意得，分，及，分别得到y与n的函数关系式，得到对应的分布列，分析即得解.
【详解】
（1）由题意：X的可能取值为300,500,600

故：六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列为

300
500
600

（2）由题意得.
1°.当时，
利润
此时利润的分布列为

.
2.时，
利润
此时利润的分布列为

.
综上的数学期望的取值范围是.
本题考查了函数与概率统计综合，考查了学生综合分析，数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
22．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）可证面，从而可得.
（2）可证点为线段的三等分点，再过作于，过作，垂足为，则为二面角的平面角，利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量来计算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函数的基本关系式可求.
【详解】
证明：（1）因为为中点，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，而平面，故，
又因为，所以，则，
又，故面，又面，所以.
（2）由（1）可得：面在面内的射影为，
则为直线与平面所成的角，即.
因为，所以，所以，所以，
即点为线段的三等分点.
解法一：过作于，则平面，
所以，过作，垂足为，
则为二面角的平面角,
因为，，，
则在中，有，
所以二面角的平面角的正切值为.
解法二：以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设点，由得：，
即，，，点，
平面的一个法向量，
又，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，则，
即，所以二面角的正切值为.

线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.