山东省临沂市第一中学2025-2026学年高三第二次综合考试试题含解析.doc

山东省临沂市第一中学2025-2026学年高三第二次综合考试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数在时取得极值，则（ ）
A． B． C． D．
2．若与互为共轭复数，则（ ）
A．0 B．3 C．－1 D．4
3．在中，，，，则边上的高为（ ）
A． B．2 C． D．
4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm3

A． B． C． D．
5．已知三棱锥的外接球半径为2，且球心为线段的中点，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种.
A．360 B．240 C．150 D．120
7．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．6
8．某中学有高中生人，初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有人，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知实数，满足，则的最大值等于( )
A．2 B． C．4 D．8
11．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值：先用计算机产生个数对，其中，都是区间上的均匀随机数，再统计，能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若，则的估计值为（ ）
A． B． C． D．
12．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系中，双曲线的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为______.
14．双曲线的焦点坐标是_______________，渐近线方程是_______________.
15．在中，已知是的中点，且，点满足，则的取值范围是_______.
16．如图，在三棱锥中，平面，，已知，，则当最大时，三棱锥的体积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）解不等式；
（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.
18．（12分）对于给定的正整数k，若各项均不为0的数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.
（1）证明：等比数列是“数列”；
（2）若数列既是“数列”又是“数列”，证明：数列是等比数列.
19．（12分）设为等差数列的前项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若满足不等式的正整数恰有个，求正实数的取值范围．
20．（12分）已知函数的图象在处的切线方程是.
（1）求的值；
（2）若函数，讨论的单调性与极值；
（3）证明：.
21．（12分）已知函数．
（1）当时，解关于x的不等式；
（2）当时，若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．
22．（10分）已知函数().
（1）讨论的单调性；
（2）若对，恒成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果.
【详解】
因为，所以，
又函数在时取得极值，
所以，解得.
故选D
本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.
2．C
【解析】
计算，由共轭复数的概念解得即可.
【详解】
，又由共轭复数概念得：，
.
故选：C
本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.
3．C
【解析】
结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得边长，由此求得边上的高.
【详解】
过作，交的延长线于.由于，所以为钝角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即边上的高为.
故选：C

本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.
4．D
【解析】
解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，

结合图中数据，计算它的体积为：
V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=（6+1.5π）cm1．
故答案为6+1.5π．
点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．
5．C
【解析】
由题可推断出和都是直角三角形，设球心为，要使三棱锥的体积最大，则需满足，结合几何关系和图形即可求解
【详解】
先画出图形，由球心到各点距离相等可得，，故是直角三角形，设，则有，又，所以，当且仅当时，取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高，此时，

故选：C
本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题
6．C
【解析】
可分成两类，一类是3个新教师与一个老教师结对，其他一新一老结对，第二类两个老教师各带两个新教师，一个老教师带一个新教师，分别计算后相加即可．
【详解】
分成两类，一类是3个新教师与同一个老教师结对，有种结对结对方式，第二类两个老教师各带两个新教师，有．
∴共有结对方式60＋90＝150种．
故选：C．
本题考查排列组合的综合应用．解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情，是先分类还是先分步，确定方法后再计数．本题中有一个平均分组问题．计数时容易出错．两组中每组中人数都是2，因此方法数为．
7．C
【解析】
由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简，结合基本不等式即可求解.
【详解】
设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，半焦距为，
则，，设
由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：
，
则

当且仅当时，取等号.
故选：C．
本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.
8．B
【解析】
利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.
【详解】
由题意，，解得.
故选：B.
本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.
9．C
【解析】
根据等比数列的前项和公式，判断出正确选项.
【详解】
由于数列是等比数列，所以，由于，所以
，故“”是“”的充分必要条件.
故选：C
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前项和公式，属于基础题.
10．D
【解析】
画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得的最大值.
【详解】
画出可行域如下图所示，其中，由于,，所以，
所以原点到可行域上的点的最大距离为.
所以的最大值为.
故选：D

本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
11．B
【解析】
先利用几何概型的概率计算公式算出，能与构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到，能与构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出.
【详解】
因为，都是区间上的均匀随机数，所以有，，若，能与构成锐角三角形三边长，
则，由几何概型的概率计算公式知，
所以.
故选：B.
本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.
12．C
【解析】
根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n的值，进而求解的值，得到答案.
【详解】
由题意，，
第1次循环，，满足判断条件；
第2次循环，，满足判断条件；
第3次循环，，满足判断条件；

可得的值满足以3项为周期的计算规律，
所以当时，跳出循环，此时和时的值对应的相同，即.
故选：C.
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积．
【详解】
解：双曲线：双曲线中，，，
则双曲线的一条准线方程为，
双曲线的渐近线方程为：，
可得准线方程与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标，，，，
则三角形的面积为．
故答案为：
本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．
14．
【解析】
通过双曲线的标准方程，求解，，即可得到所求的结果．
【详解】
由双曲线，可得，，则，
所以双曲线的焦点坐标是，
渐近线方程为：．
故答案为：；．
本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，考查了运算能力，属于容易题．
15．
【解析】
由中点公式的向量形式可得，即有，
设，有，再分别讨论三点共线和不共线时的情况，找到的关系，即可根据函数知识求出范围．
【详解】
是的中点，∴，即
设，于是
(1)当共线时，因为，
①若点在之间，则，此时，；
②若点在的延长线上，则，此时，．
(2)当不共线时，根据余弦定理可得，
解得，由，解得
．
综上，
故答案为：．
本题主要考查学中点公式的向量形式和数量积的定义的应用，以及余弦定理的应用，涉及到函数思想和分类讨论思想的应用，解题关键是建立函数关系式，属于中档题．
16．4
【解析】
设，则，，，
，当且仅当，即时，等号成立.
,
故答案为4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）
【解析】
（1）将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.
（2）利用绝对值三角不等式，求得的取值范围，根据分段函数解析式，求得的取值范围，结合题意列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
（1），
由得或或；
解得.故所求解集为.
（2）
，
即.
由（1）知，
所以，即.
∴，∴.
本小题考查了绝对值不等式，绝对值三角不等式和函数最值问题，考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想.
18．（1）证明见详解；（2）证明见详解
【解析】
（1）由是等比数列，由等比数列的性质可得：即可证明.
（2）既是“数列”又是“数列”，可得，，则对于任意都成立，则成等比数列，设公比为，验证得答案.
【详解】
（1）证明：由是等比数列，由等比数列的性质可得：

等比数列是“数列”.
（2）证明：既是“数列”又是“数列”，
可得，（） （）
，（）
可得：对于任意都成立，
即 成等比数列，
即成等比数列，
成等比数列，
成等比数列，
设，（）
数列是“数列”
时，由（）可得：

时，由（）可得：
，
可得，同理可证
成等比数列，
数列是等比数列
本题是一道数列的新定义题目，考查了等比数列的性质、通项公式等基本知识，考查代数推理、转化与化归以及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题.
19．（1）；（2）．
【解析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，然后利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式；
（2）求出，可得出，可知当为奇数时不等式不成立，只考虑为偶数的情况，利用数列单调性的定义判断数列中偶数项构成的数列的单调性，由此能求出正实数的取值范围．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
则，整理得，
解得，，因此，；
（2），
满足不等式的正整数恰有个，得，
由于，若为奇数，则不等式不可能成立.
只考虑为偶数的情况，令，
则，．
.
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
所以，，
又，，，，.
因此，实数的取值范围是.
本题考查数列的通项公式的求法，考查正实数的取值范围的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；（3）见解析.
【解析】
（1）切点既在切线上又在曲线上得一方程，再根据斜率等于该点的导数再列一方程，解方程组即可；
（2）先对求导数，根据导数判断和求解即可.
（3）把证明转化为证明，然后证明极小值大于极大值即可.
【详解】
解：（1）函数的定义域为
由已知得，则，解得.
（2）由题意得，则.
当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以，单调递减区间为，单调递增区间为，
的极小值为，无极大值.
（3）要证成立，
只需证成立.
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的极大值为，即
由（2）知，时，，且的最小值点与的最大值点不同，所以，即.
所以，.
知识方面，考查建立方程组求未知数，利用导数求函数的单调区间和极值以及不等式的证明；能力方面，考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；试题难度大.
21．（1）（2）
【解析】
（1）当时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对分成和两类，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，求得的最小值，进而求得的取值范围.
【详解】
（1）当时，
由得
由得
解：，得
∴当时，关于的不等式的解集为
（2）①当时，，
所以在上是减函数，在是增函数，所以，
由题设得，解得.②当时，同理求得.
综上所述，的取值范围为.
本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.
22．（1）①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时， 在上单调递增；
（2）.
【解析】
（1）求出函数的定义域和导函数， ，对讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；（2）法一: 由得，
分别运用导函数得出函数()，的单调性，和其函数的最值，可得 ，可得的范围;
法二:由得，化为令()，研究函数的单调性，可得的取值范围.
【详解】
（1）的定义域为，，
①当时，由得，得，
在上单调递减，在上单调递增；
②当时，恒成立,在上单调递增；
（2）法一: 由得，
令()，则，在上单调递减，
，，即，
令，
则，在上单调递增，，在上单调递减，所以，即，
(*)
当时，，(*)式恒成立，即恒成立，满足题意
法二:由得，，
令()，则，在上单调递减，
，，即，
当时，由(Ⅰ)知在上单调递增，恒成立，满足题意
当时，令，则，所以在上单调递减，
又，当时，，，使得，
当时，，即，
又，，，不满足题意，
综上所述，的取值范围是
本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论，不等式恒成立时，求解参数的范围，属于难度题.