2025-2026学年上海市同济中学高三学生寒假自主学习调查数学试题含解析.doc

2025-2026学年上海市同济中学高三学生寒假自主学习调查数学试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，则A∪B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x﹣1≤x≤2}
2．若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60°，则体积为( )
A． B． C． D．
3．设 ,则(  )
A．10 B．11 C．12 D．13
4．已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．已知为一条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：）
A．1624 B．1024 C．1198 D．1560
7．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象的一条对称轴是，则的最小值为
A． B． C． D．
8．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.

A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元
9．已知向量，夹角为，， ，则( )
A．2 B．4 C． D．
10．已知集合，则=（ ）
A． B． C． D．
11．已知复数满足，则（ ）
A． B．2 C．4 D．3
12．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（ ）
A．48 B．63 C．99 D．120
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数在上单调递增，则实数a值范围为_________.
14．设复数满足，其中是虚数单位，若是的共轭复数，则____________．
15．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．
16．如图所示的流程图中，输出的值为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足对任意都有，其前项和为，且是与的等比中项，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，，设数列的前项和为，求大于的最小的正整数的值．
18．（12分）已知函数
（I）当时，解不等式.
（II）若不等式恒成立，求实数的取值范围
19．（12分）已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.
⑴若，，（），求证：数列是等比数列；
⑵若数列是等比数列，求，的值；
⑶若，且，求证：数列是等差数列.
20．（12分）已知分别是内角的对边，满足
（1）求内角的大小
（2）已知，设点是外一点，且，求平面四边形面积的最大值.
21．（12分）在极坐标系中，已知曲线，．
（1）求曲线、的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；
（2）若曲线、交于、两点，求两交点间的距离．
22．（10分）已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足（2，2）
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）已知经过点A（3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B（3，﹣6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
解出集合A和B即可求得两个集合的并集.
【详解】
∵集合{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，
B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．
故选：A．
此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素.
2．D
【解析】
设圆锥底面圆的半径为，由轴截面面积为可得半径，再利用圆锥体积公式计算即可.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为，由已知，，解得，
所以圆锥的体积.
故选：D
本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.
3．B
【解析】
根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值．
【详解】
∵f（x），
∴f（5）＝f[f（1）]
＝f（9）＝f[f（15）]
＝f（13）＝1．
故选：B．
本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题．
4．D
【解析】
设，，根据和抛物线性质得出，再根据双曲线性质得出，，最后根据余弦定理列方程得出、间的关系，从而可得出离心率．
【详解】
过分别向轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为、，不妨设，，

则，
为双曲线上的点，则，即，得，，
又，在中，由余弦定理可得，
整理得，即，，解得或.
故选：D.
本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．
5．D
【解析】
A. 若，则或，故A错误；
B. 若，则或故B错误；
C. 若，则或，或与相交；
D. 若，则，正确.
故选D.
6．B
【解析】
根据高阶等差数列的定义，求得等差数列的通项公式和前项和，利用累加法求得数列的通项公式，进而求得.
【详解】
依题意
：1，4，8，14，23，36，54，……
两两作差得
：3，4，6，9，13，18，……
两两作差得
：1，2，3，4，5，……
设该数列为，令，设的前项和为，又令，设的前项和为.
易，，进而得，所以，则，所以，所以.
故选：B
本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
7．C
【解析】
将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，因为函数的图象的一条对称轴是，所以，即，所以，又，所以的最小值为．故选C．
8．D
【解析】
设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．
【详解】
设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．
故选D．
本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．
9．A
【解析】
根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果.
【详解】
由于，
故选：A.
本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题.
10．D
【解析】
先求出集合A，B，再求集合B的补集，然后求
【详解】
，所以 .
故选：D
此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.
11．A
【解析】
由复数除法求出，再由模的定义计算出模．
【详解】
．
故选：A．
本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题．
12．C
【解析】
观察规律得根号内分母为分子的平方减1，从而求出n.
【详解】
解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1
所以
故选：C.
本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由在上恒成立可求解．
【详解】
，
令，∵，∴，
又，，从而，令，
问题等价于在时恒成立，∴，解得．
故答案为：．
本题考查函数的单调性，解题关键是问题转化为恒成立，利用换元法和二次函数的性质易求解．
14．
【解析】
由于，则．
15．1．
【解析】
先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.
【详解】
由题意，高三学生占的比例为，
所以应从高三年级学生中抽取的人数为.
本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
16．4
【解析】
根据流程图依次运行直到，结束循环，输出n，得出结果.
【详解】
由题：，
，
，结束循环，
输出.
故答案为：4
此题考查根据程序框图运行结果求输出值，关键在于准确识别循环结构和判断框语句.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）4
【解析】
（1）利用判断是等差数列，利用求出，利用等比中项建立方程，求出公差可得.
（2）利用的通项公式,求出，用错位相减法求出，最后建立不等式求出最小的正整数.
【详解】
解：任意都有，
数列是等差数列，
，
又是与的等比中项，，设数列的公差为，且，
则，解得，
，
；
由题意可知 ，
①，
②，
①﹣②得：，
，
，
由得，，
，
，
满足条件的最小的正整数的值为．
本题考查等差数列的通项公式和前项和公式及错位相减法求和. (1)解决等差数列通项的思路(1)在等差数列中，是最基本的两个量，一般可设出和，利用等差数列的通项公式和前项和公式列方程(组)求解即可. (2)错位相减法求和的方法：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解; 在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式
18．（Ⅰ） ;（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（1）根据零点分区间法，去掉绝对值解不等式；（2）根据绝对值不等式的性质得，因此将问题转化为恒成立，借此不等式即可．
试题解析：
（Ⅰ）由得，，或，或
解得：
所以原不等式的解集为 .
（Ⅱ）由不等式的性质得：，
要使不等式恒成立，则
当时，不等式恒成立；
当时，解不等式得．
综上 ．
所以实数的取值范围为.
19．（1）见解析（2）（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）(), 所以，故数列是等比数列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可证数列是等差数列.
试题解析：
（1）证明：若，则当(),
所以，
即，
所以，
又由，，
得，，即，
所以，
故数列是等比数列．
（2）若是等比数列，设其公比为（ ），
当时，，即，得
　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　 ①
当时，，即，得
　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　②
当时，，即，得
　　　　　　　　　，　　　　　　　　③
②-①´，得 ，
③-②´，得 ，
解得．
代入①式，得．
此时()，
所以，是公比为１的等比数列，
故．
（3）证明：若，由，得，
　　又，解得．
由，， ，，代入得，
所以，，成等差数列，
由，得，
两式相减得：
即
所以
相减得：
所以
所以
，
因为，所以，
即数列是等差数列.
20．（1）（2）
【解析】
（1）首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到，再由同角三角三角的基本关系得到，即可求出角；
（2）由（1）知，是正三角形，设，由余弦定理可得：，则，得到，再利用辅助角公式化简，最后由正弦函数的性质求得最大值；
【详解】
解：（1）由，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）知，是正三角形，设，
由余弦定理得：，

，，
所以当时有最大值

本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换公式的应用，三角形面积公式的应用，以及正弦函数的性质，属于中档题.
21．（1）表示一条直线，是圆心为，半径为的圆；（2）.
【解析】
（1）直接利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可将曲线的方程化为直角坐标方程，进而可判断出曲线的形状，在曲线的方程两边同时乘以得，由可将曲线的方程化为直角坐标方程，由此可判断出曲线的形状；
（2）由直线过圆的圆心，可得出为圆的一条直径，进而可得出.
【详解】
（1），则曲线的普通方程为，
曲线表示一条直线；
由，得，则曲线的直角坐标方程为，即．
所以，曲线是圆心为，半径为的圆；
（2）由（1）知，点在直线上，直线过圆的圆心．
因此，是圆的直径，．
本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.
22．（1）y2＝4x；；（2）直线NL恒过定点（﹣3，0），理由见解析.
【解析】
（1）根据抛物线的方程，求得焦点F（，0），利用（2，2），表示点P的坐标，再代入抛物线方程求解.
（2）设M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），表示出MN的方程y和ML的方程y，因为A（3，﹣2），B（3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y1y2＝12，然后表示直线NL的方程为：y﹣y1（x），代入化简求解.
【详解】
（1）由抛物线的方程可得焦点F（，0），满足（2，2）的P的坐标为（2，2），P在抛物线上，
所以（2）2＝2p（2），即p2+4p﹣12＝0，p＞0，解得p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x；
（2）设M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，
直线MN的斜率kMN，
则直线MN的方程为：y﹣y0（x），
即y①，
同理可得直线ML的方程整理可得y②，
将A（3，﹣2），B（3，﹣6）分别代入①，②的方程
可得，消y0可得y1y2＝12，
易知直线kNL，则直线NL的方程为：y﹣y1（x），
即yx，故yx，
所以y（x+3），
因此直线NL恒过定点（﹣3，0）．
本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.