苏教版2.3数学归纳法1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3,数学归纳法,1,对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法,.,归纳法,完全归纳法,不完全归纳法,由特殊 一般,特点,:,a,2,=a,1,+d,a,3,=a,1,+2d,a,4,=a,1,+3d,a,n,=a,1,+(n-1)d,2,解,:,猜想数列的通项公式为,验证,:,同理得,啊,有完没完啊,?,正整数无数个,!,对于数列，已知，,（,1,）求出数列前,4,项,你能得到什么猜想？,（,2,）你的猜想一定是正确的吗？,情境,3,人的多米诺骨牌游戏,第一个人倒下，是否所有人都倒下？,课题探究,4,人的多米诺骨牌游戏,第k+1个人是如何倒下？,课题探究,5,第一，第一个人必须倒下；,第二，任意相邻的两个人，前一个人倒下一定撞到后一个.,要保证每个人都倒下，必需满足什么,条件,？,人的多米诺骨牌游戏,课题探究,6,条件2给出了一个递推关系：,当第k个人倒下时，相邻的第k+1个人也倒下.,条件2,的作用时什么？,人的多米诺骨牌游戏,课题探究,7,“,对于数列,a,n,，已知,a,1,1，,（,n,1，2，,），通过对,n,=1，2,3,4前4项的归纳，我们已经猜想出其通项公式为,”.,怎样类比人的多米诺骨牌游戏原理，通过有限个步骤的推理，证明,n,取所有正整数都成立？,探究任务一：一个数学问题新的证明方法,8,多米诺骨牌游戏原理,证明数列的通项公式是 的步骤,（1）第一个人倒下,.,（,1,）当,n=1,时猜想成立,.,（2）若第k个人倒下时，则相邻的第k+1个人也倒下,.,根据（1）和 （2），可知不论有多少个人都能全部倒下,.,根据（1）和（2），可知对所有的自然数n，猜想都成立,.,类比多米诺骨牌游戏，证明数列猜想,（,2,）若当,n=k,时猜想成立，则当,n=k+1,时猜想也成立,9,一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：,（2）假设n=k(kn,0,，kN,*,)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立,.,只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n,0,开始的所有自然数都成立,.,上述证明方法叫做,数学归纳法.,（1）,证明当n取第一个值n,0,(n,0,N*),时命题成立,.,（归纳奠基）,(,归纳递推,),探究任务二：提炼原理，得出概念,10,思考：,数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是,归纳奠基,，第二步是,归纳递推,，完成这两个步骤的证明，实质上解决了什么问题？,逐一验证命题对从,n,0,开始的所有正整数,n,都成立,.,11,用框图表示为：,验证,n=n,0,时命题成立,.,若,n=k(k n,0,),时命题成立，证明当,n=k+1,时命题也成立,.,命题对所有的自然数,n(n n,0,),都成立,.,归纳,奠基,归纳,递推,12,理解新知,问题1：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下：,结论1：,第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无,.,证明：假设,n=k,时等式成立，即,那么,即n=k+1时等式成立,.,所以等式对一切自然数 均成立,.,上述证法是正确的吗？为什么？,13,问题:2：乙同学用数学归纳法证明,如采用下面证法，对吗？为什么,结论2：,在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.,理解新知,14,问题3：讨论 的大小,结论3：,在第一步中的初始值,n,0,不一定从1取起,证明应根据具体情况而定.,猜想：,用数学归纳法证明，第一个取值为5.,理解新知,15,所以,n=k+1,时结论也成立,那么,求证,16,例,2,：用数学归纳法证明,17,例,3.,用数学归纳法证明,18,如下证明对吗？,证明当,n,1,时，左边,1,右边,1,等式成立,假设,n,k,时，有,即,n,k,1,时，命题成立,根据问可知，对,n,N,*,，等式成立,第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明,19,1,.,已知,:,则 等于,(),A:B:,C:D:,C,练习：,20,练习,P90 2,、,3,、,4,、,5,21,小结作业,1.,数学归纳法的实质是建立一个无穷递推机制，从而间接地验证了命题对从,n,0,开始的所有正整数,n,都成立，它能证明许多与正整数有关的命题，但与正整数有关的命题不一定要用数学归纳法证明，有些命题用数学归纳法也难以证明,.,22,数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：,（,1,）,证明当 取第一个值（如 或,2,等）时结论正确；,（,2,）,假设时 结论正确，证明,时结论也正确,递推基础,递推依据,“,找准起点，奠基要稳”,“,用上假设，递推才真”,注 意：,1,、一定要用到归纳假设；,2,、看清从,k,到,k,1,中间的变化,.,“,写明结论，才算完整”,（,3,）由（,1,）（,2,）得出结论,23,2.,归纳推理能发现结论，数学归纳法能证明结论，二者强强联合，优势互补，在解决与正整数有关的问题时，具有强大的功能作用,.,但在数学归纳法的实施过程中，还有许多细节有待进一步明确和认识,.,24,(1),在第一步中的初始值不一定从,1,取起，证明时应根据具体情况而定,.,证明中需要注意的问题,(2),在第二步中,证明,n=k+1,命题成立时,必须用到,n=k,命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效,.,(3),在证明,n=k+1,命题成立用到,n=k,命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“,n=k+1,时”命题是什么，并找出与“,n=k”,时命题形式的差别,.,弄清应增加的项,.,25,重点：两个步骤、一个结论；,注意：递推基础不可少，,归纳假设要用到，,结论写明莫忘掉,.,26,归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；,数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；,数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；,数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷,数学归纳法的基本思想：,在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题,数学归纳法的核心,:,在验证命题,n=n,0,正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程,.,所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃,.,课堂小结,27,用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：,明确首取值,n,0,并验证真假,.,（必不可少）,“,假设,n=k,时命题正确,”,并写出命题形式,.,分析,“,n=k+1,时,”,命题是什么，并找出与,“,n=k,”,时,命题形式的差别,.,弄清左端应增加的项,.,明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的,方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，,并 用上假设,.,28,作业：,P91,练习：,4,，,5.,29,