数值分析(10)幂法.ppt

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数值分析,数值分析,第四章 代数特征值问题,工程实践中有多种振动问题，如桥梁 或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及 一些稳定性分析和相关分析可转 化为求矩阵特征值与特征向量的问题。,但高次多项式求根精度低,一般不作为求解方法,.,目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法,.,第四章 代数特征值问题,第一节 特征值的估计和数值稳定性,第二节 幂法和反幂法,第三节 求实对称矩阵特征值的雅可比,（,Jacobi,）方法,第四节 求矩阵全部特征值的,QR,方法,第一节 特征值的估计和数值稳定性,一、格希格林圆盘,(,Gerschgorin,),二、特征值问题的稳定性,第二节 幂法和反幂法,一、幂法,求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。它是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。,（,4-8,）,定理,4-2,证明,由递推公式（,4-8,），有,两种特殊情况,幂法小结,二、幂法的加速,因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值,当比值接近于,1,时，幂法收敛很慢。幂法,加速有多种，介绍两种,。,3,、,Rayleigh,商加速,三、反幂法,反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。,可以证明,反幂法,计算格式,四、利用原点平移的反幂法求任一特征值和特征向量,第三节 求实对称矩阵特征值的雅可比,（,Jacobi,）方法,Jacobi,方法是用来求实对称矩阵的全部特征值和对应特征向量的一个古典算法。,Jacobi,方法的基本思想是对做一系列的正交相似变换，使其非对角元素收敛到零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。所用的矩阵为,Givens,矩阵，也称,Jacobi,旋转矩阵。,一、,Givens,矩阵,二、利用,Givens,变换阵将实对称矩阵,A,相似化简为对角阵,Jacobi,算法的基本思想,:,(2),计算矩阵,C,（,3,）计算矩阵,A,的特征向量,三、,Jacobi,法的改进,（,1,）循环,Jacobi,方法：,（,2,）,Jacobi,过关法：,习题四,P158-4,