2026届河北省行唐县第一中学高三模拟卷(一)数学试题试卷含解析.doc

2026届河北省行唐县第一中学高三模拟卷(一)数学试题试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点P在椭圆τ：=1(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中，为无理数）
①；②；③.
A．0 B．1 C．2 D．3
3．函数的定义域为（　　）
A．[，3）∪（3，+∞） B．（-∞，3）∪（3，+∞）
C．[，+∞） D．（3，+∞）
4．已知等差数列的前n项和为，，则
A．3 B．4 C．5 D．6
5．i是虚数单位，若，则乘积的值是( )
A．－15 B．－3 C．3 D．15
6．已知变量，满足不等式组，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示销售量），由散点图可知与的相关关系为（ ）

A．正相关，相关系数的值为
B．负相关，相关系数的值为
C．负相关，相关系数的值为
D．正相关，相关负数的值为
8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，
．）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
9．过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的标准方程可能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则下列说法中正确的是（ ）
A．是假命题 B．是真命题
C．是真命题 D．是假命题
11．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交于、两点，为坐标原点，若，，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则的值为____________.

14．已知向量，满足，，，则向量在的夹角为______.
15．已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为__________．
16．如图，在中，已知，为边的中点．若，垂足为，则的值为__．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知向量，函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图像经过点，成等差数列，且，求a的值．
18．（12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点.

（Ⅰ）求证：平面平面；
（ⅠⅠ）求直线与平面所成的角的正弦值.
19．（12分）已知椭圆的右顶点为，点在轴上，线段与椭圆的交点在第一象限，过点的直线与椭圆相切，且直线交轴于.设过点且平行于直线的直线交轴于点.
（Ⅰ）当为线段的中点时，求直线的方程；
（Ⅱ）记的面积为，的面积为，求的最小值.
20．（12分）已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax.
（1）求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)；
（2）令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图像上任意两点，且满足＞1，求实数a的取值范围；
（3）若∃x∈(0,1]，使f(x)≥成立，求实数a的最大值．
21．（12分）（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，的距离之积．
22．（10分）已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
设，则，，，设，根据化简得到，得到答案.
【详解】
设，则，，，则，设，
则，两式相减得到：，
，，即，，
，故，即，故，故.
故选：.
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
2．C
【解析】
对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数，利用导数求得函数的最大值为，进而得到，即可判定是正确的.
【详解】
由题意，对于①中，由，可得，根据不等式的性质，可得成立，所以是正确的；
对于②中，设函数，则，所以函数为单调递增函数，
因为，则
又由，所以，即，所以②不正确；
对于③中，设函数，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
所以，即，即，所以是正确的.
故选：C.
本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
3．A
【解析】
根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.
【详解】
因为函数，
解得且；
函数的定义域为, 故选A．
定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.
4．C
【解析】
方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C．
方法二：因为，所以，则.故选C．
5．B
【解析】
，∴，选B．
6．B
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.
【详解】
解：由变量，满足不等式组，画出相应图形如下：
可知点,，
在处有最小值，最小值为.

故选：B.
本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.
7．C
【解析】
根据正负相关的概念判断．
【详解】
由散点图知随着的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负．
故选：C．
本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．
8．B
【解析】
试题分析：由题意
故选B．
考点：正态分布
9．A
【解析】
直线的方程为，令，得，得到a,b的关系，结合选项求解即可
【详解】
直线的方程为，令，得.因为，所以，只有选项满足条件.
故选：A
本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力.
10．D
【解析】
举例判断命题p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案．
【详解】
当时，故命题为假命题；
记f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex，
易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增，
∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命题为真命题；
∴是假命题
故选D
本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题．
11．B
【解析】
由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得．
【详解】
解：由等差数列的性质可得，解得，
，

故选：B．
本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．
12．D
【解析】
作出图象，取AB中点E，连接EF2，设F1A＝x，根据双曲线定义可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，进而得到e的值
【详解】
解：取AB中点E，连接EF2，则由已知可得BF1⊥EF2，F1A＝AE＝EB，
设F1A＝x，则由双曲线定义可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，
所以x＝2a，则EF2＝2a，
由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，
所以c2＝7a2，
则e
故选：D．

本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.
【详解】
设圆锥的底面半径为，体积为，半球的体积为，水（小圆锥）的体积为，如图

则，所以，，解得，
所以，，，
由，得，解得.
故答案为：
本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.
14．
【解析】
把平方利用数量积的运算化简即得解.
【详解】
因为，，，
所以，∴，
∴，因为
所以.
故答案为：
本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．
【解析】
考查更为一般的问题：设P为椭圆C:上的动点，为椭圆的两个焦点，为△PF1F2的内心，求点I的轨迹方程．
解法一：如图，设内切圆I与F1F2的切点为H，半径为r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，则.

直线IF1与IF2的斜率之积：，
而根据海伦公式，有△PF1F2的面积为
因此有.
再根据椭圆的斜率积定义，可得I点的轨迹是以F1F2为长轴，
离心率e满足的椭圆，
其标准方程为.
解法二：令，则．三角形PF1F2的面积：
，
其中r为内切圆的半径，解得.
另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：

从而有．消去θ得到点I的轨迹方程为：
.
本题中：，代入上式可得轨迹方程为：.
16．
【解析】
，
由余弦定理，得，
得，，，
所以，所以．
点睛：本题考查平面向量的综合应用．本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到，所以本题转化为求长度，利用余弦定理和面积公式求解即可．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），（2）
【解析】
（1）利用向量的数量积和二倍角公式化简得，故可求其周期与单调性；
（2）根据图像过得到，故可求得的大小，再根据数量积得到的乘积，最后结合余弦定理和构建关于的方程即可．
【详解】
（1），
最小正周期：，
由得，
所以的单调递增区间为；
（2）由可得：，
所以．
又因为成等差数列，所以
而，
．
18． (Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）连接交于，得，所以面，又 ，得面，即可利用面面平行的判定定理，证得结论；
（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求的平面的一个法向量 ，利用向量和向量夹角公式，即可求解与平面所成角的正弦值．
试题解析：
（Ⅰ）连接BD交AC于O，易知O是BD的中点，故OG//BE，BE面BEF，OG在面BEF外，所以OG//面BEF；
又EF//AC，AC在面BEF外，AC//面BEF，又AC与OG相交于点O，面ACG有两条相交直线与面BEF平行，故面ACG∥面BEF；

（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，分别以OC、OD、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则， ， ，， ，，，
设面ABF的法向量为，依题意有，，令，，，，，
直线AD与面ABF成的角的正弦值是．

19．（Ⅰ）直线的方程为（Ⅱ）
【解析】
（1）设点，利用中点坐标公式表示点B，并代入椭圆方程解得，从而求出直线的方程；（2）设直线的方程为：，表示点，然后联立方程，利用相切得出，然后求出切点，再设出设直线的方程，求出点，利用两点坐标，求出直线的方程，从而求出，最后利用以上已求点的坐标表示面积，根据基本不等式求最值即可.
【详解】
解：（Ⅰ）由椭圆，可得：
由题意：设点，当为的中点时，可得：
代入椭圆方程，可得：所以：
所以.故直线的方程为.
（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在且不为0，
故设直线的方程为：
令，得：，所以：.
联立：，消，整理得：.
因为直线与椭圆相切，所以.
即.
设，则，，
所以.
又直线直线，所以设直线的方程为：.
令，得，所以：.
因为，
所以直线的方程为：.
令，得，所以：.
所以.
又因为.
.
所以（当且仅当，即时等号成立）
所以.
本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程以及求椭圆中的最值问题，最值问题一般是把目标式求出，结合目标式特点选用合适的方法求解，侧重考查数学运算的核心素养，本题利用了基本不等式求最小值的方法，运算量较大，属于难题.
20．（1）m(t)＝（2）a≤2－2.（3）a≤2－2.
【解析】
（1）是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进行求解．
（2）注意到函数h(x)的图像上任意不同两点A，B连线的斜率总大于1，等价于h(x1)－h(x2)＜x1－x2(x1＜x2)恒成立，从而构造函数F(x)＝h(x)－x在(0，＋∞)上单调递增，进而等价于F′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立来加以研究．
（3）用处理恒成立问题来处理有解问题，先分离变量转化为求对应函数的最值，得到a≤，再利用导数求函数M(x)＝的最大值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值．
【详解】
（1） f′(x)＝1－，x＞0，
令f′(x)＝0，则x＝1.
当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，f(x)的最小值为f(t)＝t－lnt；
当0＜t＜1时，f(x)在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t＋1)上为增函数，f(x)的最小值为f(1)＝1.
综上，m(t)＝
（2）h(x)＝x2－(a＋1)x＋lnx，
不妨取0＜x1＜x2，则x1－x2＜0，
则由，可得h(x1)－h(x2)＜x1－x2，
变形得h(x1)－x1＜h(x2)－x2恒成立．
令F(x)＝h(x)－x＝x2－(a＋2)x＋lnx，x＞0，
则F(x)＝x2－(a＋2)x＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，
故F′(x)＝2x－(a＋2)＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，
所以2x＋≥a＋2在(0，＋∞)上恒成立．
因为2x＋≥2，当且仅当x＝时取“＝”，
所以a≤2－2.
（3）因为f(x)≥，所以a(x＋1)≤2x2－xlnx.
因为x∈(0,1]，则x＋1∈(1,2]，所以∃x∈(0,1]，使得a≤成立．
令M(x)＝，则M′(x)＝.
令y＝2x2＋3x－lnx－1，则由y′＝＝0 可得x＝或x＝－1(舍)．
当x∈时，y′＜0，则函数y＝2x2＋3x－lnx－1在上单调递减；
当x∈时，y′＞0，则函数y＝2x2＋3x－lnx－1在上单调递增．
所以y≥ln4－＞0，
所以M′(x)＞0在x∈(0,1]时恒成立，
所以M(x)在(0,1]上单调递增．
所以只需a≤M(1)，即a≤1.
所以实数a的最大值为1.
本题考查了函数与导数综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于难题.
21．（1）曲线：，直线的直角坐标方程；（2）1.
【解析】
试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线化为普通方程，再根据 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线参数方程，代入C方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点到，的距离之积
试题解析：（1）曲线化为普通方程为：，
由，得，
所以直线的直角坐标方程为．
（2）直线的参数方程为（为参数），
代入化简得：，
设两点所对应的参数分别为，则，
．
22．（1）或；（2）
【解析】
（1）使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果.
（2）利用等价转化的思想，可得不等式在恒成立，然后解出解集，根据集合间的包含关系，可得结果.
【详解】
（1）当时，
原不等式可化为.
①当时，
则，所以；
②当时，
则，所以；
⑧当时，
则，所以.
综上所述：
当时，不等式的解集为或.
（2）由，
则，
由题可知：
在恒成立，
所以，即，
即，
所以
故所求实数的取值范围是.
本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想，属中档题.