2026届台州市重点中学普通高中毕业班综合测试（一）数学试题含解析.doc

2026届台州市重点中学普通高中毕业班综合测试（一）数学试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切，则双曲线的离心率是（ ）
A．2或 B．2或 C．或 D．或
2．下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，给出下列四个命题:
①;
② 直线与直线所成角为;
③ 过，，三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;
④ 三棱锥的体积为.
其中，正确命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知复数满足，则（ ）
A． B．2 C．4 D．3
5．在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为( )
A．5 B．6 C．7 D．9
6．已知集合，，则集合的真子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
7．如图所示的程序框图，若输入，，则输出的结果是（ ）

A． B． C． D．
8．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ ）
A．2 B． C． D．1
9．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．对于函数，定义满足的实数为的不动点，设，其中且，若有且仅有一个不动点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
12．设则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM＝CN，则当四面体C﹣EMN的体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为_____.

14．已知向量满足，且，则 _________．
15．已知函数，若函数有个不同的零点，则的取值范围是___________．
16．某市公租房源位于、、三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意位申请人中，恰好有人申请小区房源的概率是______ .（用数字作答）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，，且.
（1）求的最小值；
（2）证明：.
18．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．
（1）当直线的倾斜角为时，求线段AB的中点的横坐标；
（2）设点A关于轴的对称点为C，求证：M，B，C三点共线；
（3）设过点M的直线交椭圆于两点，若椭圆上存在点P，使得（其中O为坐标原点），求实数的取值范围．
19．（12分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从 市到市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取人次作为样本,得到下表(单位:人次):
满意度
老年人
中年人
青年人
乘坐高铁
乘坐飞机
乘坐高铁
乘坐飞机
乘坐高铁
乘坐飞机
10分(满意)
12
1
20
2
20
1
5分(一般)
2
3
6
2
4
9
0分(不满意)
1
0
6
3
4
4
（1）在样本中任取个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;
（2）在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取人次,记其中老年人出行的人次为.以频率作为概率,求的分布列和数学期望;
（3）如果甲将要从市出发到市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.
20．（12分）椭圆：的离心率为，点 为椭圆上的一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的实数，直线的斜率之积为定值.
21．（12分）在直角坐标平面中，已知的顶点，，为平面内的动点，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点且不垂直于轴的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点.
22．（10分）正项数列的前n项和Sn满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率．
【详解】
设双曲线C的渐近线方程为y=kx，是圆的切线得： ，
得双曲线的一条渐近线的方程为 ∴焦点在x、y轴上两种情况讨论：
①当焦点在x轴上时有：
②当焦点在y轴上时有：
∴求得双曲线的离心率 2或．
故选：A．
本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．
2．D
【解析】
根据，利用排除法，即可求解．
【详解】
由，
可排除A、B、C选项，
又由，
所以．
故选D．
本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3．C
【解析】
画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可．
【详解】
如图；

连接相关点的线段，为的中点，连接，因为是中点，可知，，可知平面，即可证明，所以①正确；
直线与直线所成角就是直线与直线所成角为；正确；
过，，三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：

是五边形．所以③不正确；
如图：

三棱锥的体积为：
由条件易知F是GM中点，
所以,
而，
．所以三棱锥的体积为，④正确；
故选：．
本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．
4．A
【解析】
由复数除法求出，再由模的定义计算出模．
【详解】
．
故选：A．
本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题．
5．A
【解析】
由题可知：，且可得，构造函数求导，通过导函数求出的单调性，结合图像得出，即得出，
从而得出的最大值.
【详解】
因为，
则，即
整理得，令，
设，
则，
令,则，令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，则，
因为，，
由题可知：时，则，所以，
所以，
当无限接近时，满足条件，所以，
所以要使得
故当时，可有，
故，即，
所以：最大值为5.
故选：A.
本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.
6．D
【解析】
转化条件得，利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.
【详解】
由题意得，
，集合的真子集的个数为个.
故选：D.
本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.
7．B
【解析】
列举出循环的每一步，可得出输出结果.
【详解】
，，不成立，，；
不成立，，；
不成立，，；
成立，输出的值为.
故选：B.
本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.
8．B
【解析】
，选B.
9．D
【解析】
集合．为自然数集，由此能求出结果．
【详解】
解：集合．为自然数集，
在A中，，正确；
在B中，，正确；
在C中，，正确；
在D中，不是的子集，故D错误．
故选：D．
本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．B
【解析】
求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．
【详解】
由题意,对应点坐标为 ，在第二象限．
故选：B．
本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．
11．C
【解析】
根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得；构造函数，并讨论的单调性与最值，画出函数图象，即可确定的取值范围.
【详解】
由得，.
令，
则，
令，解得，
所以当时，，则在内单调递增；
当时，，则在内单调递减；
所以在处取得极大值，即最大值为，
则的图象如下图所示：

由有且仅有一个不动点，可得得或，
解得或.
故选：C
本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.
12．A
【解析】
计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程.
【详解】
的中点坐标为：，圆半径为，
圆方程为.
故选：.
本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．32π
【解析】
设ED＝a，根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE⊥ED. AM＝x，根据三棱锥的体积公式，运用基本不等式，可以求出AM的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可.
【详解】
设ED＝a，则CDa.可得CE2+DE2＝CD2，∴CE⊥ED.
当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C﹣EMN的体积才有可能取得最大值，设AM＝x.
则四面体C﹣EMN的体积（a﹣x）a×xax（a﹣x），当且仅当x时取等号.
解得a＝2.
此时三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积＝4πa2＝32π.
故答案为：32π
本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力.
14．
【解析】
由数量积的运算律求得，再由数量积的定义可得结论．
【详解】
由题意，
∴，即，∴．
故答案为：．
本题考查求向量的夹角，掌握数量积的定义与运算律是解题关键．
15．
【解析】
作出函数的图象及直线，如下图所示，因为函数有个不同的零点，所以由图象可知，，，所以．

16．
【解析】
基本事件总数，恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数，由此能求出该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源的概率．
【详解】
解：某市公租房源位于、、三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，
该市的任意5位申请人中，基本事件总数，
该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数：
，
该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源的概率是．
故答案为：．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）利用基本不等式即可求得最小值；
（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．
【详解】
（1），当且仅当“”时取等号，
故的最小值为；
（2），
当且仅当时取等号，此时．
故．
本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．
18． (1) AB的中点的横坐标为；（2）证明见解析；（3）
【解析】
设.
（1）因为直线的倾斜角为，，所以直线AB的方程为，联立方程组，消去并整理，得，则，
故线段AB的中点的横坐标为．
（2）根据题意得点，
若直线AB的斜率为0，则直线AB的方程为，A、C两点重合，显然M，B，C三点共线；
若直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，
联立方程组，消去并整理得，
则，设直线BM、CM的斜率分别为、，
则，即=，即M，B，C三点共线．
（3）根据题意，得直线GH的斜率存在，设该直线的方程为，
设，
联立方程组，消去并整理，得，
由，整理得，又，
所以，
结合，得，
当时，该直线为轴，即，
此时椭圆上任意一点P都满足，此时符合题意；
当时，由，得，代入椭圆C的方程，得，整理，得，
再结合，得到，即，
综上，得到实数的取值范围是．
19．（1）（2）分布列见解析，数学期望（3）建议甲乘坐高铁从市到市.见解析
【解析】
（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；
（2）依题意可知服从二项分布，先计算出随机选取人次，此人为老年人概率是，所以，即，即可求出的分布列和数学期望；
（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．
【详解】
（1）设事件：“在样本中任取个，这个出行人恰好不是青年人”为，
由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，
所以在样本中任取个，这个出行人恰好不是青年人的概率．
（2）由题意，的所有可能取值为：
因为在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取人次，此人
为老年人概率是，
所以，
，
，
所以随机变量的分布列为：

故．
（3）答案不唯一，言之有理即可．
如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：
由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：
乘坐飞机的人满意度均值为：
因为，
所以建议甲乘坐高铁从市到市．
本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．
20．（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得，，进而得到椭圆方程；（2）设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值．
【详解】
（1）因为，所以， ①
又椭圆过点， 所以 ②
由①②，解得
所以椭圆的标准方程为 .
（2）证明 设直线：，
联立得，
设，
则
易知
故

所以对于任意的，直线的斜率之积为定值.
本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题．
21．（1）（）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）设点，分别用表示、表示和余弦定理表示，将表示为、的方程，再化简即可；
（2）设直线方程代入的轨迹方程，得，设点，，，表示出直线，取，得，即可证明直线过轴上的定点.
【详解】
（1）设，由已知，
∴，
∴（），
化简得点的轨迹的方程为：（）；
（2）由（1）知，过点的直线的斜率为0时与无交点，不合题意
故可设直线的方程为：（），代入的方程得：
.
设，，则，
，.
∴直线：.
令，得
.
直线过轴上的定点.
本题主要考查轨迹方程的求法、余弦定理的应用和利用直线和圆锥曲线的位置关系求定点问题，考查学生的计算能力，属于中档题.
22．（1）（2）见解析
【解析】
（1）因为数列的前项和满足：，
所以当时，，
即
解得或，
因为数列都是正项，
所以，
因为，
所以，
解得或，
因为数列都是正项，
所以，
当时，有，
所以，
解得，
当时，，符合
所以数列的通项公式，;
（2）因为，
所以
，
所以数列的前项和为：

，
当时，
有，
所以，
所以对于任意，数列的前项和.