2026年浙江省宁波市鄞州中学招生考试（三）数学试题模拟试题含解析.doc

2026年浙江省宁波市鄞州中学招生考试（三）数学试题模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣3∈A B．3B C．A∩B=B D．A∪B=B
2．已知向量，，则与共线的单位向量为( )
A． B．
C．或 D．或
3．在直角梯形中，，，，，点为上一点，且，当的值最大时，( )
A． B．2 C． D．
4．已知集合，，且、都是全集（为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A． B．或
C． D．
5．已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设是等差数列，且公差不为零，其前项和为．则“，”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )
A． B． C． D．
8．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( )
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
9．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．函数（或）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
11．是虚数单位，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
12．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量（4，﹣n），（Sn，n+3）.若⊥，则数列{}前2020项和为_____
14．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．
15．已知是抛物线的焦点，过作直线与相交于两点，且在第一象限，若，则直线的斜率是_________．
16．在边长为的菱形中，点在菱形所在的平面内．若，则_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计，两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：
市场：
需求量（吨）
90
100
110
频数
20
50
30
市场：
需求量（吨）
90
100
110
频数
10
60
30
把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产吨该产品，在、两市场同时销售，以（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润.
（1）求的概率；
（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量吨还是吨?并说明理由.
18．（12分）在平面四边形(图①)中，与均为直角三角形且有公共斜边，设，∠，∠，将沿折起，构成如图②所示的三棱锥，且使=.

（1）求证：平面⊥平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（12分）若,且
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得？并说明理由.
20．（12分）的内角，，的对边分别为，,已知，.
（1）求；
（2）若的面积，求.
21．（12分）已知函数.
（1）若函数不存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（2）若函数的两个极值点为，，求的最小值.
22．（10分）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
试题分析：集合
考点：集合间的关系
2．D
【解析】
根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案.
【详解】
因为，，则，
所以，
设与共线的单位向量为，
则，
解得 或
所以与共线的单位向量为或.
故选：D.
本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.
3．B
【解析】
由题，可求出，所以，根据共线定理，设，利用向量三角形法则求出，结合题给，得出，进而得出，最后利用二次函数求出的最大值，即可求出.
【详解】
由题意，直角梯形中，，，，，
可求得，所以·
∵点在线段上， 设 ，
则
，
即，
又因为
所以，
所以，
当时，等号成立.
所以.
故选：B.
本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.
4．C
【解析】
根据韦恩图可确定所表示集合为，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合，根据补集和交集定义可求得结果.
【详解】
由韦恩图可知：阴影部分表示，
，，
.
故选：.
本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.
5．D
【解析】
先用公差表示出，结合等比数列求出.
【详解】
,因为成等比数列，所以，解得.
本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.
6．A
【解析】
根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
是等差数列，且公差不为零，其前项和为，
充分性：，则对任意的恒成立，则，
，若，则数列为单调递减数列，则必存在，使得当时，，则，不合乎题意；
若，由且数列为单调递增数列，则对任意的，，合乎题意.
所以，“，”“为递增数列”；
必要性：设，当时，，此时，，但数列是递增数列.
所以，“，”“为递增数列”.
因此，“，”是“为递增数列”的充分而不必要条件.
故选：A.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前项和公式是解决本题的关键，属于中等题．
7．A
【解析】
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．
【详解】
抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A．
本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．
8．C
【解析】
根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有种取法，
从5名女干部中选出1名女干部，有种取法，
则有种不同的选法；
故选：C．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理问题，属于基础题．
9．B
【解析】
由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间和处函数的特征即可确定函数图像.
【详解】
函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，
当时，；当时，；当时，.
时，，时，，
当或时，；当时，.
故选：
根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.
10．A
【解析】
确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求时的函数值，再排除一个，得正确选项．
【详解】
分析知，函数（或）为偶函数，所以图象关于轴对称，排除B，C，
当时，，排除D，
故选：A．
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．
11．C
【解析】
由复数除法的运算法则求出，再由模长公式，即可求解.
【详解】
由.
故选:C.
本题考查复数的除法和模，属于基础题.
12．C
【解析】
显然函数在区间内连续,由的一个零点在区间内,则,即可求解.
【详解】
由题,显然函数在区间内连续,因为的一个零点在区间内,所以,即,解得,
故选:C
本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由已知可得•4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn，n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得：2（）.利用裂项求和方法即可得出.
【详解】
∵⊥，∴•4Sn﹣n（n+3）＝0，
∴Sn，n＝1时，a1＝S1＝1.
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.
，满足上式，.
∴2（）.
∴数列{}前2020项和为
2（1）＝2（1）.
故答案为：.
本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
14．1．
【解析】
先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.
【详解】
由题意，高三学生占的比例为，
所以应从高三年级学生中抽取的人数为.
本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
15．
【解析】
作出准线，过作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率．
【详解】
设是准线，过作于，过作于，过作于，如图，
则，，∵，∴，∴，
∴，，
∴，∴直线斜率为．
故答案为：．
本题考查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离，用平面几何方法求解．
16．
【解析】
以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设,根据求出的坐标,进而求得即可.
【详解】
解：连接设交于点以点为原点,
分别以直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,

则：
设

得,
解得,
,
或,
显然得出的是定值,
取
则,
．
故答案为：．
本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）吨，理由见解析
【解析】
（1）设“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，由题可得，，，，，，代入，计算可得答案；
（2）可取180，190，200，210，220，求出吨和吨时的期望，比较大小即可.
【详解】
（1）设“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，则
，，，
，，，

；
（2）可取180，190，200，210，220，

当时，
当时，
.
，
时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量吨.
本题考查离散型随机变量的期望，是中档题.
18．（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）取AB的中点O，连接，证得，从而证得C′O⊥平面ABD，再结合面面垂直的判定定理，即可证得平面⊥平面；
（2）以O为原点，AB，OC所在的直线为y轴，z轴，建立的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
(1)取AB的中点O，连接，，
在Rt△和Rt△ADB中，AB=2，则=DO=1，
又C′D= ，所以，即⊥OD，
又⊥AB，且AB∩OD=O，平面ABD，所以⊥平面ABD，
又C′O⊂平面，所以平面⊥平面DAB
（2）以O为原点，AB，OC所在的直线为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，-1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)， ，
所以，，，
设平面的法向量为=()，
则， 即，代入坐标得，
令，得，，所以，
设平面的法向量为=（），
则， 即， 代入坐标得，
令，得，，所以，
所以，
所以二面角A-C′D-B的余弦值为.

本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
19．（1）；（2）不存在.
【解析】
（1）由已知，利用基本不等式的和积转化可求，利用基本不等式可将转化为，由不等式的传递性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值为，而，故不存在．
【详解】
（1）由，得，且当时取等号．
故，且当时取等号．
所以的最小值为；
（2）由（1）知，．
由于，从而不存在，使得成立．
【考点定位】
基本不等式．
20．（1） ；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据余弦定理求出B,带入条件求出，利用同角三角函数关系求其余弦，再利用两角差的余弦定理即可求出；（2）根据（1）及面积公式可得，利用正弦定理即可求出.
试题解析：（1）由，得，
∴.
∵，∴.
由，得，
∴.
∴ .
（2）由（1），得.
由及题设条件，得，∴.
由，得，
∴，
∴.
点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.
21．（1）（2）
【解析】
分析：（1）先求导，再令在上恒成立，得到上恒成立，利用基本不等式得到m的取值范围.(2)先由得到
，再求得，再构造函数再利用导数求其最小值.
详解：（1）由函数有意义，则
由且不存在单调递减区间，则在上恒成立，
上恒成立

（2）由知，
令，即
由有两个极值点
故为方程的两根，
，
，
则

由
由 ，则上单调递减
，即

由知

综上所述，的最小值为.
点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的难点有两个，其一是求出,其二是构造函数再利用导数求其最小值.
22．（1）；（2）
【解析】
（1）根据递推公式，用配凑法构造等比数列，求其通项公式，进而求出的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】
解：（1），
，
是首项为，公比为的等比数列．
所以，．
（2）

.
本题考查了由数列的递推公式求通项公式，错位相减法求数列的前n项和的问题，属于中档题.