浙江省宁波市北仑中学2025-2026学年高三第五次月考数学试题试卷数学试题含解析.doc

浙江省宁波市北仑中学2025-2026学年高三第五次月考数学试题试卷数学试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则
A． B．
C． D．
3．已知平面向量，满足，，且，则（ ）
A．3 B． C． D．5
4．设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，的面积为，则（ ）
A．5 B． C．4 D．16
6．已知函数为奇函数，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．抛物线的焦点为，点是上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知复数z满足，则z的虚部为（ ）
A． B．i C．–1 D．1
11．已知为虚数单位，若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数满足，当时，，则（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系中，已知，若圆上有且仅有四个不同的点C，使得△ABC的面积为5，则实数a的取值范围是____.
14．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，则球的体积为__________．
15．在直角三角形中，为直角，，点在线段上，且，若，则的正切值为_____.
16．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数（）的最小值为.
（1）求的值；
（2）若，，为正实数，且，证明：.
18．（12分）某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：将产品每个一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验次或次．设该工厂生产件该产品，记每件产品的平均检验次 数为．
（1）求的分布列及其期望；
（2）（i）试说明，当越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；
（ii）当时，求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数．
19．（12分）第十四届全国冬季运动会召开期间，某校举行了“冰上运动知识竞赛”，为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
（1）求、、的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率；
（2）若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动，并指定2名负责人，求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.
组号
分组
频数
频率
第1组

15
0.15
第2组

35
0.35
第3组

b
0.20
第4组

20

第5组

10
0.1
合计

1.00

20．（12分）己知函数.
（1）当时，求证：；
（2）若函数，求证：函数存在极小值.
21．（12分）某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：
日期
1 日
2 日
3 日
4 日
5 日
6 日
7 日
8 日
9 日
10 日
元件A个数
9
15
12
18
12
18
9
9
24
12
日期
11 日
12 日
13 日
14 日
15 日
16 日
17 日
18 日
19 日
20 日
元件A个数
12
24
15
15
15
12
15
15
15
24
从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数．
（Ⅰ）求X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；
（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）
22．（10分）已知函数，.
（1）若对于任意实数，恒成立，求实数的范围；
（2）当时，是否存在实数，使曲线：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
与中间值1比较，可用换底公式化为同底数对数，再比较大小．
【详解】
，，又，∴，即，
∴．
故选：D.
本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较．
2．A
【解析】
∵集合
∴
∵集合
∴，
故选A
3．B
【解析】
先求出，再利用求出，再求.
【详解】
解：
由，所以
，
，，
故选：B
考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.
4．A
【解析】
先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.
【详解】
由题意知sin，∴，
∴，随n的增大而增大，∴,
∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0，
∴正整数的最小值为3.
本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.
5．C
【解析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可.
【详解】
中,,由正弦定理得,
又,
∴,又,∴,∴,又,
∴.∵,
∴,∵,∴由余弦定理可得,
∴,可得.
故选：C
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.
6．B
【解析】
根据整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出的值.
【详解】
依题意是奇函数.而为奇函数，为偶函数，所以为偶函数，故，也即，化简得，所以.
故选：B
本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.
7．B
【解析】
根据抛物线定义得，即可解得结果.
【详解】
因为，所以.
故选B
本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．C
【解析】
首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.
【详解】
设公差为d，由题知，
，
解得，，
所以数列为，
故.
故选：C.
本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.
9．D
【解析】
当时，函数周期为，画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数和有图像两个交点，计算，，根据图像得到答案.
【详解】
当时，，故函数周期为，画出函数图像，如图所示：
方程，即，即函数和有两个交点.
，，故，，，，.
根据图像知：.
故选：.

本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键.
10．C
【解析】
利用复数的四则运算可得，即可得答案.
【详解】
∵，∴，
∴，∴复数的虚部为.
故选：C.
本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题.
11．A
【解析】
分析：题设中复数满足的等式可以化为，利用复数的四则运算可以求出.
详解：由题设有，故，故选A.
点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.
12．C
【解析】
简单判断可知函数关于对称，然后根据函数的单调性，并计算，结合对称性，可得结果.
【详解】
由，
可知函数关于对称
当时，，
可知在单调递增
则
又函数关于对称，所以
且在单调递减，
所以或，故或
所以或
故选：C
本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：，，考验分析能力，属中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（，）
【解析】
求出AB的长度，直线方程，结合△ABC的面积为5，转化为圆心到直线的距离进行求解即可．
【详解】
解：AB的斜率k，|AB|
5，
设△ABC的高为h，
则∵△ABC的面积为5，
∴S|AB|hh＝5，
即h＝2，
直线AB的方程为y﹣ax，即4x﹣3y+3a＝0
若圆x2+y2＝9上有且仅有四个不同的点C，
则圆心O到直线4x﹣3y+3a＝0的距离d，
则应该满足d＜R﹣h＝3﹣2＝1，
即1，
得|3a|＜5
得a，
故答案为：（，）

本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，求出直线方程和AB的长度，转化为圆心到直线的距离是解决本题的关键．
14．
【解析】
由题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，则它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求出球的体积.
【详解】
解：因为，为正三角形，
所以，
因为，所以三棱锥的三条侧棱两两垂直，
所以它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，
因为正方体的对角线长为，所以其外接球的半径为，
所以球的体积为
故答案为：
此题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.
15．3
【解析】
在直角三角形中设，，，利用两角差的正切公式求解.
【详解】
设，，
则
，
故.
故答案为：3
此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.
16．C
【解析】
根据确定是异面直线与所成的角，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】
由题意可得.因为，
所以是异面直线与所成的角，记为，
故.
故选：.

本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）分类讨论，去绝对值求出函数的解析式，根据一次函数的性质，得出的单调性，得出取最小值，即可求的值；
（2）由（1）得出，利用“乘1法”，令，化简后利用基本不等式求出的最小值，即可证出.
【详解】
（1）解：
当时，单调递减；当时，单调递增.
所以当时，取最小值.
（2）证明：由（1）可知.
要证明：，即证，
因为，，为正实数，
所以

.
当且仅当，即，，时取等号，
所以.
本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用，还运用“乘1法”和分类讨论思想，属于中档题.
18．（1）见解析，（2）（i）见解析（ii）时平均检验次数最少，约为594次．
【解析】
（1）由题意可得，的可能取值为和，分别求出其概率即可求出分布列，进而可求出期望.
（2）（i）由记，根据函数的单调性即可证出；记，当且取最小值时，该方案最合理，对进行赋值即可求解.
【详解】
（1）由题，的可能取值为 和
，故的分布列为

由记，因为，
所以 在上单调递增 ，
故越小，越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理
记
当且取最小值时，该方案最合理，
因为，，
所以时平均检验次数最少，约为次．
本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望，考查了分析问题、解决问题的能力，属于中档题.
19．（1），，，；（2）
【解析】
（1）根据第1组的频数和频率求出，根据频数、频率、的关系分别求出，进而求出不低于70分的概率；
（2）由（1）得，根据分层抽样原则，分别从抽出2人，2人，1人，并按照所在组对抽出的5人编号，列出所有2名负责人的抽取方法，得出第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的抽法数，由古典概型概率公式，即可求解.
【详解】
（1），，，
由频率分布表可得成绩不低于70分的概率约为：

（2）因为第3、4、5组共有50名学生，
所以利用分层抽样在50名学生中抽取5名学生，每组分别为：
第3组：人，第4组：人，第5组：人，
所以第3、4、5组分别抽取2人，2人，1人
设第3组的3位同学为、，第4组的2位同学为、，
第5组的1位同学为，则从五位同学中抽两位同学有10种可能抽法如下：
，，，，，，
，，，，
其中第4组的2位同学、至少有一位同学是负责人有7种抽法，
故所求的概率为.
本题考查补全频率分布表、古典概型的概率，属于基础题.
20．（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）求导得，由，且，得到，再利用函数在上单调递减论证.
（2）根据题意，求导，令，易知； ，易知当时，，；当时，函数单调递增，而，又，由零点存在定理得，使得，，使得，有从而得证.
【详解】
（1）依题意，，
因为，且，故，
故函数在上单调递减，
故.
（2）依题意，，
令，则；
而，可知当时，，
故函数在上单调递增，故当时，；
当时，函数单调递增，而，
又，故，使得，
故，使得，即函数单调递增，即单调递增；
故当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数有极小值.
本题考查利用导数研究函数的性质，还考查推理论证能力以及函数与方程思想，属于难题.
21．（Ⅰ）分布列见解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)至少增加2人.
【解析】
（Ⅰ）求出X的所有可能取值为9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．
（Ⅱ）当P（a≤X≤b）取到最大值时，求出a，b的可能值，然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．
（Ⅲ）利用前两问的结果，判断至少增加2人．
【详解】
(Ⅰ)X的取值为：9，12，15，18，24；
,,,
,，
X的分布列为：
X
9
12
15
18
24
P

故X的数学期望；
(Ⅱ)当P(a≤X≤b)取到最大值时,
a,b的值可能为：,或,或.
经计算,,，
所以P(a≤X≤b)的最大值为.
(Ⅲ)至少增加2人.
本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于中等题.
22．（1）；（2）不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.
【解析】
（1）分类时，恒成立，时，分离参数为，引入新函数，利用导数求得函数最值即可；
（2），导出导函数，问题转化为在上有解．再用导数研究的性质可得．
【详解】
解：（1）因为当时，恒成立，
所以，若，为任意实数，恒成立.
若，恒成立，
即当时，，
设，，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以当时，取得最大值.
，
所以，要使时，恒成立，的取值范围为.
（2）由题意，曲线为：.
令，
所以，
设，则，
当时，，
故在上为增函数，因此在区间上的最小值，
所以，
当时，，，
所以，
曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程在上有实数解.
而，即方程无实数解.
故不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.
本题考查不等式恒成立，考查用导数的几何意义，由导数几何把问题进行转化是解题关键．本题属于困难题．