江苏省黄桥中学2026届高三下学期5月质量检测试题数学试题含解析.doc

江苏省黄桥中学2026届高三下学期5月质量检测试题数学试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．的展开式中含的项的系数为（ ）
A． B．60 C．70 D．80
3．设，则关于的方程所表示的曲线是（ ）
A．长轴在轴上的椭圆 B．长轴在轴上的椭圆
C．实轴在轴上的双曲线 D．实轴在轴上的双曲线
4．已知函数若对区间内的任意实数，都有，则实数的取值范围是( ）
A． B． C． D．
5．设是虚数单位，若复数，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象(　　)
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
7．复数（为虚数单位），则等于（ ）
A．3 B．
C．2 D．
8．已知锐角满足则（ ）
A． B． C． D．
9．函数的大致图象是
A． B． C． D．
10．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为，则（ ）
A． B． C． D．
11．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形为朱方，正方形为青方”，则在五边形内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）

A． B． C． D．
12．将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区间上单调递减，那么实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是__________．
14．设，满足约束条件，若的最大值是10，则________.
15．已知集合，若，则__________．
16．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线l交抛物线C：于点P，点F为C的焦点．圆心不在y轴上的圆M与直线l，PF，x轴都相切，设M的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若直线与曲线E相切于点，过Q且垂直于的直线为，直线，分别与y轴相交于点A，当线段AB的长度最小时，求s的值．
18．（12分）已知函数（是自然对数的底数，）.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上有两个极值点，且恒成立，求满足条件的的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.
19．（12分）已知矩阵的一个特征值为4，求矩阵A的逆矩阵.
20．（12分）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，且垂直于底面， ，分别是的中点.

（1）证明：平面平面；
（2）已知点在棱上且，求直线与平面所成角的余弦值.
21．（12分）某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：

满意
不满意
男

女

是否有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？
若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了人发放价值元的购物券．若在获得了元购物券的人中随机抽取人赠其纪念品，求获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率．
附表及公式：．

22．（10分）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若对任意恒成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
将 整理成的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.
【详解】
解：，所以所对应的点为在第一象限.
故选:A.
本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把 当成进行计算.
2．B
【解析】
展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，由二项式的通项，可得解
【详解】
由题意，展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，
所以的展开式中含的项的系数为．
故选：B
本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
3．C
【解析】
根据条件，方程．即，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型．
【详解】
解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0，
方程，即，表示实轴在y轴上的双曲线，
故选C．
本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为是关键．
4．C
【解析】
分析：先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间内的任意实数，都有，得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围.
详解：由题得.
当a＜1时，，所以函数f（x）在单调递减，
因为对区间内的任意实数，都有，
所以，
所以
故a≥1，与a＜1矛盾，故a＜1矛盾.
当1≤a<e时，函数f(x)在[0,lna]单调递增，在(lna,1]单调递减.
所以
因为对区间内的任意实数，都有，
所以，
所以
即
令，
所以
所以函数g(a)在（1，e）上单调递减，
所以，
所以当1≤a<e时，满足题意.
当a时，函数f(x)在(0,1)单调递增,
因为对区间内的任意实数，都有，
所以,
故1+1，
所以
故
综上所述，a∈.
故选C.
点睛：本题的难点在于“对区间内的任意实数，都有”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.
5．A
【解析】
结合复数的除法运算和模长公式求解即可
【详解】
∵复数，∴，，则，
故选：A.
本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题
6．A
【解析】
由的最小正周期是，得，
即

，
因此它的图象向左平移个单位可得到的图象．故选A．
考点：函数的图象与性质．
三角函数图象变换方法：

7．D
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得，然后直接利用复数模的公式求解.
【详解】
，
所以，，
故选：D.
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.
8．C
【解析】
利用代入计算即可.
【详解】
由已知，，因为锐角，所以，，
即.
故选：C.
本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.
9．A
【解析】
利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.
【详解】
由题意可知函数为奇函数，可排除B选项；
当时，，可排除D选项；
当时，，当时，，
即，可排除C选项，
故选：A
本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．
10．B
【解析】
计算出的值，推导出，再由，结合数列的周期性可求得数列的前项和.
【详解】
由题意可知，则对任意的，，则，，
由，得，，，
，因此，.
故选：B.
本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
11．C
【解析】
首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解.
【详解】
因为正方形为朱方，其面积为9，
五边形的面积为，
所以此点取自朱方的概率为.
故选：C
本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.
12．B
【解析】
根据条件先求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.
【详解】
将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则，
设，
则当时，，，
即，
要使在区间上单调递减，
则得，得，
即实数的最大值为，
故选：B.
本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
∵，
∴ ，
∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点，
∴方程f(x)−g(x)=0有四个解，
即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解，
即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点，
，
作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下，

，
结合图象可知，
<b<2，
故答案为.
点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
14．
【解析】
画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果.
【详解】
画出不等式组表示的平面区域如下所示：

目标函数可转化为与直线平行，
数形结合可知当且仅当目标函数过点，取得最大值，
故可得，解得.
故答案为：.
本题考查由目标函数的最值求参数值，属基础题.
15．1
【解析】
分别代入集合中的元素，求出值，再结合集合中元素的互异性进行取舍可解.
【详解】
依题意，分别令，，，
由集合的互异性，解得，则.
故答案为：
本题考查集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．确定集合中元素，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
16．
【解析】
利用复数的乘法求解再根据纯虚数的定义求解即可.
【详解】
解：复数为纯虚数,

解得．
故答案为：．
本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），（2）．
【解析】
根据题意设，可得PF的方程，根据距离即可求出；
点Q处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，根据导数的几何意义和斜率公式，求，并构造函数，利用导数求出函数的最值．
【详解】
因为抛物线C的方程为，所以F的坐标为，
设，因为圆M与x轴、直线l都相切，l平行于x轴，
所以圆M的半径为，点，
则直线PF的方程为，即，
所以，又m，，
所以，即，
所以E的方程为，，
设，，，
由知，点Q处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，
由，所以，，
所以，，
所以，．
令，，
则，
由得，由得，
所以在区间单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值也是最小值，即AB取得最小值
此时．
本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及利用导数求函数最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于难题．
18．（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）在上恒成立，只需，注意到；
（3）在上有两根，令，求导可得在上单调递减，在上单调递增，所以且，，，求出的范围即可.
【详解】
（1）因为，所以，
当时，，
所以切线方程为，即.
（2），.
因为函数在区间上单调递增，所以，且恒成立，
即，
所以，即，又，
故，所以实数的取值范围是.
（3）.
因为函数在区间上有两个极值点，
所以方程在上有两不等实根，即.
令，则，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得且.
又由，所以，
且当和时，单调递增，
当时，单调递减，是极值点，
此时
令，则，
所以在上单调递减，所以.
因为恒成立，所以.
若，取，则，
所以.
令，则，.
当时，；当时，.
所以，
所以在上单调递增，所以，
即存在使得，不合题意.
满足条件的的最小值为-4.
本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.
19．.
【解析】
根据特征多项式可得，可得，进而可得矩阵A的逆矩阵.
【详解】
因为矩阵的特征多项式，所以，所以.
因为，且，
所以.
本题考查矩阵的特征多项式以及逆矩阵的求解，是基础题.
20．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由平面几何知识可得出四边形是平行四边形，可得面，再由面面平行的判定可证得面面平行；
（2）由（1）可知，两两垂直，故建立空间直角坐标系，可求得面PAB的法向量，再运用线面角的向量求法，可求得直线与平面所成角的余弦值.
【详解】
（1），,又，，,
而、分别是、的中点，， 故面,
又且，故四边形是平行四边形,面,
又，是面内的两条相交直线, 故面面.
（2）由（1）可知，两两垂直，故建系如图所示,则
，
，，,
设是平面PAB的法向量,，
令，则,,
直线NE与平面所成角的余弦值为.

本题考查空间的面面平行的判定，以及线面角的空间向量的求解方法，属于中档题.
21．有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；.
【解析】
由题得，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；
获得了元购物券的人中男顾客有人，记为，；女顾客有人，记为，，，．从中随机抽取人，所有基本事件有个，其中仅有1人是女顾客的基本事件有个，进而求出获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率.
【详解】
解析：由题得
所以，有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．
获得了元购物券的人中男顾客有人，记为，；女顾客有人，记为，，，．
从中随机抽取人，所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共个．
其中仅有1人是女顾客的基本事件有：，，，，，，，，共个．
所以获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率．
本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题．
22． (1)；(2).
【解析】
（1）通过讨论的范围，分为，，三种情形，分别求出不等式的解集即可；
（2）通过分离参数思想问题转化为，根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到的范围.
【详解】
(1)当时，原不等式等价于，解得，所以，
当时，原不等式等价于，解得，所以此时不等式无解，
当时，原不等式等价于，解得，所以
综上所述，不等式解集为.
(2)由，得，
当时，恒成立，所以；
当时，.
因为
当且仅当即或时，等号成立，
所以；
综上的取值范围是.
本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题.