哈尔滨市第九中学2026届高三下学期期末质量检测试题数学试题含解析.doc

哈尔滨市第九中学2026届高三下学期期末质量检测试题数学试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示程序框图，若判断框内为“”，则输出（ ）

A．2 B．10 C．34 D．98
2．己知集合，，则（ ）
A． B． C． D．Æ
3．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方体中，已知、、分别是线段上的点，且.则下列直线与平面平行的是（ ）

A． B． C． D．
5．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
6．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数是偶函数，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A．2 B． C．6 D．8
9．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．设为等差数列的前项和，若，则
A． B．
C． D．
11．空气质量指数是反映空气状况的指数，指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）

A．这20天中指数值的中位数略高于100
B．这20天中的中度污染及以上（指数）的天数占
C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
12．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布，且．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ）
A．40 B．60 C．80 D．100
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．二项式的展开式中所有项的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为______.
14．已知平面向量，，且，则向量与的夹角的大小为________．
15．已知函数，若，则___________.
16．已知函数在处的切线与直线平行，则为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且.

（1）求证：平面；
（2）求锐二面角的余弦值.
18．（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：
考试情况
男学员
女学员
第1次考科目二人数
1200
800
第1次通过科目二人数
960
600
第1次未通过科目二人数
240
200
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.
19．（12分）设为坐标原点，动点在椭圆：上，该椭圆的左顶点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆外一点满足，平行于轴，，动点在直线上，满足.设过点且垂直的直线，试问直线是否过定点？若过定点，请写出该定点，若不过定点请说明理由.
20．（12分）已知a>0，b>0，a+b=2.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）证明：
21．（12分）已知抛物线，直线与交于，两点，且.
（1）求的值；
（2）如图，过原点的直线与抛物线交于点，与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，证明：直线过定点.

22．（10分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数，使得，证明：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解.
【详解】
由题意运行程序可得：
，，，；
，，，；
，，，；
不成立，此时输出.
故选：C.
本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题.
2．C
【解析】
先化简，再求.
【详解】
因为，
又因为，
所以，
故选：C.
本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.
3．C
【解析】
利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值.
【详解】
.
当时，；
当时，由，
可得，
两式相减，可得，故，
因为也适合上式，所以.
依题意，，
故.
故选：C.
本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.
4．B
【解析】
连接，使交于点，连接、，可证四边形为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即可得解．
【详解】
如图，连接，使交于点，连接、，则为的中点，

在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
且，
、分别为、的中点，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，因此，平面.
故选：B.
本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．
5．A
【解析】
根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.
【详解】
因为双曲线（），
所以，又因为渐近线方程为，
所以，
所以.
故选：A.
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6．B
【解析】
利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率.
【详解】
20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率.
故选:B.
本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.
7．A
【解析】
先求出的解析式，再求出的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数满足的等式，从而可求其最小值.
【详解】
的图象向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数解析式为，
故.
令，，解得，.
因为为偶函数，故直线为其图象的对称轴，
令，，故，，
因为，故，当时，.
故选：A.
本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量做加减，比如把的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为，另外，如果为正弦型函数图象的对称轴，则有，本题属于中档题．
8．A
【解析】
先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果.
【详解】
由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2，
所以该四棱锥的体积为.
故选A
本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型.
9．D
【解析】
构造函数，令，则，
由可得，
则是区间上的单调递减函数，
且，
当x∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0
∵f(x)是奇函数,当x∈(-1,0)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0
∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.
综上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范围是.
本题选择D选项.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．
10．C
【解析】
根据等差数列的性质可得，即，
所以，故选C．
11．C
【解析】
结合题意，根据题目中的天的指数值，判断选项中的命题是否正确.
【详解】
对于，由图可知天的指数值中有个低于，个高于，其中第个接近，第个高于，所以中位数略高于，故正确.
对于，由图可知天的指数值中高于的天数为，即占总天数的，故正确.
对于，由图可知该市月的前天的空气质量越来越好，从第天到第天空气质量越来越差，故错误.
对于，由图可知该市月上旬大部分指数在以下，中旬大部分指数在以上，所以该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故正确.
故选：
本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.
12．D
【解析】
由正态分布的性质，根据题意，得到，求出概率，再由题中数据，即可求出结果.
【详解】
由题意，成绩X近似服从正态分布，
则正态分布曲线的对称轴为，
根据正态分布曲线的对称性，求得，
所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为人，
故选:.
本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由二项式系数性质求出，由二项展开式通项公式得出常数项的项数，从而得常数项．
【详解】
由题意，．
展开式通项为，由得，
∴常数项为．
故答案为：．
本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，掌握二项展开式通项公式是解题关键．
14．
【解析】
由，解得，进而求出，即可得出结果.
【详解】
解：因为，所以，解得，所以，所以向量与的夹角的大小为．
都答案为：.
本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题．
15．
【解析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用函数奇偶性的性质求解即可.
【详解】
因为函数，其定义域为，
所以其定义域关于原点对称，
又，
所以函数为奇函数，因为，
所以.
故答案为:
本题考查函数奇偶性的判断及其性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
16．
【解析】
根据题意得出，由此可得出实数的值.
【详解】
，，直线的斜率为，
由于函数在处的切线与直线平行，
则.
故答案为：.
本题考查利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）证明后可得平面，从而得，结合已知得线面垂直；
（2）以为坐标原点，以为轴，为轴，为建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求出二面角的面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值．
【详解】
（1）证明：因为，为中点，
所以，又，，
所以平面，又平面，
所以，又，，
所以平面.
（2）由已知及（1）可知，，两两垂直，所以以为坐标原点，以为轴，为轴，为建立空间直角坐标系，设，则
，，，，，.
设平面的法向量，则
，即，令，则；
设平面的法向量，则
，即，令，则，
所以.
故锐二面角的余弦值为.
本题考查证明线面垂直，解题时注意　线面垂直与线线垂直的相互转化．考查求二面角，求空间角一般是建立空间直角坐标系，用向量法易得结论．
18．（1）；（2）见解析.
【解析】
事件表示男学员在第次考科目二通过，事件表示女学员在第次考科目二通过（其中）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为元可能取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望．
【详解】
事件表示男学员在第次考科目二通过，
事件表示女学员在第次考科目二通过（其中）.
（1）事件表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.

.
（2）的可能取值为400，600，800，1000，1200.
，
，
，
，
.
则的分布列为：

400
600
800
1000
1200

故 (元).
本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题.
19．（1）；（2）见解析
【解析】
（1）根据点到直线的距离公式可求出a的值，即可得椭圆方程；
（2）由题意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），根据，可得y1＝2y0，由，可得2x0+2y0t＝6，再根据向量的运算可得，即可证明．
【详解】
（1）左顶点A的坐标为（﹣a，0），∵＝，∴|a﹣5|＝3，解得a＝2或a＝8（舍去），∴椭圆C的标准方程为+y2＝1，
（2）由题意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），则依题意可知y1≠y0，得（x0﹣2 x0，y1﹣2y0） （0，y1﹣y0）=0，整理可得y1＝2y0，或y1＝y0 （舍），，得（x0，2y0）（2﹣x0，t﹣2y0）＝2，整理可得2x0+2y0t＝x02+4y02+2＝6，由（1）可得F（，0），∴＝（﹣x0，﹣2y0），∴•＝（﹣x0，﹣2y0）（2，t）＝6﹣2x0﹣2y0t＝0，∴NF⊥OP，故过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F．
本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的关系，向量的运算，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题.
20．（Ⅰ）最小值为；（Ⅱ）见解析
【解析】
（1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果；
（2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.
【详解】
（Ⅰ）
则
当且仅当，即，时，
所以的最小值为．
（Ⅱ）要证明：，
只需证：，
即证明：，
由，
也即证明：．
因为，
所以当且仅当时，有，
即，当时等号成立．
所以
本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题.
21．（1）；（2）见解析
【解析】
（1）联立直线和抛物线，消去可得，求出，，再代入弦长公式计算即可.
（2）由（1）可得，设，计算直线的方程为，代入求出，即可求出，再代入抛物线方程，求出，最后计算直线的斜率，求出直线的方程，化简可得到恒过的定点.
【详解】
（1）由，消去可得，
设，，则，.
，
解得或(舍去)，
.
（2）证明：由（1）可得，设，
所以直线的方程为，
当时，，则，
代入抛物线方程，可得，，
所以直线的斜率，
直线的方程为，
整理可得，故直线过定点.
本题第一问考查直线与抛物线相交的弦长问题，需熟记弦长公式.第二问考查直线方程和直线恒过定点问题，需有较强的计算能力，属于难题.
22．（1）当时，在上递增，在上递减；
当时，在上递增，在上递减，在上递增；
当时，在上递增；
当时，在上递增，在上递减，在上递增；
（2）证明见解析
【解析】
（1）对求导，分，，进行讨论，可得的单调性；
（2）在定义域内是是增函数，由（1）可知，，设，可得，则，设，对求导，利用其单调性可证明.
【详解】
解：的定义域为，
因为，
所以，
当时，令，得，令，得；
当时，则，令，得，或，
令，得；
当时，，
当时，则，令，得；
综上所述，当时，在上递增，在上递减；
当时，在上递增，在上递减，在上递增；
当时，在上递增；
当时，在上递增，在上递减，在上递增；
（2）在定义域内是是增函数，由（1）可知，
此时，设，
又因为，则，
设，则
对于任意成立，
所以在上是增函数，
所以对于，有，
即，有，
因为，所以，
即，又在递增，
所以，即.
本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想，综合性大，属于难题.