2026届湖北省黄冈市罗田县第一中学高三模拟（最后一次）数学试题含解析.doc

2026届湖北省黄冈市罗田县第一中学高三模拟（最后一次）数学试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

A．08 B．07 C．02 D．01
2．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）

A．134 B．67 C．182 D．108
3．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，，分别为角，，的对边，若的面为，且，则（　　）
A．1 B． C． D．
5．复数的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
6．记为等差数列的前项和.若，，则（ ）
A．5 B．3 C．－12 D．－13
7．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
9．已知集合，，若，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
10．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u= lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（ ）
A．e B．e2 C．ln2 D．2ln2
11．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f(x)＝,若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，内角所对的边分别是，若，，则__________.
14．若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为_____
15．设复数满足,则_________.
16．对于任意的正数，不等式恒成立，则的最大值为_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了人，其中女性人，男性人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：

（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；
（2）根据统计数据建立一个列联表；
（3）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.
附：

18．（12分）如图，是矩形，的顶点在边上，点，分别是，上的动点（的长度满足需求）.设，，，且满足.

（1）求；
（2）若，，求的最大值.
19．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，．
（1）若，证明：．
（2）若，，求的面积．
20．（12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．

21．（12分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm，宽26 cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm和y cm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．

（1）试用x，y表示L；
（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm，每个菱形的面积为130 cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？
22．（10分）已知．
（1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围；
（2）求不等式的解集．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.
考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.
2．B
【解析】
根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.
【详解】
解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，
则小正方形的边长为，小正方形的面积，
则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为
，
故选：B.
本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.
3．A
【解析】
根据指数函数的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，将与对比，即可求出结论.
【详解】
由题知，
，则.
故选:A.
本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..
4．D
【解析】
根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．
【详解】
解：由，
得，
∵ ，
∴ ，
即
即，
则，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即，
则，
故选D．
本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．
5．D
【解析】
根据复数的除法运算，化简出，即可得出虚部.
【详解】
解：=，
故虚部为-2.
故选：D.
本题考查复数的除法运算和复数的概念.
6．B
【解析】
由题得，，解得，，计算可得.
【详解】
，，，，解得，，
.
故选：B
本题主要考查了等差数列的通项公式，前项和公式，考查了学生运算求解能力.
7．A
【解析】
根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.
【详解】
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称
又在上是增函数 在上是减函数
，即
对于恒成立 在上恒成立
，即的取值范围为：
本题正确选项：
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.
8．B
【解析】
根据所求双曲线的渐近线方程为，可设所求双曲线的标准方程为k．再把点代入，求得 k的值，可得要求的双曲线的方程．
【详解】
∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为
故选：B
本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
9．B
【解析】
因为,所以,所以或.
若，则,满足.
若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.
10．B
【解析】
将u= lny，v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值.
【详解】
解：将u= lny，v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得：
，即，
当时，取到最大值2，
因为在上单调递增，则取到最大值.
故选：B.
本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.
11．C
【解析】
根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.
【详解】
由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.
故选：C
本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.
12．D
【解析】
由已知可将问题转化为：y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y＝kx－的下方，即可求得：k＞；再求得直线y＝kx－和y＝ln x相切时，k＝；结合图象即可得解.
【详解】
若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，
则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，

故点(1,0)在直线y＝kx－的下方．
∴k×1－＞0，解得k＞.
当直线y＝kx－和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，
则k＝＝，∴m＝.
此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，
故所求k的取值范围是，
故选D..
本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
先求得的值，由此求得的值，再利用正弦定理求得的值.
【详解】
由于，所以，所以.由正弦定理得.
故答案为：
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.
14．2025
【解析】
利用赋值法，结合展开式中各项系数之和列方程，由此求得的值.再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.
【详解】
依题意，令，解得，所以，则二项式的展开式的通项为：

令，得，所以的系数为.
故答案为：2025
本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题.
15．.
【解析】
利用复数的运算法则首先可得出，再根据共轭复数的概念可得结果.
【详解】
∵复数满足，
∴，∴，
故而可得，故答案为.
本题考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于基础题．
16．
【解析】
根据均为正数，等价于恒成立，令，转化为恒成立，利用基本不等式求解最值.
【详解】
由题均为正数，不等式恒成立，等价于
恒成立，
令则，

当且仅当即时取得等号，
故的最大值为.
故答案为：
此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）图形见解析，理由见解析；（2）见解析；（3）犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系
【解析】
（1）利用等高条形图中两个深颜色条的高比较得出性别与雾霾天外出戴口罩有关系；
（2）填写列联表即可；
（3）由表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．
【详解】
解：（1）在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深色条的高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系.
（2）列联表如下：

戴口罩
不戴口罩
合计
女性

男性

合计

（3）由（2）中数据可得：.
所以，在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系.
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了登高条形图的应用问题，属于基础题．
18．（1）（2）
【解析】
（1）利用正弦定理和余弦定理化简，根据勾股定理逆定理求得.
（2）设，由此求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.
【详解】
（1）设，，，由，
根据正弦定理和余弦定理得.
化简整理得.由勾股定理逆定理得.
（2）设，，由（1）的结论知.
在中，，由，所以.
在中，，由，所以.
所以，
由，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为.
本小题考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函数性质及其三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转换思想，应用意识.
19．（1）见解析（2）
【解析】
（1）由余弦定理及已知等式得出关系，再由正弦定理可得结论；
（2）由余弦定理和已知条件解得，然后由面积公式计算．
【详解】
解：（1）由余弦定理得，
由得到，由正弦定理得．
因为，，所以．
（2）由题意及余弦定理可知，①
由得，即，②
联立①②解得，．所以．
本题考查利用正余弦定理解三角形．考查三角形面积公式，由已知条件本题主要是应用余弦定理求出边．解题时要注意对条件的分析，确定选用的公式．
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（1）依题意，由点到直线的距离公式可得，又有，联立可求离心率；
（2）由（1）设椭圆方程，再设直线方程，与椭圆方程联立，求得，令，可得，即得椭圆方程.
试题解析：（Ⅰ）过点的直线方程为，
则原点到直线的距离，
由，得，解得离心率.
（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为.
依题意，圆心是线段的中点，且.
易知，不与轴垂直.
设其直线方程为，代入（1）得
.
设，则，.
由，得，解得.
从而.
于是.
由，得，解得.
故椭圆的方程为.
21．（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由条件可先求水平方向每根支条长，竖直方向每根支条长为，因此所需木料的长度之和L=（2）先确定范围由可得，再由面积为130 cm2，得，转化为一元函数，令，则在上为增函数，解得L有最小值．
试题解析：（1）由题意，水平方向每根支条长为cm，竖直方向每根支条长为cm，菱形的边长为cm．从而，所需木料的长度之和L=cm．
（2）由题意，，即，又由可得．所以．
令，其导函数在上恒成立，故在上单调递减，所以可得．则
=．
因为函数和在上均为增函数，所以在上为增函数，故当，即时L有最小值．答：做这样一个窗芯至少需要cm长的条形木料．
考点：函数应用题
22．（1）；（2）.
【解析】
（1）依据能成立问题知，，然后利用绝对值三角不等式求出的最小值，即求得的取值范围；（2）按照零点分段法解含有两个绝对值的不等式即可。
【详解】
因为不等式有实数解，所以
因为，所以
故。

①当时，，所以，故
②当时，，所以，故
③当时，，所以，故
综上，原不等式的解集为。
本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用。