2025-2026学年河南省济源市第四中学高三下学期第三次统练数学试题含解析.doc

2025-2026学年河南省济源市第四中学高三下学期第三次统练数学试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若等差数列的前项和为，且，，则的值为（ ）．
A．21 B．63 C．13 D．84
2．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知各项都为正的等差数列中，，若，，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）

A． B．
C． D．
5．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
6．曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
7．正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：

根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为
A． B．
C． D．
9．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列对任意的有成立，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点，复数:满足.则等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列中，，()，则等于（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线与直线交于点，则长度的最大值为____．
14．已知集合，若，则__________．
15．已知是抛物线的焦点，过作直线与相交于两点，且在第一象限，若，则直线的斜率是_________．
16．已知内角的对边分别为外接圆的面积为，则的面积为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于311的为“长纤维”，其余为“短纤维”）
纤维长度

甲地（根数）
3
4
4
5
4
乙地（根数）
1
1
2
11
6
（1）由以上统计数据，填写下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过1.125的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.

甲地
乙地
总计
长纤维

短纤维

总计

附：（1）；
（2）临界值表；

1．11
1.15
1.125
1.111
1.115
1.111

2.716
3.841
5.124
6.635
7.879
11.828
（2）现从上述41根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为，求的分布列及数学期望.
18．（12分）为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，其中近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.

（1）请利用正态分布的知识求；
（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费：
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
获赠的随机话费（单位：元）

概率

市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？
附：①；②若；则，，.
19．（12分）己知的内角的对边分别为.设
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
20．（12分）如图，在正四棱柱中，，，过顶点，的平面与棱，分别交于，两点（不在棱的端点处）.

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：与不垂直；
（3）若平面与棱所在直线交于点，当四边形为菱形时，求长.
21．（12分）已知三棱锥P-ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥P-ABC中：

（1）证明：平面平面ABC；
（2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求直线MA与平面MBC所成角的正弦值.
22．（10分）已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点).
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线,为椭圆的右顶点. 若直线交于点，直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求，，然后结合等差数列的求和公式即可求解．
【详解】
解：因为，，
所以，解可得，，，
则．
故选：B．
本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题．
2．A
【解析】
利用特殊点的坐标代入，排除掉C，D；再由判断A选项正确.
【详解】
，排除掉C，D；
，
，，
.
故选：A．
本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.
3．A
【解析】
试题分析：设公差为
或（舍），故选A.
考点：等差数列及其性质.
4．A
【解析】
根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.
【详解】
由图像知，，，解得，
因为函数过点，所以，
，即，
解得，因为，所以，
.
故选：A
本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.
5．B
【解析】
因为将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，可得，结合已知，即可求得答案.
【详解】
将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
，
又和的图象都关于对称，
由，
得，，
即，
又，
.
故选：B.
本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
6．A
【解析】
根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率，即可得出答案.
【详解】
解：由于，根据导数的几何意义得：
，
即切线斜率，
当且仅当等号成立，
所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3.
故选：A.
本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.
7．D
【解析】
如图所示，设的中点为，的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，利用正弦定理可得，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.
【详解】

如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，.
因为，故，
因为，故.
由正弦定理可得，故，又因为，故.
因为，故平面，所以，
因为平面，平面，故，故，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为.
故选：D.
本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.
8．C
【解析】
由题可得，解得，
则，，
所以这部分男生的身高的中位数的估计值为，故选C．
9．A
【解析】
根据分段函数解析式，先求得的值，再求得的值.
【详解】
依题意，.
故选：A
本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.
10．B
【解析】
观察已知条件，对进行化简，运用累加法和裂项法求出结果.
【详解】
已知，则，所以有，
，
，

，两边同时相加得，又因为，所以.
故选：
本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法和裂项法，遇到形如时就可以采用裂项法进行求和，需要掌握数列中的方法，并能熟练运用对应方法求解.
11．A
【解析】
根据复数的几何意义得出复数，进而得出，由得出可计算出，由此可计算出.
【详解】
由于复数对应复平面上的点，，则，
，，因此，.
故选：A.
本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.
12．A
【解析】
分别代值计算可得，观察可得数列是以3为周期的周期数列，问题得以解决.
【详解】
解：∵，()，
，
，
，
，
…，
∴数列是以3为周期的周期数列，
，
，
故选：A.
本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据题意可知,直线与直线分别过定点,且这两条直线互相垂直,由此可知,其交点在以为直径的圆上,结合图形求出线段的最大值即可.
【详解】
由题可知,直线可化为,
所以其过定点,
直线可化为,
所以其过定点,且满足,
所以直线与直线互相垂直,
其交点在以为直径的圆上,作图如下:

结合图形可知,线段的最大值为,
因为为线段的中点,
所以由中点坐标公式可得,
所以线段的最大值为.
故答案为:
本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定义得到交点在以为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.
14．1
【解析】
分别代入集合中的元素，求出值，再结合集合中元素的互异性进行取舍可解.
【详解】
依题意，分别令，，，
由集合的互异性，解得，则.
故答案为：
本题考查集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．确定集合中元素，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
15．
【解析】
作出准线，过作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率．
【详解】
设是准线，过作于，过作于，过作于，如图，
则，，∵，∴，∴，
∴，，
∴，∴直线斜率为．
故答案为：．
本题考查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离，用平面几何方法求解．
16．
【解析】
由外接圆面积，求出外接圆半径，然后由正弦定理可求得三角形的内角，从而有，于是可得三角形边长，可得面积．
【详解】
设外接圆半径为，则，
由正弦定理，得，
∴，，．
故答案为：．
本题考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的内角，然后可得边长，从而得面积，掌握正弦定理是解题关键．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）可以根据所给表格填出列联表，利用列联表求出，结合所给数据，应用独立性检验知识可作出判断；（2）写出的所有可能取值，并求出对应的概率，可列出分布列并进一步求出的数学期望．试题解析：（Ⅰ）根据已知数据得到如下列联表：

甲地
乙地
总计
长纤维
9
16
25
短纤维
11
4
15
总计
21
21
41
根据列联表中的数据，可得
所以，在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．
（Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为，
的可能取值为：1,1,2,3，
，，
，．
∴ 的分布列为：

1
1
2
3

∴ ．
18．（1）；（2）估计此次活动可能赠送出100000元话费
【解析】
（1）根据正态分布的性质可求的值.
（2）设某家长参加活动可获赠话费为元，利用题设条件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得计此次活动可能赠送出的话费数额.
【详解】
（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得

又，，
所以

；
（2）根据题意，某家长参加活动可获赠话费的可能值有10，20，30，40元，且每位家长获得赠送1次、2次话费的概率都为，
得10元的情况为低于平均值，概率，
得20元的情况有两种，得分低于平均值，一次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率，
得30元的情况为：得分不低于平均值，一次获赠10元话费，另一次获赠20元话费，其概率为，
得40元的其情况得分不低于平均值，两次机会均获20元话费，概率为.
所以变量的分布列为：

某家长获赠话费的期望为.
所以估计此次活动可能赠送出100000元话费.
本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象的对称性来进行，本题属于中档题.
19．（1）（2）
【解析】
（1）由正弦定理将，转化，
即，由余弦定理求得， 再由平方关系得再求解.
（2）由，得，结合再求解.
【详解】
（1）由正弦定理，得，
即，则，
而，又，解得，
故.
（2）因为，则，
因为，故，
故，
解得，
故，
则.
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
（1）由平面与平面没有交点，可得与不相交，又与共面，所以，同理可证，得证；（2）由四边形是平行四边形，且，则不可能是矩形，所以与不垂直；（3）先证，可得为的中点，从而得出是的中点，可得.
【详解】
（1）依题意都在平面上，
因此平面，平面，
又平面，平面，
平面与平面平行，即两个平面没有交点，
则与不相交，又与共面，
所以，同理可证，
所以四边形是平行四边形；
（2）因为，两点不在棱的端点处，所以，
又四边形是平行四边形，，
则不可能是矩形，所以与不垂直；
（3）如图，延长交的延长线于点，

若四边形为菱形，则，易证，
所以，即为的中点，
因此，且，所以是的中位线，
则是的中点，所以.
本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线段长的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题.
21．（1）见解析（2）
【解析】
(1) 设的中点为,连接.由展开图可知,，.为的中点,则有,根据勾股定理可证得,
则平面,即可证得平面平面．
(2) 由线面成角的定义可知是直线与平面所成的角，
且,最大即为最短时,即是的中点
建立空间直角坐标系,求出与平面的法向量利用公式即可求得结果.
【详解】
（1）设AC的中点为O，连接BO，PO．
由题意，得，，．
在中，，O为AC的中点，，
在中，，，，，．
，平面，平面ABC，
平面PAC，平面平面ABC．

（2）由（1）知，，，平面PAC，
是直线BM与平面PAC所成的角，
且，
当OM最短时，即M是PA的中点时，最大．
由平面ABC，，
，，
于是以OC，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系，

则，
，
设平面MBC的法向量为，直线MA与平面MBC所成角为，
则由得：.
令，得，，即.
则.
直线MA与平面MBC所成角的正弦值为.
本题考查面面垂直的证明,考查线面成角问题,借助空间向量是解决线面成角问题的关键,难度一般.
22．（1）（2）定值为0.
【解析】
（1）根据直线方程求焦点坐标，即得c，再根据离心率得，（2）先设直线方程以及各点坐标，化简，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得结果.
【详解】
（1）因为直线过椭圆的右焦点,所以，
因为离心率为，所以，
（2），设直线，
则

因此

由得，
所以，
因此
即
本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.