2026年河南省洛阳市孟津县第二高级中学第二学期高三期末教学质量检测试题数学试题含解析.doc

2026年河南省洛阳市孟津县第二高级中学第二学期高三期末教学质量检测试题数学试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，，若，对任意恒有，在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则公比 的值为（    ）
A． B． C． 或 D． 或
3．设集合则（ ）
A． B． C． D．
4．若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知（i为虚数单位，），则ab等于（ ）
A．2 B．-2 C． D．
6．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( )
A． B．
C．（） D．（）
7．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）

A． B． C． D．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）

A． B． C． D．
9．已知，，分别是三个内角，，的对边，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知集合，则全集则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
11．若实数、满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知全集，集合，则=（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．数据的标准差为_____．
14．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设分别为人数、猪价，则___，___.
15．在直角三角形中，为直角，，点在线段上，且，若，则的正切值为_____.
16．如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式为______________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.

（Ⅰ）若，求曲线的方程；
（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.
18．（12分）一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本（万元）与该月产量（万件）之间有如下一组数据：

1.08
1.12
1.19
1.28
1.36
1.48
1.59
1.68
1.80
1.87

2.25
2.37
2.40
2.55
2.64
2.75
2.92
3.03
3.14
3.26
（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（2）①建立月总成本与月产量之间的回归方程；②通过建立的关于的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）
附注：①参考数据：，，，，.
②参考公式：相关系数，，.
19．（12分）已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，过左焦点的直线交椭圆于、两点（异于、两点），当直线垂直于轴时，四边形的面积为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线、的交点为；试问的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
20．（12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）.

（1）请用角表示清洁棒的长；
（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.
21．（12分）如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面.

（1）证明：平面.
（2）三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
22．（10分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）

将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”．
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表：

并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出人，进行体育锻炼体会交流．
（i）求这人中，男生、女生各有多少人？
（ii）从参加体会交流的人中，随机选出人发言，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
临界值表：

0.10
0.05
0.025
0.010
0
2.706
3.841
5.024
6.635

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
根据的零点和最值点列方程组，求得的表达式（用表示），根据在上有且只有一个最大值，求得的取值范围，求得对应的取值范围，由为整数对的取值进行验证，由此求得的最大值.
【详解】
由题意知，则其中，．
又在上有且只有一个最大值，所以，得，即，所以，又，因此．
①当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；
②当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；
③当时，，此时取可使成立，当时，，所以当时，成立；
综上所得的最大值为．
故选:C
本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
2．D
【解析】
由成等差数列得，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.
【详解】
由题意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=
故选：D．
本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．
3．C
【解析】
直接求交集得到答案.
【详解】
集合，则.
故选：.
本题考查了交集运算，属于简单题.
4．A
【解析】
先确定集合中的元素，然后由交集定义求解．
【详解】
，.
故选：A．
本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．
5．A
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解．
【详解】
，
，得，．
．
故选：．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．
6．B
【解析】
如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案.
【详解】
如图所示：连接，根据垂直平分线知，
故，故轨迹为双曲线，
，，，故，故轨迹方程为.
故选：.

本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.
7．A
【解析】
列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式可得结果.
【详解】
金、木、水、火、土任取两类，共有：
金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，
其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，
所以2类元素相生的概率为，故选A.
本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
8．C
【解析】
根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥，并且平面SAC平面ABC，，过S作，连接BD ，，再求得其它的棱长比较下结论.
【详解】
如图所示：

由三视图得：该几何体是一个三棱锥，且平面SAC 平面ABC，，
过S作，连接BD，则 ，
所以 ， ，，，
该几何体中的最长棱长为.
故选：C
本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
9．C
【解析】
原式由正弦定理化简得，由于，可求的值.
【详解】
解：由及正弦定理得.
因为，所以代入上式化简得.
由于，所以.
又，故.
故选：C.
本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.
10．D
【解析】
化简集合，根据对数函数的性质，化简集合，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论.
【详解】
由，
则，故，
由知，，因此，
，，
，
故选:D
本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.
11．D
【解析】
根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案
【详解】
作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立，得，可得点，
由得，平移直线，
当该直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，
此时取最小值，即.
故选：D.
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．
12．D
【解析】
先计算集合，再计算，最后计算．
【详解】
解：
，

，
．
故选：．
本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
先计算平均数再求解方差与标准差即可.
【详解】
解：样本的平均数,
这组数据的方差是

标准差,
故答案为：
本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.
14．10 900
【解析】
由题意列出方程组，求解即可.
【详解】
由题意可得，解得.
故答案为10 900
本题主要考查二元一次方程组的解法，用消元法来求解即可，属于基础题型.
15．3
【解析】
在直角三角形中设，，，利用两角差的正切公式求解.
【详解】
设，，
则
，
故.
故答案为：3
此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.
16．，
【解析】
根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得，，结合图象求得该函数的最小正周期，可得出，再将点代入函数解析式，求出的值，即可求得该函数的解析式.
【详解】
由图象可知，，，，，
从题图中可以看出，从时是函数的半个周期，则，.
又，，得，取，
所以，．
故答案为：，．
本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）和.；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
(Ⅰ)由，可得，解出即可；
(Ⅱ)设点，设直线，与椭圆方程联立可得：，利用，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，且，设直线的方程为：，与椭圆方程联立可得： ，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、基本不等式的性质，即可求解.
【详解】
(Ⅰ)由题意：，
，解得，
则曲线的方程为：和.
(Ⅱ)证明：由题意曲线的渐近线为：，
设直线，
则联立，得，
，解得：，
又由数形结合知.
设点，
则，，
，，
，即点在直线上.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，点，
设直线的方程为：，
联立，得：，
，
设，
，，
，
面积，
令，，

当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.
本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题.
18．（1）见解析；（2）①②3.386（万元）
【解析】
（1）利用代入数值，求出后即可得解；
（2）①计算出、后，利用求出后即可得解；
②把代入线性回归方程，计算即可得解.
【详解】
（1）由已知条件得，
，∴，
说明与正相关，且相关性很强.
（2）①由已知求得，，
所以，所求回归直线方程为.
②当时，（万元），
此时产品的总成本约为3.386万元.
本题考查了相关系数的应用以及线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于中档题.
19．（1）
（2）是为定值，的横坐标为定值
【解析】
（1）根据“直线垂直于轴时，四边形的面积为1”列方程，由此求得，结合椭圆离心率以及，求得，由此求得椭圆方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线的方程，并求得两直线交点的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得的横坐标为定值.
【详解】
（1）依题意可知，解得，即；而，即，结合解得，，因此椭圆方程为
（2）由题意得，左焦点，设直线的方程为：，，．
由消去并整理得，∴，．
直线的方程为：，直线的方程为：．
联系方程，解得，又因为．
所以．所以的横坐标为定值．
本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运算求解能力，属于中档题.
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）过作的垂线，垂足为，易得，进一步可得；
（2）利用导数求得最大值即可.
【详解】
（1）如图，过作的垂线，垂足为，在直角中，，
，所以，同理，
.

（2）设，
则，
令，则，即.
设，且，则
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增，
所以当时，取得极小值，
所以.
因为，所以，又，
所以，又，
所以，所以，
所以，
所以能通过此钢管的铁棒最大长度为.
本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
21．（1）见解析（2）
【解析】
（1）利用面面垂直的性质定理证得平面，由此证得，根据圆的几何性质证得，由此证得平面.
（2）判断出三棱锥的体积最大时点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：因为平面平面是正方形，
所以平面.
因为平面，所以.
因为点在以为直径的半圆弧上，所以.
又，所以平面.
（2）解：显然，当点位于的中点时，的面积最大，三棱锥的体积也最大.
不妨设，记中点为，
以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得，
所以.
由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.

本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
22．（1）能；（2）（i）男生有人，女生有人；（ii），分布列见解析．
【解析】
（1）根据所给数据可完成列联表．由总人数及女生人数得男生人数，由表格得达标人数，从而得男生中达标人数，这样不达标人数随之而得，然后计算可得结论；
（2）由达标人数中男女生人数比为可得抽取的人数，总共选2人，女生有4人，的可能值为0，1，2，分别计算概率得分布列，再由期望公式可计算出期望．
【详解】
（1）列出列联表，

，
所以在犯错误的概率不超过的前提下能判断“课外体育达标”与性别有关．
（2）（i）在“锻炼达标”的学生中，男女生人数比为，
用分层抽样方法抽出人，男生有人，女生有人．
（ii）从参加体会交流的人中，随机选出人发言，人中女生的人数为，
则的可能值为，，，
则，，，
可得的分布列为：

可得数学期望．
本题考查列联表与独立性检验，考查分层抽样，随机变量的概率分布列和期望．主要考查学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．