山西省灵丘县第一中学2025-2026学年高三第二次诊断性考试数学试题试卷含解析.doc

山西省灵丘县第一中学2025-2026学年高三第二次诊断性考试数学试题试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．在原点附近的部分图象大概是（ ）
A． B．
C． D．
3．设，，是非零向量.若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合M＝{y｜y＝，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－）}，则M∩N为（ ）
A．（1，＋∞） B．（1，2） C．[2，＋∞） D．[1，＋∞）
5．已知集合，集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．4 C．2 D．
7．一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价元，乙每件进价元，甲商品每卖出去件可赚元，乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）
A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件
8．定义在R上的偶函数满足，且在区间上单调递减，已知是锐角三角形的两个内角，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．以上情况均有可能
9．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）

A．16 B．12 C．8 D．6
10．已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是
A． B．
C． D．
11．函数的大致图象为
A． B．
C． D．
12．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形为朱方，正方形为青方”，则在五边形内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则曲线在处的切线斜率为________.
14．已知，则的值为______.
15．在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋（y－1）2＝r2（r>0）上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1上，则r的取值范围是________．
16．若，，则___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，的平分线与交于点D，与的外接圆交于点E（异于点A），，求的值.
18．（12分）设函数，，
（Ⅰ）求曲线在点（1,0）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
19．（12分）已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.
20．（12分）某景点上山共有级台阶，寓意长长久久．甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为．为了简便描述问题，我们约定，甲从级台阶开始向上走，一步走一个台阶记分，一步走两个台阶记分，记甲登上第个台阶的概率为，其中，且．
（1）若甲走步时所得分数为，求的分布列和数学期望；
（2）证明：数列是等比数列；
（3）求甲在登山过程中，恰好登上第级台阶的概率．
21．（12分）对于正整数，如果个整数满足，
且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.
(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)
22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）把曲线向下平移个单位，然后各点横坐标变为原来的倍得到曲线（纵坐标不变），设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
先化简集合A，再与集合B求交集.
【详解】
因为，，
所以.
故选：C
本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.
2．A
【解析】
分析函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.
【详解】
令，可得，即函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，则函数为奇函数，排除C、D选项；
当时，，，则，排除B选项.
故选：A.
本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3．D
【解析】
试题分析：由题意得：若，则；若，则由可知，，故也成立，故选D.
考点：平面向量数量积.
【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.
4．B
【解析】
，

，
∴．
故选．
5．A
【解析】
根据或，验证交集后求得的值.
【详解】
因为，所以或.当时，，不符合题意，当时，.故选A.
本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.
6．A
【解析】
由已知得，，由已知比值得，再利用双曲线的定义可用表示出，，用勾股定理得出的等式，从而得离心率．
【详解】
.又，可令，则.设，得，即，解得，∴,,
由得，，，该双曲线的离心率.
故选：A.

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点到焦点的距离都用表示出来，从而再由勾股定理建立的关系．
7．D
【解析】
由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.
【详解】
设购买甲、乙两种商品的件数应分别，利润为元，由题意，
画出可行域如图所示，

显然当经过时，最大.
故选：D.
本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断，是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.
8．B
【解析】
由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求在上的单调性，结合三角函数的性质即可比较．
【详解】
由可得，即函数的周期，
因为在区间上单调递减，故函数在区间上单调递减，
根据偶函数的对称性可知，在上单调递增，
因为，是锐角三角形的两个内角，
所以且即，
所以即，
．
故选：．
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
9．B
【解析】
根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.
【详解】
由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2
所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，
所以该正三棱柱的侧面积为
故选：B
本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.
10．D
【解析】
先由是偶函数，得到关于直线对称；进而得出单调性，再分别讨论和，即可求出结果.
【详解】
因为是偶函数，所以关于直线对称；
因此，由得；
又在上单调递减，则在上单调递增；
所以，当即时，由得，所以，
解得；
当即时，由得，所以，
解得；
因此，的解集是.
本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.
11．A
【解析】
因为，所以函数是偶函数，排除B、D，
又，排除C，故选A．
12．C
【解析】
首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解.
【详解】
因为正方形为朱方，其面积为9，
五边形的面积为，
所以此点取自朱方的概率为.
故选：C
本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
求导后代入可构造方程求得，即为所求斜率.
【详解】
，，解得：，
即在处的切线斜率为.
故答案为：.
本题考查切线斜率的求解问题，考查导数的几何意义，属于基础题.
14．
【解析】
先求，再根据的范围求出即可.
【详解】
由题可知，
故.
故答案为：.
本题考查分段函数函数值的求解，涉及对数的运算，属基础题.
15．
【解析】
设圆C1上存在点P（x0，y0），则Q（y0，x0），分别满足两个圆的方程，列出方程组，转化成两个新圆有公共点求参数范围.
【详解】
设圆C1上存在点P（x0，y0）满足题意，点P关于直线x－y＝0的对称点Q（y0，x0），
则，
故只需圆x2＋（y－1）2＝r2与圆（x－1）2＋（y－2）2＝1有交点即可，所以|r－1|≤≤r＋1，解得.
故答案为：
此题考查圆与圆的位置关系，其中涉及点关于直线对称点问题，两个圆有公共点的判定方式.
16．
【解析】
因为，所以，又，所以，则，所以．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）
【解析】
（1）由，利用正弦定理转化整理为，再利用余弦定理求解.
（2）根据，利用两角和的余弦得到，利用数形结合，设，在中，由正弦定理求得，在中，求得再求解.
【详解】
（1）因为，
所以，
即，即，所以.
（2）∵，
.
所以，从而.
所以，.
不妨设，O为外接圆圆心
则AO=1，，.
在中，由正弦定理知，有.
即；

在中，由，，
从而.
所以.
本题主要考查平面向量的模的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题.
18．（1）（2）
【解析】
分析：(1)先断定在曲线上，从而需要求，令，求得结果，注意复合函数求导法则，接着应用点斜式写出直线的方程；
(2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值.
详解：（Ⅰ）当，. ，
当，， 所以切线方程为.
（Ⅱ）,
,因为，所以.
令，，则在单调递减，
因为，所以在上增，在单调递增.
,,
因为，所以在区间上的值域为.
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个点处的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使用.
19．（1）直线普通方程：，曲线直角坐标方程：；（2）.
【解析】
（1）消去直线参数方程中的参数即可得到其普通方程；将曲线极坐标方程化为，根据极坐标和直角坐标互化原则可得其直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数的几何意义可知，利用韦达定理求得结果.
【详解】
（1）由直线参数方程消去可得普通方程为：
曲线极坐标方程可化为：
则曲线的直角坐标方程为：，即
（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得：
设两点对应的参数分别为：，则，

本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义的应用；求解距离之和的关键是能够明确直线参数方程中参数的几何意义，利用韦达定理来进行求解.
20．见解析
【解析】
（1）由题可得的所有可能取值为，，，，
且，，
，，
所以的分布列为

所以的数学期望．
（2）由题可得，所以，
又，，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（3）由（2）可得
．
21． (Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 为偶数时，，为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，
【解析】
(Ⅰ)根据题意直接写出答案.
(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.
(Ⅲ) 讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时，
根据对应关系得到，再计算，，得到答案.
【详解】
(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.
(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；
当为奇数时，时，最大为；
综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.
(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；
当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，
则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，
故.
综上所述：.
当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；
当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，
故；
当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.
综上所述：使成立的为：或.
本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
22．（1），；（2）.
【解析】
（1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，在曲线的极坐标方程两边同时乘以得，进而可化简得出曲线的直角坐标方程；
（2）根据变换得出的普通方程为，可设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合正弦函数的有界性可得出结果.
【详解】
（1）由（为参数），得，化简得，
故直线的普通方程为.
由，得，又，，.
所以的直角坐标方程为；
（2）由（1）得曲线的直角坐标方程为，向下平移个单位得到，
纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到曲线的方程为，
所以曲线的参数方程为（为参数）.
故点到直线的距离为，
当时，最小为.
本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程解决点到直线的距离最值的求解，考查计算能力，属于中等题.