2026届上海培佳双语学校高三一诊练习四数学试题含解析.doc

2026届上海培佳双语学校高三一诊练习四数学试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的展开式中的一次项系数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数，，若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A． B．6 C．4 D．5
5．已知集合，则元素个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知平面向量满足，且，则所夹的锐角为（ ）
A． B． C． D．0
7．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示销售量），由散点图可知与的相关关系为（ ）

A．正相关，相关系数的值为
B．负相关，相关系数的值为
C．负相关，相关系数的值为
D．正相关，相关负数的值为
8．已知m为实数，直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．若均为任意实数，且，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是

A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称
11．计算等于( )
A． B． C． D．
12．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，已知是的中点，且，点满足，则的取值范围是_______.
14．已知函数，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为________.
15．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____．
16．展开式的第5项的系数为_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知点，且，满足条件的点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在过点的直线，直线与曲线相交于两点，直线与轴分别交于两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设和交点的交点为，求 的面积．
19．（12分）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
20．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程；
（2）设曲线与曲线在第二象限的交点为，曲线与轴的交点为，点，求的周长的最大值．
21．（12分）已知函数
（I）若讨论的单调性；
（Ⅱ）若，且对于函数的图象上两点，存在，使得函数的图象在处的切线.求证：.
22．（10分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.
（1）求发生调剂现象的概率；
（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
根据多项式乘法法则得出的一次项系数，然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论．
【详解】
由题意展开式中的一次项系数为．
故选：B．
本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．
2．D
【解析】
设，由，得，利用复数相等建立方程组即可.
【详解】
设，则，所以，
解得，故，复数在复平面内对应的点为，在第四象限.
故选：D.
本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
3．B
【解析】
由题意可将方程转化为，令，，进而将方程转化为，即或，再利用的单调性与最值即可得到结论.
【详解】
由题意知方程在上恰有三个不相等的实根，
即，①.
因为，①式两边同除以，得.
所以方程有三个不等的正实根.
记，，则上述方程转化为.
即，所以或.
因为，当时，，所以在，上单调递增，且时，.
当时，，在上单调递减，且时，.
所以当时，取最大值，当，有一根.
所以恰有两个不相等的实根，所以.
故选：B.
本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.
4．D
【解析】
由对数运算法则和等比数列的性质计算．
【详解】
由题意
．
故选：D．
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键．
5．B
【解析】
作出两集合所表示的点的图象，可得选项.
【详解】
由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B表示函数的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点B，所以两个集合有两个公共元素，所以元素个数为2，
故选：B.

本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.
6．B
【解析】
根据题意可得，利用向量的数量积即可求解夹角.
【详解】
因为
即
而
所以夹角为
故选：B
本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.
7．C
【解析】
根据正负相关的概念判断．
【详解】
由散点图知随着的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负．
故选：C．
本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．
8．A
【解析】
根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
当m=1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0满足l1∥l2，即充分性成立，
当m=0时，两直线方程分别为y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不满足条件．
当m≠0时，则l1∥l2⇒，
由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，
由得m≠2，则m=1，
即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件，
故答案为：A
（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线和直线平行，则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.
9．D
【解析】
该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.
【详解】
由题意可得，其结果应为曲线上的点与以为圆心，以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值，在曲线上取一点，曲线有在点M处的切线的斜率为，从而有，即，整理得，解得，所以点满足条件，其到圆心的距离为，故其结果为，
故选D.
本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.
10．B
【解析】
根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】
根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，
所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以，
又，所以，所以，
令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．
11．A
【解析】
利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.
【详解】
原式.
故选：A
本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.
12．B
【解析】
由余弦的二倍角公式化简函数为，要想在括号内构造变为正弦函数，至少需要向左平移个单位长度，即为答案.
【详解】
由题可知，对其向左平移个单位长度后，，其图像关于坐标原点对称
故的最小值为
故选：B
本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由中点公式的向量形式可得，即有，
设，有，再分别讨论三点共线和不共线时的情况，找到的关系，即可根据函数知识求出范围．
【详解】
是的中点，∴，即
设，于是
(1)当共线时，因为，
①若点在之间，则，此时，；
②若点在的延长线上，则，此时，．
(2)当不共线时，根据余弦定理可得，
解得，由，解得
．
综上，
故答案为：．
本题主要考查学中点公式的向量形式和数量积的定义的应用，以及余弦定理的应用，涉及到函数思想和分类讨论思想的应用，解题关键是建立函数关系式，属于中档题．
14．
【解析】
作出图象，求出方程的根，分类讨论的正负，数形结合即可.
【详解】
当时，令，解得，
所以当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，
当时，单调递减，且，
作出函数的图象如图：

（1）当时，方程整理得，只有2个根，不满足条件；
（2）若，则当时，方程整理得，
则，，此时各有1解，
故当时，方程整理得，
有1解同时有2解，即需，，因为（2），故此时满足题意；
或有2解同时有1解，则需，由（1）可知不成立；
或有3解同时有0解，根据图象不存在此种情况，
或有0解同时有3解，则，解得，
故，
（3）若，显然当时，和均无解，
当时，和无解，不符合题意．
综上：的范围是，
故答案为：，
本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．
15．
【解析】
总事件数为，
目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6，具体事件有
，共8种；
当第一颗骰子为3,6，则第二颗骰子随便都可以，则有种；
所以目标事件共20中，所以。
16．70
【解析】
根据二项式定理的通项公式，可得结果.
【详解】
由题可知：第5项为
故第5项的的系数为
故答案为：70.
本题考查的是二项式定理，属基础题。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）存在， 或．
【解析】
（1）由得看成到两定点的和为定值，满足椭圆定义，用定义可解曲线的方程.
（2）先讨论斜率不存在情况是否符合题意，当直线的斜率存在时，设直线点斜式方程，由，可得，再直线与椭圆联解，利用根的判别式得到关于的一元二次方程求解.
【详解】
解：设，
由， ，
可得，即为，
由，可得的轨迹是以为焦点，且的椭圆，
由，可得，可得曲线的方程为；
假设存在过点的直线l符合题意．
当直线的斜率不存在，设方程为，可得为短轴的两个端点，
不成立；
当直线的斜率存在时，设方程为，
由，可得，即，
可得，化为，
由可得，
由在椭圆内，可得直线与椭圆相交，
，
则
化为，即为，解得，
所以存在直线符合题意，且方程为或．
本题考查求轨迹方程及直线与圆锥曲线位置关系问题. （1）定义法求轨迹方程的思路:应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解；（2）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解.
18．（1）；（2）
【解析】
（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程即可.
（2）将和的极坐标方程联立，求得两个曲线交点的极坐标，即可由极坐标的含义求得的面积.
【详解】
（1）曲线的参数方程为（α为参数），
消去参数的的直角坐标方程为．
所以的极坐标方程为
（2）解方程组，
得到．
所以，
则或（）．
当（）时，，
当（）时，．
所以和的交点极坐标为： ,.
所以．
故的面积为．
本题考查了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，利用极坐标求三角形面积，属于中档题.
19．（1）；（2）
【解析】
(1)设数列的公差为d,由可得,,由即可解得,故,由,即可解得,进而求得.
(2) 由（1）得，,利用分组求和及错位相减法即可求得结果.
【详解】
（1）设数列的公差为d，数列的公比为q，
由可得，，
整理得，即，
故，
由可得，则，即，
故.
（2）由（1）得，，，
故，
所以，数列的前n项和为，
设①，
则②，
②①得，
综上，数列的前n项和为.
本题考查求等差等比的通项公式,考试分组求和及错位相减法求数列的和,考查学生的计算能力,难度一般.
20．（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为为参数（2）
【解析】
（1）将代入，可得，
所以曲线的直角坐标方程为．
由可得，
将，代入上式，可得，
整理可得，所以曲线的参数方程为为参数．
（2）由题可设，，，
所以，，
，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，l取得最大值为，
所以的周长的最大值为．
21． (1)见解析(2)见证明
【解析】
(1)对函数求导，分别讨论，以及，即可得出结果；
(2)根据题意，由导数几何意义得到，将证明转化为证明即可，再令，设 ，用导数方法判断出的单调性，进而可得出结论成立.
【详解】
（1）解：易得，函数的定义域为，
，
令，得或.
①当时，时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增.
此时，的减区间为，增区间为.
②当时，时，，函数单调递减；
或时，，函数单调递增.
此时，的减区间为，增区间为，.
③当时，时，，函数单调递增；
此时，的减区间为.
综上，当时，的减区间为，增区间为：
当时，的减区间为，增区间为.；
当时，增区间为.
（2）证明：由题意及导数的几何意义，得

由（1）中得.
易知，导函数 在上为增函数，
所以，要证，只要证，
即，即证.
因为，不妨令，则 .
所以 ，
所以在上为增函数，
所以，即，
所以，即，
即.
故有（得证）.
本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性以及函数极值等即可，属于常考题型.
22．（1）（2）见解析，
【解析】
（1）根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；（2）由题得，X的所有可能取值为，根据（1）和变量对应的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值.
【详解】
（1）记2家小店分别为A，B，A店有i人休假记为事件（，1，2），B店有i人，休假记为事件（，1，2），发生调剂现象的概率为P.
则，
，
.
所以.
答：发生调剂现象的概率为.
（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2.
则，
，
.
所以X的分布表为：
X
0
1
2
P

所以.
本题是一道考查概率和期望的常考题型.