2026年曲靖市第一中学高三2月模拟（自主测试）二数学试题含解析.doc

2026年曲靖市第一中学高三2月模拟（自主测试）二数学试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的最大值为，最小正周期为，则有序数对为（ ）
A． B． C． D．
2．设复数满足，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．
3．函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
4．在直角中，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，，平面平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．1
6．在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60°，则体积为( )
A． B． C． D．
8．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为
A．96 B．84 C．120 D．360
9．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为
A． B． C． D．
10．已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x的值为( )

A．3 B．3.4 C．3.8 D．4
12．已知函数，若，则等于（ ）
A．-3 B．-1 C．3 D．0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数x，y满足，则的最大值为____________.
14．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，则球的体积为__________．
15．已知等边三角形的边长为1．,点、分别为线段、上的动点,则取值的集合为__________．
16．已知等比数列的各项均为正数，，则的值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）若，不等式的解集；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（12分）设
（1）证明:当时，；
（2）当时，求整数的最大值.（参考数据：，）
19．（12分）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
20．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的最大值为，若，证明：.
21．（12分）设函数（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于x的方程有唯一的实数解，求a的取值范围.
22．（10分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．

晋级成功
晋级失败
合计
男
16

女

50
合计

（1）求图中的值；
（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．
（参考公式：，其中）

0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025

0.780
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
函数（为辅助角）
∴函数的最大值为，最小正周期为
故选B
2．B
【解析】
利用复数的四则运算即可求解.
【详解】
由.
故选：B
本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.
3．D
【解析】
通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.
【详解】
函数的定义域为，当时，，排除B和C；
当时，，排除A.
故选：D.
本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.
4．C
【解析】
在直角三角形ABC中，求得 ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．
【详解】

在直角中，，，，，
，
若，则
故选C.
本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．
5．B
【解析】
过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF.因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.设，将表示成关于的函数，再求函数的最值，即可得答案.
【详解】
过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF.
因为平面平面ABCD，所以平面ABCD，
所以.
因为底面ABCD是边长为1的正方形，，所以.
因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.
易证平面平面ABE，
所以点H到平面ABE的距离，即为H到EF的距离.
不妨设，则，.
因为，所以，
所以，当时，等号成立.
此时EH与ED重合，所以，.
故选：B.

本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.
6．B
【解析】
根据所求双曲线的渐近线方程为，可设所求双曲线的标准方程为k．再把点代入，求得 k的值，可得要求的双曲线的方程．
【详解】
∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为
故选：B
本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
7．D
【解析】
设圆锥底面圆的半径为，由轴截面面积为可得半径，再利用圆锥体积公式计算即可.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为，由已知，，解得，
所以圆锥的体积.
故选：D
本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.
8．B
【解析】
2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共个，其中含有2个10的排列数共个，所以产生的不同的6位数的个数为.故选B．
9．B
【解析】
求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，
基本事件的总数为，
其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B.
本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
10．B
【解析】
求出导函数，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围．
【详解】
，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在上只有一个极大值也是最大值，显然时，，时，，
因此要使函数有两个零点，则，∴．
故选：B．
本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围．
11．D
【解析】
根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数.
【详解】
由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为和
一个底面半径为，高为的圆柱组合而成.
该几何体的表面积为
，
解得，
故选：D.
本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题.
12．D
【解析】
分析：因为题设中给出了的值，要求的值，故应考虑两者之间满足的关系.
详解：由题设有，
故有，所以，
从而，故选D.
点睛：本题考查函数的表示方法，解题时注意根据问题的条件和求解的结论之间的关系去寻找函数的解析式要满足的关系.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1
【解析】
直接用表示出，然后由不等式性质得出结论．
【详解】
由题意，
又，∴，即，
∴的最大值为1．
故答案为：1．
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
14．
【解析】
由题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，则它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求出球的体积.
【详解】
解：因为，为正三角形，
所以，
因为，所以三棱锥的三条侧棱两两垂直，
所以它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，
因为正方体的对角线长为，所以其外接球的半径为，
所以球的体积为
故答案为：
此题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.
15．
【解析】
根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标,依题意求出,,,的表达式,再进行数量积的运算,最后求和即可得出结果.
【详解】
解: 以的中点为坐标原点,所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,
则,,,,
则,,,
设, ,
,
即点的坐标为,
则,,,
所以

故答案为:
本题考查平面向量的坐标表示和线性运算,以及平面向量基本定理和数量积的运算,是中档题.
16．
【解析】
运用等比数列的通项公式，即可解得．
【详解】
解：，，
，，，
，，，，
，，
．
故答案为：．
本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）
【解析】
（1）依题意可得，再用零点分段法分类讨论可得；
（2）依题意可得对恒成立，根据绝对值的几何意义将绝对值去掉，分别求出解集，则两解集的并集为，得到不等式即可解得；
【详解】
解：（1）若，，则，即，
当时，原不等式等价于，解得
当时，原不等式等价于，解得，所以；
当时，原不等式等价于，解得；
综上，原不等式的解集为；
（2）即，得或，
由解得，
由解得，
要使得的解集为，则
解得，故的取值范围是.
本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．
18．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）将代入函数解析式可得，构造函数，求得并令，由导函数符号判断函数单调性并求得最大值，由即可证明恒成立，即不等式得证.
（2）对函数求导，变形后讨论当时的函数单调情况：当时，可知满足题意；将不等式化简后构造函数，利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为，分别依次代入检验的符号，即可确定整数的最大值；当时不满足题意，因为求整数的最大值，所以时无需再讨论.
【详解】
（1）证明：当时代入可得，
令，，
则，
令解得，
当时，所以在单调递增，
当时，所以在单调递减，
所以，
则，即成立.
（2）函数
则，
若时，当时，，则在时单调递减，所以，即当时成立；
所以此时需满足的整数解即可，
将不等式化简可得，
令
则
令解得，
当时，即在内单调递减，
当时，即在内单调递增，
所以当时取得最小值，
则，
，
，

所以此时满足的整数 的最大值为；
当时，在时，此时，与题意矛盾，所以不成立.
因为求整数的最大值，所以时无需再讨论，
综上所述，当时，整数的最大值为.
本题考查了导数在证明不等式中的应用，导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用，构造函数法求最值，并判断函数值法符号，综合性强，属于难题.
19．（1）；（2）
【解析】
(1)设数列的公差为d,由可得,,由即可解得,故,由,即可解得,进而求得.
(2) 由（1）得，,利用分组求和及错位相减法即可求得结果.
【详解】
（1）设数列的公差为d，数列的公比为q，
由可得，，
整理得，即，
故，
由可得，则，即，
故.
（2）由（1）得，，，
故，
所以，数列的前n项和为，
设①，
则②，
②①得，
综上，数列的前n项和为.
本题考查求等差等比的通项公式,考试分组求和及错位相减法求数列的和,考查学生的计算能力,难度一般.
20．（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可；
（2）先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可.
【详解】
（1）

①当时，恒成立，
；
②当时，，即，
；
③当时，显然不成立，不合题意；
综上所述，不等式的解集为.
（2）由（1）知，
于是
由基本不等式可得 （当且仅当时取等号）
（当且仅当时取等号）
（当且仅当时取等号）
上述三式相加可得
（当且仅当时取等号）
，
，故得证.
本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
21．（1）当时，递增区间时，无递减区间，当时，递增区间时，递减区间时；（2）或.
【解析】
（1）求出，对分类讨论，先考虑（或）恒成立的范围，并以此作为的分类标准，若不恒成立，求解，即可得出结论；
（2）有解，即，令，转化求函数只有一个实数解，根据（1）中的结论，即可求解.
【详解】
（1），
当时，恒成立，
当时，，
综上，当时，递增区间时，无递减区间，
当时，递增区间时，递减区间时；
（2），

令，原方程只有一个解，只需只有一个解，
即求只有一个零点时，的取值范围，
由（1）得当时，在单调递增，
且，函数只有一个零点，原方程只有一个解，
当时，由（1）得在出取得极小值，也是最小值，
当时，，此时函数只有一个零点，
原方程只有一个解，
当且
递增区间时，递减区间时；
，当，
有两个零点，
即原方程有两个解，不合题意，
所以的取值范围是或.
本题考查导数的综合应用，涉及到单调性、零点、极值最值，考查分类讨论和等价转化思想，属于中档题.
22． (1) ；(2)列联表见解析，有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，=3
【解析】
（1）由频率和为1，列出方程求的值；
（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，
填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，
知随机变量服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，
可知，
解得；
（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，
所以晋级成功的人数为（人），
填表如下：

晋级成功
晋级失败
合计
男
16
34
50
女
9
41
50
合计
25
75
100
假设“晋级成功”与性别无关，
根据上表数据代入公式可得，
所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；
（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，
将频率视为概率，
则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，
所以可视为服从二项分布，即，
，
故，
，
，
，
.
所以的分布列为：

0
1
2
3
4

数学期望为.或（）．
本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量，则.