山东省泰安市泰安实验中学2026年高三下学期第一次在线月考数学试题含解析.doc

山东省泰安市泰安实验中学2026年高三下学期第一次在线月考数学试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其底面边长为4，、、分别为侧棱，，的中点.若在三棱锥内，且三棱锥的体积是三棱锥体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f（5）+f（﹣1）＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．4
4．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个，已知圆环半径为1，则比值P的近似值为( )

A． B． C． D．
5．为虚数单位,则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
6．已知定义在上的函数的周期为4，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
7．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，平面四边形中，，，，，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
9．已知函数（，是常数，其中且）的大致图象如图所示，下列关于，的表述正确的是（ ）

A．， B．，
C．， D．，
10．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
11．若函数的图象过点，则它的一条对称轴方程可能是（ ）
A． B． C． D．
12．若集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合，，则_____________.
14．已知双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，则双曲线的焦距为______.
15．已知多项式的各项系数之和为32，则展开式中含项的系数为______．
16．如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为___________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.
（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？

城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
100
30

不经常阅读

合计

200
（2）从该地区城镇居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为，若用样本的频率作为概率，求随机变量的期望.
附：，其中.

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

18．（12分）已知双曲线及直线.
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A，B两点，O是原点，且，求实数k的值.
19．（12分）已知函数是减函数.
（1）试确定a的值；
（2）已知数列，求证：.
20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（其中为参数），直线的参数方程为（其中为参数）
（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；
（2）若曲线与直线交于两点，点的坐标为，求的值.
22．（10分）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为.
（1）求；
（2）若，，求的周长.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解．
【详解】
，，
，．
故选：C．
本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量服从正态分布，则．
2．D
【解析】
如图，平面截球所得截面的图形为圆面，计算，由勾股定理解得，此外接球的体积为，三棱锥体积为，得到答案.
【详解】
如图，平面截球所得截面的图形为圆面.
正三棱锥中，过作底面的垂线，垂足为，与平面交点记为，连接、.
依题意，所以，设球的半径为，
在中，，，，
由勾股定理：，解得，此外接球的体积为，
由于平面平面，所以平面，
球心到平面的距离为，
则，
所以三棱锥体积为，
所以此外接球的体积与三棱锥体积比值为.
故选：D.

本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
3．C
【解析】
根据对称性即可求出答案．
【详解】
解：∵点（5，f（5））与点（﹣1，f（﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2，
故它们关于点（2，1）对称，所以f（5）+f（﹣1）＝2，
故选：C．
本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．
4．B
【解析】
根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值.
【详解】
设会旗中五环所占面积为，
由于，所以，
故可得.
故选：B.
本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题.
5．C
【解析】
利用复数的运算法则计算即可.
【详解】
，故虚部为.
故选：C.
本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数的虚部为，不是，本题为基础题，也是易错题.
6．A
【解析】
因为给出的解析式只适用于，所以利用周期性，将转化为，再与一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果.
【详解】
定义在上的函数的周期为4
，
当时，，
，，

.
故选：A.
本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题.
7．D
【解析】
利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率.
【详解】
取的中点，则由得，
即；
在中，为的中位线，
所以，
所以；
由双曲线定义知，且，所以，
解得，
故选：D
本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.
8．C
【解析】
由题意可得面，可知，因为，则面，于是.由此推出三棱锥外接球球心是的中点，进而算出，外接球半径为1，得出结果.
【详解】
解：由，翻折后得到，又，
则面，可知．
又因为，则面，于是，
因此三棱锥外接球球心是的中点．
计算可知，则外接球半径为1，从而外接球表面积为．

故选：C.
本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．
9．D
【解析】
根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.
【详解】
从题设中提供的图像可以看出，
故得，
故选：D．
本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.
10．B
【解析】
根据正弦函数的性质可得集合A，由集合性质表示形式即可求得，进而可知满足.
【详解】
依题意，；
而

，
故，
则.
故选：B.
本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.
11．B
【解析】
把已知点坐标代入求出，然后验证各选项．
【详解】
由题意，，或，，
不妨取或，
若，则函数为，四个选项都不合题意，
若，则函数为，只有时，，即是对称轴．
故选：B．
本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．
12．C
【解析】
试题分析：化简集合
故选C．
考点：集合的运算．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由集合和集合求出交集即可.
【详解】
解：集合，，
.
故答案为：.
本题考查了交集及其运算，属于基础题.
14．1
【解析】
由双曲线的渐近线，以及求得的值即可得答案．
【详解】
由于双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，
所以，即①，
把代入，得，即②
又③
联立①②③，得．
所以．
故答案是：1．
本题考查双曲线的性质，注意题目“双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即，容易只计算到，就得到结论．
15．
【解析】
令可得各项系数和为，得出,根据第一个因式展开式的常数项与第二个因式的展开式含一次项的积与第一个因式展开式含x的一次项与第二个因式常数项的积的和即为展开式中含项，可得解.
【详解】
令，
则得，
解得，
所以展开式中含项为：，
故答案为：
本题主要考查了二项展开式的系数和，二项展开式特定项，赋值法，属于中档题.
16．13
【解析】
根据题意得到：a=0,b=1,i=2
A=1,b=2,i=4,
A=3,b=5,i=6,
A=8,b=13,i=8
不满足条件，故得到此时输出的b值为13.
故答案为13.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）
【解析】
（1）根据题意填写列联表，利用公式求出，比较与6.635的大小得结论；
（2）由样本数据可得经常阅读的人的概率是，则，根据二项分布的期望公式计算可得；
【详解】
解：（1）由题意可得：

城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
100
30
130
不经常阅读
40
30
70
合计
140
60
200
则，
所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.
（2）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是，且，所以随机变量的期望为.
本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的数学期望的计算，考查运算求解能力，属于基础题．
18．（1）；（2）或.
【解析】
（1）联立直线方程与双曲线方程，消去，得到关于的一元二次方程，根据根的判别式，即可求出结论；
（2）设，由（1）可得关系，再由直线l过点，可得，进而建立关于的方程，求解即可.
【详解】
（1）双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，
整理得，
，
解得且.
双曲线C与直线l有两个不同交点时，
k的取值范围是.
（2）设交点，直线l与y轴交于点，
，.
，即，
整理得，解得或
或.又，
或时，的面积为.
本题考查直线与双曲线的位置关系、三角形面积计算，要熟练掌握根与系数关系解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.
19．（Ⅰ）（Ⅱ）见证明
【解析】
（Ⅰ）求导得，由是减函数得，对任意的，都有恒成立，构造函数，通过求导判断它的单调性，令其最大值小于等于0，即可求出；
（Ⅱ）由是减函数，且可得，当时，，则，即，两边同除以得，，即，从而 ，两边取对数 ，然后再证明恒成立即可，构造函数，，通过求导证明即可．
【详解】
解：（Ⅰ）的定义域为，.
由是减函数得，对任意的，都有恒成立.
设.
∵，由知，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴在时取得最大值.
又∵，∴对任意的，恒成立，即的最大值为.
∴，解得.
（Ⅱ）由是减函数，且可得，当时，，
∴，即.
两边同除以得，，即.
从而 ，
所以 ①.
下面证；
记，.
∴ ，
∵在上单调递增，
∴在上单调递减，
而，
∴当时，恒成立，
∴在上单调递减，
即时，，
∴当时，.
∵，
∴当时，，即②.
综上①②可得，.
本题考查了导数与函数的单调性的关系，考查了函数的最值，考查了构造函数的能力，考查了逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题．，
20．（1）：，：；（2），此时.
【解析】
试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
21．（1）（2）5
【解析】
（1）首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据，，得到曲线的极坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义得解；
【详解】
解：（1）曲线：消去参数得到：，
由，，
得
所以
（2）代入，

设，，由直线的参数方程参数的几何意义得：

本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题．
22．（1）（2）
【解析】
（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；（2）根据两角余弦公式可得，即可求出，再根据正弦定理可得，根据余弦定理即可求出，问题得以解决．
【详解】
（1）由三角形的面积公式可得，
，
由正弦定理可得，
，
；
（2），
，
，
，，
则由，可得：，由，
可得：，
，可得：，经检验符合题意，
三角形的周长．
（实际上可解得，符合三边关系）．
本题考查了三角形的面积公式、两角和的余弦公式、诱导公式，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了学生的运算能力，考查了转化思想，属于中档题．