四川省广元中学2026届高三第二次模拟考试数学试题（详细答案版）含解析.doc

四川省广元中学2026届高三第二次模拟考试数学试题（详细答案版）
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
2．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．设全集U=R，集合，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知集合，，若AÜB，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是（）
A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．一辆邮车从地往地运送邮件，沿途共有地，依次记为，，…（为地，为地）．从地出发时，装上发往后面地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达，，…各地装卸完毕后剩余的邮件数记为．则的表达式为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）

A．乙的数据分析素养优于甲
B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C．甲的六大素养整体水平优于乙
D．甲的六大素养中数据分析最差
10．点是单位圆上不同的三点，线段与线段交于圆内一点M，若，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
11．已知集合（），若集合，且对任意的，存在使得，其中，，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是（ ）
A． B． C． D．
12．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数为偶函数，则 ．
14．已知向量，，若满足，且方向相同，则__________．
15．已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____
16．的展开式中常数项是___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知
（1）若 ，且函数 在区间 上单调递增，求实数a的范围；
（2）若函数有两个极值点 ，且存在 满足 ，令函数 ，试判断 零点的个数并证明．
18．（12分）曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线，的交点分别为、（、异于原点），当斜率时，求的最小值.
19．（12分）已知等差数列和等比数列满足：
(I)求数列和的通项公式；
(II)求数列的前项和.
20．（12分）已知椭圆的右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标原点.
（1）证明:点在轴的右侧;
（2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点.若与的面积相等,求直线的斜率
21．（12分）椭圆：的左、右焦点分别是，，离心率为，左、右顶点分别为，.过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过点的直线与椭圆相交于不同的两点、（不与点、重合），直线与直线相交于点，求证：、、三点共线.
22．（10分）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，D，E分别是，的中点，平面平面，.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
由双曲线与双曲线有相同的渐近线，列出方程求出的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．
【详解】
由双曲线与双曲线有相同的渐近线，
可得，解得，此时双曲线，
则曲线的离心率为，故选C．
本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
2．C
【解析】

如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．
考点：外接球表面积和椎体的体积．
3．A
【解析】
求出集合M和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可．
【详解】
，
，
则，
故选：A．
本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．
4．D
【解析】
先化简，再根据，且AÜB求解.
【详解】
因为，
又因为，且AÜB，
所以.
故选：D
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．D
【解析】
两边同乘-i，化简即可得出答案．
【详解】
i•z＝2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i，选D.
的共轭复数为
6．D
【解析】
分别解出集合然后求并集.
【详解】
解：，

故选：D
考查集合的并集运算，基础题.
7．D
【解析】
根据题意，分析该邮车到第站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，该邮车到第站时，一共装上了件邮件，
需要卸下件邮件，
则，
故选：D．
本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题．
8．C
【解析】
利用三角形与相似得，结合双曲线的定义求得的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。
【详解】
设，，
由，与相似，
所以，即，
又因为，
所以，，
所以，即，，
所以双曲线C的渐近线方程为.
故选：C.
本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。
9．C
【解析】
根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.
【详解】
根据雷达图得到如下数据：

数学抽象
逻辑推理
数学建模
直观想象
数学运算
数据分析
甲
4
5
4
5
4
5
乙
3
4
3
3
5
4
由数据可知选C.
本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.
10．D
【解析】
由题意得，再利用基本不等式即可求解．
【详解】
将平方得，

（当且仅当时等号成立），
，
的最小值为，
故选：D．
本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．
11．C
【解析】
根据题目中的基底定义求解.
【详解】
因为，
，
，
，
，
，
所以能作为集合的基底，
故选：C
本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
12．B
【解析】
由，则输出为300，即可得出判断框的答案
【详解】
由，则输出的值为300，，故判断框中应填？
故选：．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1
【解析】
试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，
．
考点：函数的奇偶性．
【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．
14．
【解析】
由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同．
【详解】
∵，∴，解得或，
时，满足题意，
时，，方向相反，不合题意，舍去．
∴．
故答案为：1．
本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错．
15．
【解析】
双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即，即可求出双曲线的离心率．
【详解】
解：双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，
一条渐近线的斜率为1，即，
，，
故答案为：．
本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题．
16．-160
【解析】
试题分析：常数项为.
考点：二项展开式系数问题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）函数有两个零点和
【解析】
试题分析：（1）求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于0（2）先判断为一个零点，然后再求导，根据，化简求得另一个零点。
解析：（1）当时，，因为函数在上单调递增，
所以当时，恒成立．[来源:Z&X&X&K]
函数的对称轴为．
①，即时，，
即，解之得，解集为空集；
②，即时，
即，解之得，所以
③，即时，
即，解之得，所以
综上所述，当 函数在区间 上单调递增．
（2）∵有两个极值点，
∴是方程的两个根，且函数在区间和上单调递增，在上单调递减．
∵
∴函数也是在区间和上单调递增，在上单调递减
∵，∴是函数的一个零点．
由题意知：
∵，∴，∴∴，∴又

∵是方程的两个根，
∴，,
∴
∵函数图像连续，且在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
∴当时，，当时，当时，
∴函数有两个零点和．
18．（1）的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程.（2）
【解析】
(1)消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解.
(2)解法1：设直线的倾斜角为，把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，求得，再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；
解法2：设直线的极坐标方程为，分别代入曲线，的极坐标方程，得， ，得出，即可基本不等式，即可求解.
【详解】
(1) 由题曲线的参数方程为（为参数），消去参数，
可得曲线的直角坐标方程为，即，
则曲线的极坐标方程为，即，
又因为曲线的极坐标方程为，即，
根据，代入即可求解曲线的直角坐标方程.
(2)解法1：设直线的倾斜角为，
则直线的参数方程为（为参数，），
把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，
解得，，，
把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，
解得，，，
，
，即，，，
，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
解法2：设直线的极坐标方程为），
代入曲线的极坐标方程，得，，
把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得：，
，即，，
曲线的参，即，
，，，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程点互化，以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19． (I) ，；(II)
【解析】
(I)直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案.
(II) ，利用裂项相消法计算得到答案.
【详解】
(I) ，故，
解得，故，.
(II)
，故.
本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
20．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点的横坐标即可证出；
（2）根据线段的垂直平分线求出点的坐标，即可求出的面积，再表示出的面积，由与的面积相等列式，即可解出直线的斜率．
【详解】
（1）由题意，得，直线（）
设，，
联立消去，得，
显然，，
则点的横坐标，
因为，
所以点在轴的右侧．
（2）由（1）得点的纵坐标．
即．
所以线段的垂直平分线方程为：．
令，得；令，得．
所以的面积，
的面积．
因为与的面积相等，
所以，解得．
所以当与的面积相等时，直线的斜率．
本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
21．（1）；（2）见解析
【解析】
（1）根据已知可得，结合离心率和关系，即可求出椭圆的标准方程；
（2）斜率不为零，设的方程为，与椭圆方程联立，消去，得到纵坐标关系，求出方程，令求出坐标，要证、、三点共线，只需证，将分子用纵坐标表示，即可证明结论.
【详解】
（1）由于，将代入椭圆方程，
得，由题意知，即.
又，所以，.
所以椭圆的方程为.
（2）解法一：
依题意直线斜率不为0，设的方程为，
联立方程，消去得，
由题意，得恒成立，设，，
所以，
直线的方程为.令，得.
又因为，，
则直线，的斜率分别为，，
所以.
上式中的分子
，
.所以，，三点共线.
解法二：
当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，
代入椭圆的方程，得，，
直线的方程为.
则，，，
所以，即，，三点共线.
当直线的斜率存在时，
设的方程为，，，
联立方程消去，得.
由题意，得恒成立，故，.
直线的方程为.令，得.
又因为，，
则直线，的斜率分别为，，
所以.
上式中的分子

所以.
所以，，三点共线.
本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.
22．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）根据，分别是，的中点，即可证明，从而可证平面；
（2）先根据为正三角形，且D是的中点，证出，再根据平面平面，得到平面，从而得到，结合，即可得证．
【详解】
（1）∵，分别是，的中点
∴
∵平面，平面
∴平面.
（2）∵为正三角形，且D是的中点
∴
∵平面平面，且平面平面，平面
∴平面
∵平面
∴
∵且
∴
∵，平面，且
∴平面.
本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题．