湖北民族大学《常微分方程专业理论教学》2023-2024学年第二学期期末试卷.doc

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湖北民族大学《常微分方程专业理论教学》
2023-2024学年第二学期期末试卷

院(系)_______ 班级_______ 学号_______ 姓名_______

题号
一
二
三
四
总分
得分

批阅人

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知级数，求这个级数的和是多少？（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

2、求定积分的值是多少？（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3

3、已知函数 y = f(x)的一阶导数 f'(x)=2x + 1，且 f(0)=1，求函数 f(x)的表达式为（ ）
A.x² + x + 1 B.x² + x - 1 C.x² - x + 1 D.x² - x - 1

4、设函数，则当时，函数是无穷大量吗？（ ）
A.是 B.不是 C.有时是有时不是 D.不确定

5、设函数，求在点处的二阶泰勒展开式是什么？（ ）
A. B. C. D.

6、计算二重积分，其中是由轴、轴和直线所围成的区域。( )
A. B. C. D.

7、函数的极大值点是（ ）
A.
B.
C.
D. 不存在

8、设函数，求函数在点处的极大值和极小值分别是多少？（ ）
A. 极大值为 4，极小值为 3
B. 极大值为 5，极小值为 2
C. 极大值为 6，极小值为 1
D. 极大值为 7，极小值为 0

9、已知级数，判断该级数的敛散性。（ ）
A.收敛 B.发散 C.条件收敛 D.绝对收敛

10、设函数 z = f(x,y)由方程 x² + y² + z² - 2z = 0 确定，求 ∂z/∂x。（ ）
A.x/(z - 1) B.y/(z - 1) C.x/(1 - z) D.y/(1 - z)

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、已知函数，求该函数的导数，利用复合函数求导法则，即若，则，结果为_________。

2、求微分方程的通解为______________。

3、计算不定积分的值为____。

4、若向量，向量，且向量与向量垂直，则的值为____。

5、设，则为____。

三、解答题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）已知函数，求函数在点处的切线方程。

2、（本题10分）已知空间三点，，，求向量与向量的夹角余弦值。

3、（本题10分）求极限。

四、证明题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设在上有二阶导数，，。证明：对于任意的，有。

2、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，且，。证明：方程在内有且仅有一个根。

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