浙江工业职业技术学院《数学实验与实践》2023-2024学年第二学期期末试卷.doc

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…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………

浙江工业职业技术学院《数学实验与实践》
2023-2024学年第二学期期末试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分

批阅人

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、设函数 f(x,y)=sin(x² + y²)，求在点(π/2,π/2)处沿方向向量(1,1)的方向导数。（ ）
A.√2cos(π²/2) B.√2sin(π²/2) C.2√2cos(π²/2) D.2√2sin(π²/2)

2、已知函数 z = f(2x - y,y²)，其中 f 具有二阶连续偏导数。求 ∂²z/∂x∂y 的表达式。（ ）
A.2f₁₂' - f₂₁'' + 2yf₂₂'' B.2f₁₂' + f₂₁'' - 2yf₂₂'' C.2f₁₂' + f₂₁'' + 2yf₂₂'' D.2f₁₂' - f₂₁'' - 2yf₂₂''

3、设函数 f(x)=∫(0 到 x)t²e^(-t²)dt，求 f'(x)（ ）
A.x²e^(-x²)；B.2xe^(-x²)；C.x²e^(-x)；D.2xe^(-x)

4、已知向量，向量，若向量与向量平行，则的值是多少？（ ）
A.4 B.-4 C.9 D.-9

5、设函数 z = x² + y²，其中 x = r*cosθ，y = r*sinθ，那么∂z/∂θ =（ ）
A.-2r²sinθcosθ B.2r²sinθcosθ C.-r²sin2θ D.r²sin2θ

6、求向量场的散度。( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

7、已知函数，在区间上，函数的零点有几个？函数零点问题。（ ）
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个

8、设函数 z = f(x,y)，其中 x = r*cosθ，y = r*sinθ，那么∂z/∂r =（ ）
A.∂f/∂x*cosθ + ∂f/∂y*sinθ B.∂f/∂x*sinθ + ∂f/∂y*cosθ C.∂f/∂x/ cosθ + ∂f/∂y/ sinθ D.∂f/∂x/ sinθ + ∂f/∂y/ cosθ

9、求曲线在点处的法线方程是什么？（ ）
A. B. C. D.

10、函数的定义域是（ ）
A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、曲线与直线，所围成的平面图形的面积为_____________。

2、求函数的单调递增区间为____。

3、求曲线在点处的曲率为____。

4、判断级数的敛散性，并说明理由______。

5、已知函数，求该函数在区间[1,4]上的平均值，根据平均值公式，结果为_________。

三、解答题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）求函数的值域。

2、（本题10分）求由曲线，直线以及轴所围成的封闭图形的面积。

3、（本题10分）求曲线在点处的切线方程，并求该切线与坐标轴围成的三角形面积。

四、证明题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设函数在[0,1]上连续，在内可导，且，。证明：存在，，使得。

2、（本题10分）设函数在区间[a,b]上可微，且。证明：。

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