第四章弯曲应力.ppt

弯 曲 应 力,第 四 章,对称弯曲的概念及计算简图,梁的剪力和弯矩,剪力图和弯矩图,梁横截面上的正应力,梁的正应力强度条件,梁横截面上的切应力,梁的切应力强度条件,平面刚架和曲杆的内力图,梁的合理设计,返回,一、弯曲的概念,4-1,对称弯曲的概念及梁的计算简图,梁,：,以弯曲变形为主的杆件。,1.,弯曲变形,外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系,（有时还包括力偶）。,受力特征,：,变形特征,：梁变形前为直线的轴线，变形后成为曲线。,纵向对称面,：包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线的平面,称为纵向对称面。,对称弯曲,：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内，,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线，,这种弯曲称为对称弯曲。,二、对称弯曲,非对称弯曲,：,梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面，,但外力并不作用在纵向对称面内这种弯曲称为非对称弯曲。,A,B,横截面的对称轴,梁的轴线,纵向对称面,变形后的轴线与外力在同一平面内,三、梁的计算简图,R,H,（,1,）固定端,在梁的计算简图中用梁的轴线代表梁,1.,支座的简化,R,H,R,（,2,）固定铰支座,(3),可动铰支座,2.,工程中常用到的静定梁,悬臂梁,外伸梁,简支梁,3.,几种超静定梁,l,A,B,C,q,F,例题,1,:,计算,悬臂梁的约束力。,F,q,B,A,l,C,由平衡方程得,：,解,:,求梁的约束力,R,A,和,m,R,。,解得：,1m,1m,1m,0.5m,3m,F,=50kN,M=5kN.m,A,E,C,D,K,B,例题,2,：计算图,所示多跨静定梁的约束力。,1m,1m,1m,0.5m,3m,F,=50kN,M=5kN.m,A,E,C,D,K,B,再将副梁,CB,的两个约束力,X,C,，,Y,C,反向，,并分别加在主梁,AC,的,C,点处，求出,AC,的约束力。,分析：先将中间铰,C,拆开，并通过平衡方程求出副梁,CB,的约束力。,C,M=5kN.m,D,K,B,1m,1m,1m,0.5m,3m,P,=50kN,M=5kN.m,A,E,C,D,K,B,解：（,1,）研究,CB,梁，由平衡方程,M=5kN.m,D,K,B,F,=50kN,A,E,C,（,2,）研究,AC,梁，由平衡方程,a,F,A,B,一、梁的剪力（,F,s,）,和弯矩（,M,）,的定义与计算,4-2,梁的剪力和弯矩,剪力图和弯矩图,m,m,x,1.,用截面法求横截面上的内力,F,s,用截面法假想地在,横截面,mm,处把梁分,为两段，先分析梁左段。,x,x,m,A,m,y,C,a,F,A,B,m,m,x,由平衡方程得,可得,F,s,=,F,A,F,s,称为,剪力,可得,M,=,F,A,x,由平衡方程,F,s,M,内力偶,M,称为,弯矩,a,F,A,B,m,m,x,x,x,m,A,m,y,C,F,s,M,a,F,A,B,m,m,x,x,x,m,A,m,y,C,梁在弯曲变形时，,横截面上的内力有,两个，即，,结论,剪力,F,s,弯矩,M,F,s,M,B,m,m,F,取右段梁为研究对象。,其上剪力的指向和弯矩,的转向则与取右段梁为,研究对象所示相反。,M,F,s,x,x,m,A,m,y,C,d,x,m,m,F,s,F,s,+,（,1,）剪力,F,s,的符号,使,dx,微段有,左端向上而右端向下,的相对错动时，横截面,m-m,上,的剪力为,正。,2.,F,s,和,M,的正负号的规定,或使,d,x,微段有顺时针转动趋势的剪力为,正,。,使,d,x,微段有,左端向下而右端向上,的相对错动时，横截面,m-m,上,的剪力为,负,。,d,x,m,m,F,s,F,s,-,或使,d,x,微段有逆时针转动趋势的剪力,为,负,。,m,m,+,_,当,d,x,微段的弯曲,下凸,（即该段的,下半部受拉,）,时,，,横截面,m-m,上的弯矩为,正,；,（,2,）弯矩符号,（受拉）,M,M,m,m,（受压）,M,M,当,d,x,微段的弯曲,上,凸,（即该段的,下半部受拉,压,）,时,，,横截面,m-m,上的弯矩为为,负,。,B,d,E,D,A,a,b,c,l,C,F,例题,3,：为图示梁,的计算简图。已知,P,1,、,P,2,，,且,P,2,P,1,，,尺寸,a,、,b,、,c,和,l,亦均为已知。试求梁在,E,、,F,点处横截面处的,剪力和弯矩。,解,:,B,d,E,D,A,a,b,c,l,C,F,解得：,B,d,E,D,A,a,b,c,l,C,F,记,E,截面处的剪力,为,F,sE,和弯矩,M,E,。,A,E,C,B,d,E,D,A,a,b,c,l,C,F,假设,F,sE,和弯矩,M,E,均为,正值,。,解得,+,+,B,d,E,D,A,a,b,c,l,C,F,A,E,C,A,E,C,a-c,b-c,c,D,l,-c,B,E,取右段为研究对象,B,d,E,D,A,a,b,c,l,C,F,解得：,+,+,A,E,C,a-c,b-c,c,D,l,-c,B,E,F,d,B,计算,F,点横截面处的剪力,F,sF,和弯矩,M,F,。,B,d,E,D,a,b,c,l,C,F,-,+,解得：,例题,4,：图,示简支梁受线性变化的分布荷载作用,，,最大荷载集度为,q,0,。,试计算梁在,C,点处横截面上的,剪力和弯矩。,l,A,B,C,a,解：求梁的支座力,R,A,和,R,B,l,A,B,C,a,由平衡方程得：,解得：,C,a,A,此合力距,C,点的距离为,a/3,在,C,点处梁上的荷载集度为,该梁段上分布荷载的合力为,l,A,B,C,a,列出平衡方程,C,a,A,l,A,B,C,a,解得,当,时,F,sC,为,正,M,C,恒为正,C,a,A,l,A,B,C,a,（,1,）横截面上的,剪力,在数值上,等于,此横截面的 左侧 或,右侧,梁段上 外力的代数和。,向上的外力引起正值的剪力,向下的外力引起负值的剪力,向下的外力引起正值的剪力,向上的外力引起负值的剪力,求剪力和弯矩的简便方法,左侧,梁段：,右侧 梁段：,（,2,）横截面上的,弯矩,在数值上,等于,此横截面的 左侧 或 右侧,梁段上的 外力对该截面形心的力矩之代数和。,不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起,正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。,顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩,逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩,逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩,顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩,左侧梁段：,右侧梁段：,例题,5,：轴的计算简图如图所示，已知,P,1,=,P,2,=P=60kN,，,a=230mm,，,b =100 mm,和,c=1000 mm,。,求,C,、,D,点处,横截面上的剪力和弯矩。,A,C,D,B,b,a,c,解：,A,C,D,B,b,a,c,（,1,）计算,C,横截面上的剪力,F,sC,和弯矩,M,C,。,看左侧,（,2,）计算,D,横截面上的剪力,F,sD,和弯矩,M,D,。,看左侧,A,C,D,B,b,a,c,1m,2.5m,10kN,.m,A,B,C,1,2,解：,例题,6,：,求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩,C,1,2,看左侧,1m,2.5m,10KN.m,A,B,C,1,2,1,截面,看右侧,看左侧,C,1,2,1m,2.5m,10kN.m,A,B,C,1,2,2,截面,例题,7,：求指定截面上的内力,F,sA,左,，,F,sA,右,，,F,sD,左,，,F,sD,右,，,M,D,左,，,M,D,右,，,F,sB,左,，,F,sB,右,。,解：,F,A,=14.5,kN,，,F,B,=3.5,kN,m,=3kN.m,2m,2m,4m,C,A,D,B,F,A,F,B,看左侧,看右侧,计算,F,sA,左,，,F,sA,右,，,F,sD,左,，,F,sD,右,m=3kN.m,2m,2m,4m,C,A,D,B,F,A,F,B,看右侧,看左侧,看右侧,看左侧,计算,M,D,左,，,M,D,右,m=3kN.m,2m,2m,4m,C,A,D,B,F,A,F,B,看右侧,计算,F,sB,左,，,F,sB,右,m=3kN.m,2m,2m,4m,C,A,D,B,F,A,F,B,F,s,=,F,s,(,x,),M,=,M,（,x,）,即：,二、剪力方程和弯矩方程,剪力图和弯矩图,1.,剪力方程和弯矩方程,用函数表达式表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化,规律,，,分别称作剪力方程和弯矩方程,。,弯矩图为正值画在,x,轴,下侧,，负值画在,x,轴,上侧,2.,剪力图和弯矩图,剪力图为正值画在,x,轴,上侧,，负值画在,x,轴,下侧,绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出梁的,剪力方程,和,弯矩方程,，然后根据它们作图。,F,s,图的坐标系,x,F,s,(,x,),o,M,图的坐标系,x,M,(,x,),o,A,F,B,l,例题,8,：,图,a,所示的悬臂梁在自由端受集中荷载,F,作用,试作此梁的剪力图和弯矩图。,A,F,B,l,x,解,：,将坐标原点取在梁的左端，,写出,梁的,剪力方程,和,弯矩方程,：,F,s,x,F,Fl,x,M,A,F,B,l,x,解,：,求得两个约束力,A,B,l,例题,9,：,图,示的简支梁，在全梁上受集度为,q,的均布荷载,作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。,A,B,l,取距左端为,x,的任意横截面。写出,剪力方程,和,弯矩方程,。,x,剪力图为一倾斜直线。,绘出剪力图。,x,=0,处，,x,=,l,处，,+,A,B,l,x,弯矩图为一条二次抛物线,由,x,=,l,M,=0,A,B,l,x,令,得驻点,弯矩的极值,A,B,l,x,绘出弯矩图,A,B,l,x,+,梁跨中截面上的弯矩值为最大,但此截面上，,F,s,=0,两支座内侧横截面上剪力,绝对值为最大,A,B,l,x,+,+,l,F,A,B,c,a,b,解：求梁的约束力,例题,10,:,图,示的简支梁在,C,点处受集中荷载,F,作用。,试作此梁的剪力图和弯矩图。,因为,AC,段和,CB,段的内力方程不同，所以必须分段写,剪力方程和弯矩方程。,l,F,A,B,c,a,b,l,F,A,B,c,a,b,将坐标原点取在梁的左端,AC,段：,CB,段：,x,x,由（,1,），（,3,）两式可知,，,AC,，,CB,两段梁的剪力图各是一条平行于,x,轴的直线。,l,F,A,B,c,a,b,x,x,+,-,由（2），（4）式可知，,AC,，,CB,两段梁的弯矩图各是一条斜直线,+,l,F,A,B,c,a,b,x,x,在集中荷载作用处的左，右 两侧截面上,:,剪力值（图）有突变,突变,值等于集中荷载,F,。,弯矩图形成尖角，,该处弯矩值最大,，,l,F,A,B,c,a,b,x,x,+,-,+,（,2,）以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束 处，及支座截面处为界点将梁分段,。,分段写出剪力方程和弯矩方 程，然后绘出剪力图和弯矩图。,作剪力图和,弯矩图的,几条规律,（,1,）取梁的左端点为座标原点，,x,轴向右为正；剪力图向,上为正；,弯矩图,向下为正。,（,3,）,梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值（图）,有突变，其突变值等于集中力的数值。在此处,弯矩图则形成,一个尖角,。,（,4,）梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图）,也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值,。,但在此处,剪力,图没有变化。,（,5,）梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；,梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，,或,F,s,=0,的截面处。,A,B,F,例题,11,：一,简支梁受移动荷载,F,的作用如,图,所示。试求梁的,最大弯矩为极大时荷载,F,的位置。,解：先设,F,在距左支座,A,为,x,的任意位置。求此情况下梁的,最大,弯矩为极大。,l,A,B,F,F,A,F,B,荷载在任意位置时，支,座约束,力为,：,C,当荷载,F,在距左支座为,x,的任意位置,C,时，梁的,弯矩值为：,令,l,A,B,F,F,A,F,B,C,此结果说明：当移动荷载,F,在简支梁的跨中时，,梁的最大弯矩为极大,。,得最大弯矩值,将,x,=,l,/2,代入式,例题,12,：已知,q,=3kN/m,m,=3kN.m,，,列内力方程并画内力图。,A,C,B,D,q,m,2m,2m,4m,解：,F,A,=14.5,kN,，,F,B,=3.5,kN,x,x,F,s,(,x,)=-,qx,=-3,x,(0,x,2),AD:,(2,x,6),A,C,B,D,q,m,2m,2m,4m,(0,x,2),CA:,(2,x,6),x,x,x,DB:,(6,x,8,),(6,x,8,),A,C,B,D,q,m,2m,2m,4m,画剪力图,+,-,-,CA:,F,s,(,x,)=-,qx,=-3,x,AD:,DB:,(0,x,2),(2,x,6),(6,x,8,),x,x,x,A,C,B,D,q,m,2m,2m,4m,6kN,8.5kN,3.5kN,x=4.83m,由,得,14.5-3,x,=0,x,=4.83m,为弯矩的极值点,AD:,(2,x,6),(2,x,6),+,-,-,x,x,x,A,C,B,D,q,m,2m,2m,4m,6kN,8.5kN,3.5kN,x=4.83m,画弯矩图,+,-,6.04,(6,x,8,),(2,x,6),(0,x,2),A,C,B,D,q,m,2m,2m,4m,单位,:,kN.m,4,6,7,三、弯矩、剪力 与 分布荷载集度 间的微分关系及其应用,1.,弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系,设梁上作用有任意分布荷载其集度,q,=,q,(,x,),x,y,q,(,x,),F,M,e,规定,：,q,(,x,),向上为正。,将,x,轴的坐标原点取在梁的,左端,。,x,y,q,(,x,),F,M,e,x,y,q,(,x,),F,M,e,假想地用坐标为,x,和,x,+d,x,的,两横截面,m-m,和,n-n,从梁,中取出,d,x,一段。,m,m,n,n,q,(,x,),C,x,m,m,n,n,d,x,由于,d,x,很,小，略去,q,(,x,),沿,d,x,的变化。,m,m,n,n,q,(,x,),C,m-m,截面上内力为,F,s,(,x,),，,M,(,x,),F,s,(,x,),M,(,x,),nn,截面处内力分别为,F,s,(,x,)+d,F,s,(,x,),M,(,x,)+d,M,(,x,),。,F,s,(,x,)+d,F,s,(,x,),M,(,x,)+d,M,(,x,),x,y,q,(,x,),F,M,e,x,m,m,n,n,d,x,F,y,=0,F,s,(,x,)-,F,s,(,x,)+d,F,s,(,x,)+,q,(,x,)d,x,=0,得到,写出平衡方程,=,q,(,x,),d,F,s,(,x,),d,x,m,m,n,n,q,(,x,),C,F,s,(,x,),M,(,x,),F,s,(,x,)+d,F,s,(,x,),M,(,x,)+d,M,(,x,),写出平衡方程,略去二阶无穷小量即得,m,m,n,n,q,(,x,),C,F,s,(,x,),M,(,x,),F,s,(,x,)+d,F,s,(,x,),M,(,x,)+d,M,(,x,),得到,m,m,n,n,q,(,x,),C,F,s,(,x,),M,(,x,),F,s,(,x,)+d,F,s,(,x,),M,(,x,)+d,M,(,x,),公式的几何意义,剪力图上某点处的切线斜率等于该点,处荷载集度的大小,弯矩图上某点处的切线斜率等于该点,处剪力的大小。,M,(,x,),图为一向,下,凸的二次抛物线,F,s,(,x,),图为一向右下方倾斜的直线,x,F,s,(,x,),o,2.,q,(,x,),、,F,s,（,x,）,图、,M,（,x,）,图三者间的关系,（,1,）梁上有向下的均布荷载，即,q,(,x,)0,时，向右下方倾斜。,当,F,s,(,x,)0,时，向右上方倾斜。,梁上最大弯矩可能发生在,F,s,(,x,)=0,的截面上，,或梁段边界的,截面上。最大剪力发生在全梁或梁段的界面,。,在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值。,弯矩图的相应处形成尖角。,在集中力偶作用处弯矩图有突变,，,其突变值等于集中力偶的,值，但剪力图无变化。,q,0,向下的均布荷载,无荷载,集中力,F,C,集中力偶,M,e,C,向下倾斜的直线,或,下凸的二次抛物线,在,F,s,=0,的截面,水平直线,+,一般斜直线,或,在,C,处有突变,F,在,C,处有尖角,或,在剪力突变的截面,在,C,处无变化,C,在,C,处有突变,M,e,在紧靠,C,的某一侧截面,一段梁上的外力情况,剪力图的特征,弯矩图的特征,最大弯矩所在,截面的可能位置,表,4-1,在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征,例题,13,：一简支梁受均布荷载作用，其集度,q,=100kN,/m,如图,所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。,解：计算梁的约束力,E,q,A,B,C,D,0.2,1.6,1,2,F,A,F,B,将梁分为,AC,、,CD,、,DB,三段。,AC,和,DB,上无荷载，,CD,段有向下的均布荷载。,E,q,A,B,C,D,0.2,1.6,1,2,F,A,F,B,+,80kN,80kN,DB,段,：水平直线,CD,段,：向右下方的斜直线,AC,段,：水平直线,F,s,A,右,=,F,A,=80,kN,剪力图,E,q,A,B,C,D,0.2,1.6,1,2,F,A,F,B,最大剪力发生在,CD,和,DB,段的任一横截面上。,+,80kN,80kN,E,q,A,B,C,D,0.2,1.6,1,2,F,A,F,B,弯矩图,AC,段,：向下倾斜的直线,CD,段,：向下凸的二次抛物线,+,80kN,80kN,E,q,A,B,C,D,0.2,1.6,1,2,F,A,F,B,其极值点在,F,s,=0,的中点,E,处的横截面上。,DB,段,：向上倾斜的直线,M,B,=,0,+,80kN,80kN,E,q,A,B,C,D,0.2,1.6,1,2,F,A,F,B,+,单位：,kN.m,全梁的最大弯矩梁跨中,E,点的横截面上。,E,q,A,B,C,D,0.2,1.6,1,2,M,B,=,0,16,16,48,例题,14,：作梁的内力图,解：支座约束力为,3m,4m,A,B,c,D,E,4m,4m,将梁分为,AC,、,CD,、,DB,、,BE,四段,3m,4m,A,B,c,D,E,4m,4m,剪力图,AC,：,向下斜的直线,（,）,3m,4m,A,B,c,D,E,4m,4m,剪力图,CD,：,向下斜的直线,(,),3m,4m,A,B,c,D,E,4m,4m,剪力图,DB,：,水平直线,(,）,EB,：,水平直线,(,）,7kN,+,+,-,3m,4m,A,B,c,D,E,4m,4m,3kN,1kN,3kN,2kN,7kN,+,+,-,3m,4m,A,B,c,D,E,4m,4m,3kN,1kN,3kN,2kN,F,x,=,5,m,F,点剪力为零,令,其距,A,点为,x,x,=5m,7kN,+,+,-,3m,4m,A,B,c,D,E,4m,4m,3kN,1kN,3kN,2kN,F,x,=,5,m,弯矩图,AC,：(),（,CD,：(),（,7kN,+,+,-,3m,4m,A,B,c,D,E,4m,4m,3kN,1kN,3kN,2kN,F,x,=,5,m,弯矩图,D,B,：(,),BE,：(,),3m,4m,A,B,c,D,E,4m,4m,单位：,kN.m,20,16,20.5,+,-,6,6,2.,分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系,若在,x=a,和,x=b,处两个横截面,A,、,B,间无集中力则,等号右边积分的几何意义是，上述,A,，,B,两横截面间,分布荷载图的面积,。,式中，,F,s,A,，,F,s,B,分别为在,x,=a,x,=,b,两处各横截面,A,，,B,上的剪力。,若横截面,A,，,B,间无集中力偶作用则得,式中，,M,A,，,M,B,分别为在,x,=a,x,=b,处两个横截面,A,及,B,上的弯矩,。,等号右边积分的几何意义是，,A,，,B,两个横截面间,剪力图的面积,。,例题,15,：计算梁的,C,、,E,两横截面上的剪力和弯矩。,E,q,A,B,C,D,0.2,1.6,1,2,P,A,P,B,在,AC,段中,q,=0,，,且,F,s,A,右,=R,A,解：,E,q,A,B,C,D,0.2,1.6,1,2,P,A,P,B,在,CE,段中,E,q,A,B,C,D,0.2,1.6,1,2,P,A,P,B,在,AC,段中,F,sC,=80kN,，,剪力图,为矩形，,M,A,=0,+,80kN,80kN,1,E,q,A,B,C,D,0.2,1.6,1,2,P,A,P,B,1,E,q,A,B,C,D,0.2,1.6,1,2,P,A,P,B,在,CE,段中，剪力图为三角形,F,s,C,=80kN,，,M,C,=16kN.m,+,80kN,80kN,解：,支座力为,R,A,=81,kN,R,B,=29,kN,m,A,=96.5,kN.m,例题,16,：用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图。梁长单位是米,(,m),。,1,0.5,1,1,3,F,=50kN,M,=5kN.m,A,E,C,D,K,B,R,A,R,B,m,A,将梁分为,AE,，,EC,，,CD,，,DK,，,KB,五段。,剪力图,AE,段,：水平直线,F,sA,右,=,F,sE,左,=R,A,=81kN,ED,段：水平直线,F,sE,右,=R,A,-P=31kN,DK,段：向右下方倾斜的直线,F,sK,=-R,B,=-29kN,KB,段：水平直线,F,sB,左,=-R,B,=-29,kN,+,81kN,31kN,29kN,1,0.5,1,1,3,F,=50kN,M,=5kN.m,A,E,C,D,K,B,R,A,R,B,m,A,剪力图,+,81kN,31kN,29kN,1,0.5,1,1,3,F,=50kN,M,=5kN.m,A,E,C,D,K,B,R,A,R,B,m,A,设距,K,截面为,x,的截面上,剪力,F,s,=0,。即,x,=1.45m,弯矩图,+,81kN,31kN,29kN,1,0.5,1,1,3,F,=50kN,M,=5kN.m,A,E,C,D,K,B,R,A,R,B,m,A,x,AE,，,EC,，,CD,梁段均,为向下倾斜的直线,=1.45m,弯矩图,+,81kN,31kN,29kN,1,0.5,1,1,3,F,=50kN,M,=5kN.m,A,E,C,D,K,B,R,A,R,B,m,A,x,=1.45m,DK,段：向下凸的二次抛物线,在,F,s,=0,的截面上弯矩有极值,KB,段：向下倾斜的直线,弯矩图,1,0.5,1,1,3,F,=50kN,M,=5kN.m,A,E,C,D,K,B,R,A,R,B,m,A,+,x,=1.45m,15.5,31,55,34,5,96,单位：,kN.m,1,0.5,1,1,3,F,=50kN,M,=5kN.m,A,E,C,D,K,B,R,A,R,B,m,A,+,x,=1.45m,15.5,31,55,34,5,96,单位：,kN.m,+,81kN,31kN,29kN,中间铰链传递剪力,（铰链左、右两侧的剪力相等）；,但不传递弯矩（铰链处弯矩必为零）。,+,a,b,c,d,18kN,2kN,3m,3m,6m,补充例题,：已知简支梁,，,的剪力图作梁的弯矩图,和荷载图。已知梁上没,有集中力偶作用。,C,A,B,D,14kN,+,a,b,c,d,18kN,2kN,3m,3m,6m,C,A,B,D,14kN,解：,画荷载图,AB,段：没有荷载，在,B,处,有集中力，,F,=20kN,。,因为,所以,F,(,),F,=20kN,+,a,b,c,d,18kN,2kN,3m,3m,6m,C,A,B,D,14kN,解：,画荷载图,F,=20kN,q,=2kN,BC,段：无荷载,CD,段：有均布荷载,q,(,),+,a,b,c,d,18kN,2kN,3m,3m,6m,c,a,b,d,14kN,解：,画弯矩图,AB,段：向右下倾斜的直线,54,BC,段：向右上倾斜的直线,CD,段：向下凸的二次抛物线。,该段内弯矩没有极值。,48,+,补充例题,：已知简支梁的弯矩图，作出梁的剪力图和荷载图。,a,b,c,d,解：,作剪力图,AB,段：因为,M,(,x,)=,常量，,剪力图,为水平直线，且,F,s,(,x,)=0,。,40kN.m,+,a,b,c,d,2m,2m,2m,BC,段：,F,s,(,x,),=,常量,剪力图为水平直线,CD,段：,剪力图为水平直线且,F,s,(,x,)=0,20kN,a,b,c,d,解：,作荷载图,40kN.m,+,a,b,c,d,2m,2m,2m,20kN,AB,段,:,无荷载,m,=40kN.m (,),在,A,处有集中力偶,A,B,C,D,m,F,=20kN (,),B,处有集中力,集中力,F,BC,段：无荷载，,C,处有集中力。,集中力,:,F,=20kN (,),CD,段：,无荷载,F,四、按叠加原理作弯矩图,当梁上受几项荷载共同作用时，某一横截面上的,弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一横截面,上弯矩的代数和。,F,=q,l/,3,q,x,l,臂梁受集中,荷载,F,和均布荷载,q,共同作用，在距左端,为,x,的任一横截面上的弯矩为,F,x,F,q,x,l,q,x,F,单独作用,q,单独作用,F,，,q,作用该截面上的弯矩等于,F,，,q,单独作用该截面上的弯矩,的代数和,F,x,F,q,x,l,q,x,-,+,+,-,-,+,-,+,例题,17,：,图,示一外伸梁,，,a=425mm,F,1,、,F,2,、,F,3,分别为,685,kN,，,575,kN,，,506,kN,。,试按叠加原理作此梁的弯矩图，求梁的,最大弯矩。,B,C,F,2,F,3,a,D,E,F,1,A,a,a,a,解：将梁上荷载分开,B,C,a,D,E,F,1,A,a,a,a,-,291,a,d,c,b,e,B,C,F,2,F,3,a,D,E,F,1,A,a,a,a,+,a,d,c,b,e,122,B,C,a,D,E,F,2,A,a,a,a,B,C,F,2,F,3,a,D,E,F,1,A,a,a,a,B,C,a,D,E,F,3,A,a,a,a,B,C,F,2,F,3,a,D,E,F,1,A,a,a,a,-,a,d,c,b,e,215,B,C,F,2,F,3,a,D,E,F,1,A,a,a,a,-,a,d,c,b,e,215,+,a,d,c,b,e,122,-,291,a,d,c,b,e,291,215,131,-,a,d,c,b,e,作业,P146,4-1,4-2(b,d),P147 4-3(b,e,g),4-4(a),4-3,平面刚架和曲杆的内力图,平面刚架的内力,：,剪力,，,弯矩,，,轴力,A,B,C,平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端,相互刚性连结而组成的结构。,一、平面刚架的弯矩图，轴力图,弯矩图：,画在各杆的受压一側，不注明正，负号。,剪力图及轴力图：,可画在刚架轴线的任一側（通常正值画在,刚架的外側）。注明正，负号。,例题,：图示为下端固定的刚架。在其轴线平面内受集中力,F,1,和,F,2,作用，作此刚架的弯矩图和轴力图,。,a,l,F,1,F,2,A,B,C,解：将刚架分为,CB,，,AB,两段,CB,段：,F,N,(,x,)=0,M,(,x,)=,F,1,x,(0,x,a),C,x,M(,x,),a,l,F,1,F,2,A,B,C,x,F,N,(,x,),F,s,(,x,),F,s,(,x,)=,F,1,(+)(0,x,a),C,B,a,BA,段,：,F,N,(,x,)=,F,1,（,）,(0,x,l,),M,(,x,)=,F,1,a+,F,2,x,(0,x,l,),x,F,s,(,x,),F,s,(,x,)=,F,2,(+)(0,x,l,),a,l,F,1,F,2,A,B,C,F,1,F,N,图,CB,段：,F,N,(,x,)=0,BA,段：,F,N,(,x,)=,F,1,（,）,a,l,F,1,F,2,A,B,C,F,s,图,CB,段：,BA,段：,a,l,F,1,F,2,A,B,C,F,2,+,+,F,1,F,s,(,x,)=,F,2,(+),F,s,(,x,)=,F,1,(+),CB,段：,M,(,x,)=,F,1,x,(0,x,a),BA,段：,M,(,x,)=,F,1,a+,F,2,x,(0,x,l,),a,l,F,1,F,2,A,B,C,M,图,F,1,a,F,1,a+,F,2,l,F,1,a,二、平面曲杆的弯曲内力,引起拉伸的轴力为正,使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩。,产生顺时针转动趋势的剪力为正,o,o,P,t,n,o,C,F,o,R,F,N,M,F,s,F,o,R,+,F,R,M,外伸梁弯曲内力图,4-4,梁截面上的正应力,梁的强度条件,当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩,M,，,又有剪力,F,s,。,m,m,F,s,M,154,只有与正应力有关的法向内力元素,d,F,N,=,dA,才能合成弯矩,只有与切应力有关的切向内力元素,d,F,s,=,dA,才能合成,剪力,所以，在梁的横截面上一般既有,正应力,，,又有,切应力,m,m,F,s,m,m,M,一、纯弯曲梁截面上的正应力,F,F,a,a,C,D,+,+,F,F,+,F,a,简支梁,CD,段任一横截面上,，,剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是,纯弯曲,。,若梁在某段内各横截面上的,弯矩为常量,，,剪力为零,，,则该段梁的弯曲就称为,纯弯曲,。,推导公式时，要综合考虑,几何,，,物理,和,静力学,三方面,。,取 一,纯弯曲,梁来研究。,推导,纯弯曲,梁横截面上正应力的计算公式。,1.,几何方面,以及横向线相垂直的一系列的纵向线（如,aa,，,bb,等,）,。,m,m,n,n,a,a,b,b,梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（如,mm,，,nn,等）,m,m,（,1,）变形前相互平行的纵向直线（,aa,，,bb,等），,变形后均为,圆弧线（,aa,，,bb,等,),，,且靠上部的缩短靠下部的伸长。,梁变形后观察到的现象,m,m,n,n,a,a,b,b,a,a,b,b,m,m,m,m,n,n,a,a,b,b,（,2,）变形前垂直于纵向直线的横向线（,mm,nn,等,）变形后仍,为直线（,mm,nn,等），但相对转了一个角度，且与,弯曲后的纵向直线垂直。,m,m,n,n,a,a,b,b,平面假设,：梁在受力弯曲后，原来的横截面仍,为平面，它绕着该横截面上的,某一轴,旋转了一,个角度，且仍垂直于梁弯曲后的轴线。,由平面假设可知，在梁弯曲时，,这两个横截面将相对地旋转一个,角度,d,。,用两个横截面从梁中假想地截取,长为,d,x,的一段。,d,（,3,）公式推导,d,横截面的转动将使梁的凹边的纵向线段缩短，凸边的纵向线段伸长,。,由于变形的连续性，中间必有一层纵向线段,O,1,O,2,无长度改变。此层称为,中性层,。,O,1,O,2,的长度为,d,x,。,O,1,O,2,d,x,d,O,1,O,2,d,x,中性轴与横截面的,对称轴成正交,。,中性层与横截面的交线称,为,中性轴,。,d,O,1,O,2,d,x,中性层,中性轴,横截面,横截面的对称轴,d,O,1,O,2,d,x,y,Z,x,将梁的轴线取为,x,轴。,横截面的对称轴取为,y,轴。,中性轴取为,z,轴。,d,O,1,O,2,d,x,作,O,2,B,1,与,O,1,A,平行。,在横截面上取距中性轴为,y,处,的纵向线,AB,。,为中性层上的纵向线段,O,1,O,2,变弯后的曲率半径。,A,B,y,B,1,d,d,O,2,B,1,的长度为,y,。,y,d,O,1,O,2,d,x,A,B,y,B,1,d,d,y,AB,1,为变形前,AB,的长度,B,1,B,为,AB,1,的伸长量,AB,1,为,A,点的纵向线应变,。,dx,d,O,1,O,2,d,x,A,B,y,B,1,d,d,中性层的曲率为,因为,是个非负的量于是,dx,y,d,O,1,O,2,d,x,A,B,y,B,1,d,d,dx,y,因而，,横截面上到中性轴等,远的各点，其线应变相等。,变,该式说明，,和,y,坐标成正比,而与中性轴,z,坐标无关。,，,dx,d,O,1,O,2,d,x,A,B,y,B,1,d,d,dx,y,dx,x,y,Z,O,y,2.,物理方面,纯弯曲时横截面上各点处的处于,单轴应力状态,。,材料在线弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等。,由单轴应力状态下的,胡克定律,可得物理关系,假设：,=,E,上式为横截面上,正应力,变化规律的表达式。,上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距,离,y,成正比；,O,x,y,Z,y,1,在距中性轴为,y,的同一横线上,各点处的 正应力 均相等。,y,M,需要解决的问题,如何确定,中性轴的位置,？,如何计算,1/,?,中性轴,弯曲正应力,y,Z,x,O,M,3.,静力学方面,在横截面上法向内力元素,dA,构成了空间平行力系,。,dA,Z,y,dA,dA,1,dA,y,Z,x,O,M,dA,Z,y,dA,dA,1,dA,该空间平行力系简化为,x,轴方向的主矢,对,y,轴和,z,轴主矩,因为该梁段是纯弯曲，因此,F,N,和,M,y,均等于零，,而,M,z,就是,上横截面的弯矩,M,。,y,Z,x,O,M,dA,Z,y,dA,dA,1,dA,中性轴必通过横截面的形心,中性轴过截面形心且与横截面的对称,轴,y,垂直,y,y,C,Z,C,Z,中性轴,中性轴,中性轴将横截面分为,受拉,和,受压,两部分。,M,M,y,y,C,Z,C,Z,中性轴,中性轴,拉,拉,压,压,因为,y,轴是横截面的对称轴，所以,I,yz,一定为零。,该式自动满足,中性轴是横截面的形心主惯性轴,EI,z,称为截面的弯曲刚度,M,横截面上的弯矩。,该式为等直梁,纯弯曲,时横截面上任一点处,正应力,的计算公式,y,求应力点的,y,坐标。,式中：,横截面对中性轴的惯性矩。,I,z,4.,讨论,（,1,）应用公式时，一般将,M,，,y,以绝对值代入。根据梁变形,的实际情况直接判断,的正，负号。,以中性轴为界,梁变形后凹入边的应力为压应力（,为负号,）,梁变形后凸出边的应力为拉应力（,为正号,）,（,2,）横截面,中性轴上,各点的正应力最小。且,min,=0,M,M,y,y,C,Z,C,Z,中性轴,中性轴,（,3,）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处,中性轴为对称轴,Z,y,C,M,tmax,Cmax,压,拉,用,y,max,表示最大 拉（压）,应力点到中性轴的距离。,Z,y,C,M,tmax,Cmax,压,拉,W,Z,称为弯曲截面系数。,Z,y,C,M,tmax,Cmax,压,拉,中性轴是对称轴,的梁横截面上最大正应力的计算公式为,y,z,h,b,矩形截面的弯曲截面系数,圆形截面的弯曲截面系数,d,y,z,M,矩形截面梁横截面上正应力分部图,z,y,对于中性轴不是对称轴的横截面,M,tmax,Cmax,应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离,y,tmax,和,y,Cmax,直接代入公式。求得相应的最大拉应力和最大压应力。,z,y,M,tmax,Cmax,z,y,M,tmax,Cmax,当梁上有横向力作用时，横截面上既又,弯矩,又有,剪力,。梁在此种情况下的弯曲称为,横力弯曲,。,二、纯弯曲理论的推广,横力弯曲,时，梁的横截面上既有正应力,，,又有切应力,。,切应力使横截面发生翘曲,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力,纯弯曲时所作的,平面假设,和,各纵向线段间互不挤压,的假设都不成立。,但工程中常用的梁，,纯弯曲,时的正应力可以精确的,计算公式计算,横力弯曲,时横截面上的正应力。,等直梁,横力弯曲,时，某一横截面上的最大正应力发生在距中性轴最远的位置。,三、梁的正应力强度条件,梁,的最大正应力