柯西积分公式和高阶导数公式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节 柯西积分公式和高阶,一、柯西积分公式,二、高阶导数公式,三、调和函数,导数公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,解析，,内一点，,是,一、柯西积分公式,是正向简单闭曲线，,设,上及,其内部,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,解析，,内一点，,是,二、高阶导数公式,是正向简单闭曲线，,设,上及,其内部,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,公式,常用于计算积分：,这两个积分的被积函数分别为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1,计算积分,解：,圆周,内包含,而函数,在,内解析，,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2,计算积分,解：,圆周,内包含,而函数,在,内解析，,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3,计算积分,解：,圆周,内包含,而函数,在,内解析，,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4,计算积分,解：,圆周,内包含,而函数,在,内解析，,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5,计算积分,解：,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、调和函数,定义：,设,在区域,内具有二阶连续偏导数，,并且满足拉普拉斯方程,那么称,为区域,内的,调和函数,.,定义：,且满足柯西,-,黎曼方程,设,都是,内的调和函数，,则称,是,共轭调和函数,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理：,任何在区域,内解析的函数，,它的实部和,虚部都是,内的调和函数,.,例,6,解：,证明,为调和函数，,并求其共轭,调和函数,和由它们构成的解析函数,.,所以,即,为调和函数,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由,得,所以,又由,得，,即,故,因此,得解析函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,7,解：,已知一调和函数,求一解析函数,使,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由,得，,即,故,因此,得解析函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,由,得，,所以,