[课件]概率与统计 7.3 区间估计.ppt

电子科技大学,区间估计,7.3,区间估计,由于样本的随机性，点估计有以下缺陷：,(1),无从断定估计值是否为待估参数的真实值（即使是无偏有效估计量,),；,(2),不能把握估计值与参数真实值的偏离程度,及估计的可靠程度,.,改进,对于,的估计，给定一个范围 满足,:,一、定义,定义,7.3.1,设总体的未知参数为,由样本,X,1,，,，,X,n,确定,两个统计量,对于给定的实数,a,(0,a,2,;,若,1,2,的置信上限小于零,则可认为,1,2.,2),1,2,和,2,2,未知,，,但,1,2,=,2,2,=,2,两稻种产量的期望差的置信区间,问题,：能否用另外的方法求,1,2,的区间估计？,分析,：当,n,1,=,n,2,时（成对抽样）,，,Z,i,N,(,1,2,2,2,),根据抽样定理知，可选枢轴变量,t,(,n,1),两稻种产量的期望差的置信区间,1),未知,1,、,2,2,.,的区间估计,2),已知,1,与,2,三、大样本方法构造置信区间,(,略,),四、单侧置信区间,(,自学,),，见教材,P,167,页,五、大样本方法构造置信区间,对非正态总体而言，要确定其抽样分布往往是比较困难的。,大样本方法就是,本质上这是利用近似分布代替精确分布以构造近似置信区间。,其主要思想是中心极限定理利用极限分布确定枢轴变量的分布，进而构造出置信区间。,例设,为来自泊松分布总体,P,(,l,),的样本，求参数,l,的置信度为,1-,a,的置信区间。,解,由于泊松分布,P,(,l,),的数学期望和方差都是,l,由中心极限定理，当,n,足够大时,近似地服从,N,(0,1),，,所以有,等价于,其中，,A,和,B,是下列二次方程的两个根，,即,故得到,l,的置信区间为,A,B,，,置信度近似地为,1-,a,在统计学中，一个统计方法如果依据的是有关变量的精确分布，不论样本容量多大都称为小样本方法,而一个统计方法如果是基于有关变量的极限分布（,n,），,则称这个方法是大样本方法。,上例所使用的区间估计方法，称为大样本区间估计,至于,n,究竟应该多大？理论上很难给出,n,的一个界限,但许多应用实践表明，当,n,30,时，近似程度还是可以接受的,六、单侧置信区间,前面讨论的区间估计问题，其置信区间都有两个有限的端点，这样的置信区间称为,双侧置信区间,。,在有些实际问题中，我们常常关心的是未知参数至少有多大（例如设备、元件的使用寿命等），或者是未知参数至多是多少（例如产品的不合格品率、杂质含量等），这就引出了只有一个有限端点的,单侧置信区间,概念。,是来自某个总体的样本，,定义设,总体分布包含未知参数,q,是,q,的估计,量如果对,q,的一切可能取值，有,则称随机区间,，,+,为参数,q,的置信度为,1-,a,的单侧置信区间 称为单侧置信下限,是来自某个总体的样本，,定义设,总体分布包含未知参数,q,是,q,的估计,量如果对,q,的一切可能取值，有,则称随机区间,，,为参数,q,的置信度为,1-,a,的单侧置信区间 称为单侧置信上限,单正态总体的区间估计,被估,参数,条件,统计量,(,枢轴变量,W,),置信区间,已,知,2,未,知,2,小结：常见的区间估计,被估,参数,条件,统计量,(,枢轴变量,),置信区间,2,已,知,2,未,知,小结：常见的区间估计,被估参数,条件,统计量,(,枢轴变量,),已知,1,2,与,2,2,未知,1,2,和,2,2,未知,1,和,2,双正态总体的区间估计,小结：常见的区间估计,例,7.3.1,设总体,X,N,(,0.09),，有一组样本值：,12.6,，,13.4,，,12.8,，,13.2,，求参数,的置信度为,0.95,的置信区间,.,解：有,1,a,=0.95,，,0,=0.3,，,n,=4,是,的无偏估计量,是优良估计量，且,从而,在标准正态分布表中查得上侧分位数,u,/2,=,u,0.025,=1.96,得,的置信区间为,代入样本值算得,得到,的一个区间,估计为,12.706,，,13.294,.,注：该区间不一定包含,.,总结此例，做了以下工作：,1,）根据,优良性准则,选取统计量来估计参数；,是,的优良估计量：无偏、有效、相合,.,查找临界值,u,/2,，构造一个关于,U,的概率为置信水平,1,的随机事件,.,这里,建立了关于,与统计量 的函数,U,，并确定,U,的分布；,4,）由上式解出关于待估参数,的不等式，建立起关于,的置信区间,.,#,是,的,优良估计,，且,思考,：,是否仍选统计量 并令,分析,：,1.,求得置信区间,？,例,7.3.2,设,X,N,(,2,),，未知,2,求参数,的置信度为,1,-,的置信区间,.,未知参数的替换,选,S,2,不行！,选一个统计量去替代,2,，,因为未知,2,，故,U,不是统计量,.,S,2,、,M,2,中选哪一个较好？,因它是,2,的无偏、有效、相合估计,.,选下统计量作为枢轴变量，根据抽样定理,由,t,分布的对称性，令,整理后得,的置信区间为,比较 已知,2,=,0,2,时,的置信区间为,#,零件长度的方差,12.15,12.12,12.01,12.28,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06,解,设零件长度为,X,，可认为,X,服从正态分布,.,求方差的估计值和置信区间,(,=0.05).,例,7.3.3,从自动机床加工的同类零件中任取,16,件测得长度值如下,(,单位：,mm,),求方差的置信区间,由于,未知,S,2,是,2,的优良估计,选取枢,轴变量,相应的置信区间为,查,2,分布表可得,2,的置信度为,0.95,的置信区间为,比较：,2,的点估计值为,s,2,=0.005.,#,婴儿体重的估计,例,7.3.4,假定初生婴儿的体重服从正态分布，随机抽取,12,名婴儿，测得体重为：（单位：克）,3100,2520,3000,3000,3600,3160,3560,3320,2880,2600,3400,2540,试以,95%,的置信度估计初生婴儿的平均体重以及方差,.,解,设初生婴儿体重为,X,克，则,X,N,(,2,),(1),需估计,而未知,2,.,作为枢轴变量,.,有,=,，,n,=,，,t,0.025,(11)=,，,(2),需估计,2,而未知,，,有,2,0.025,(11)=,，,2,0.975,(11)=,，,#,甲,140,137,136,140,145,148,140,135,144,141,乙,135,118,115,140,128,131,130,115,121,125,例,7.3.5,甲、乙两种稻种分别种在,10,块试验田中,每块田中甲、乙稻种各种一半。假设两种稻种产量,X,、,Y,服从正态分布，且方差相等,.10,块田中的产量如下表,(,单位：公斤,),，求两稻种产量的期望差,1,2,的置信区间,(,a,=0.05).,解,设,X,N,(,1,1,2,),Y,N,(,2,2,2,),1,2,=,2,2,=,2,，估计,1,2,，取统计量,由样本表可计算得,查,t,分布表得：,t,0.025,(18)=,2.1009,两稻种产量期望差的置信度为,95%,的置信区间为,另解,因枢轴变量,t,(,n,1),，,#,可得两稻种产量期望差的置信度为,95%,的置,信区间为,#,