线代第二章1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,同学们好！,第二章,矩,阵,一,.,矩阵,二,.,矩阵的运算,三,.,逆矩阵,四,.,矩阵分块法,一,.,矩阵概念,矩阵的定义,特殊矩阵,矩阵的应用实例,1.,矩阵的定义,简记为,实矩阵,:,元素是实数,复矩阵：,元素是复数,例如：,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,.,行列式与矩阵的区别,:,1.,一个是算式，一个是数表,2.,一个行列数相同,一个行列数可不同,.,3.,对,n,阶方阵可求它的行列式,.,记为,:,矩阵相等,:,同型矩阵：,两个矩阵的行数相等、列数也相等,例：,，,则x=3,y=2,z=-8.,2.,一些特殊的矩阵,零矩阵,(Zero Matrix):,注意：,不同阶数的零矩阵是不相等的,.,例如：,元素全为零的矩阵称为零矩阵，,零矩阵记作 或,.,行矩阵,(Row Matrix):,列矩阵,(Column Matrix):,方阵,(Square Matrix):,只有一行的矩阵,称为行矩阵,(,或,行向量,).,只有一列的矩阵,称为列矩阵,(,或,列向量,).,例如：,是一个,3,阶方阵,.,行数与列数都等于 的矩阵，,称为 阶,方阵,.,也可记作,对角阵,(Diagonal Matrix):,方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。,单位矩阵,(Identity Matrix):,记作,:,方阵，主对角元素全为,1,，其余元素都为零。,3.,矩阵的应用实例,省两个城市,和,例,1,：,(,通路矩阵,),省三个城市,的交通连结情况如图。,每条线上的数字表示连结该两城,市的不同通路总数,.,由该图提供的通路信息,可用矩阵形,式表示,称之为通路矩阵,.,例,2,：,(,价格矩阵,),四种食品,(Food),在三家商店,(Shop),中,单位,量的售价,(,以某种货币单位计,),可用以下矩阵给出,例,3,：,(,系数矩阵,),个变量,与,个变量,之间的,关系式,表示从变量,到变量,的,线性变换,.,其中,为常数,.,系数矩阵,线性变换,与,系数矩阵,之间存在着,一一对应,关系,.,对应,恒等变换,对角阵,对应,单位阵,比如,二,.,矩阵的基本运算,1.,加减法,2.,数乘矩阵,3.,矩阵的乘法,4.,矩阵的转置,5.,方阵的行列式,6.,共轭矩阵,1.,矩阵的加减法,设有两个 矩阵 那末矩阵,与 的和记作 ，规定为,加法,:,注意：,只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算,.,减法,:,负,矩阵：,矩阵加法满足的运算规律,:,例如：,2.,数与矩阵相乘,数乘,:,注意：,矩阵数乘与行列式数乘的区别,.,数乘矩阵满足的运算规律：,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的,线性运算,.,（设 为 矩阵，为数）,例,4,：,定义：,并把此乘积记作,3.,矩阵与矩阵相乘,设 是一个 矩阵，是一个,矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积,是一个 矩阵 ，其中,故,解:,例,5,：,求AB,注意,:,只有当,第一个矩阵的列数,等于,第二个矩阵的行数,时，,两个矩阵才能相乘,.,例如,:,不,存在,.,线性变换,记,则,线性变换可表示为：,练习,:,计算下列矩阵的乘积,.,=,(,）,例,6,：,计算下列矩阵的乘积,.,矩阵乘法满足的运算规律：,（,其中 为数）,;,矩阵乘法不满足交换律,例,:,设,则,注意：,但也有,例外,，比如设,矩阵乘法不满足消去律,例如：,则,但是,若,A,是,n,阶方阵，则 为,A,的 次幂，即,方阵的幂：,并且,方阵的多项式：,4.,矩阵的转置,定义,:,把矩阵 的行换成同序数的列得到的,新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作,.,例:,转置矩阵满足的运算规律：,例,7,：已知,解法,1,：,解法,2,：,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,.,说明：,对称阵,:,设 为 阶方阵，如果满足 ，即,那末 称为对称阵,.,例,8:,注：,对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵,5.,方阵的行列式,定义,：由 阶方阵 的元素所构成的行列式，,叫做方阵 的行列式，记作 或,运算规律：,注：,虽然,但,（,证明见,P.41,）,定义：,行列式 的各个元素的代数余子式 所,构成的如下矩阵,称为矩阵 的,伴随矩阵,.,故,性质：,证明：,则,同理可得,6.,共轭矩阵,共轭矩阵满足的运算规律：,设 为复矩阵，,表示 的共轭复数，,记 ，称为 的共轭矩阵,欢迎提问,！,作业,:,.54:1(2,4),2,3,7,8,Thank,You,!,