第5章积分应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 五 章 积分应用,5.1 积分的几何应用,5.2 积分在经济分析中的应用,5.3 微分方程,5.1积分的几何应用,一、已知切线斜率求曲线方程,例1.已知曲线上任一点处的切线斜率为 ，且曲线过,(0,2)点，试求该曲线的方程。,二、求平面图形的面积,由定积分的几何意义知，当 时，,表示由曲线 所围成,的平面图形的面积,。,我们可以这样来理解：,(1)将平面图形投影到,x,轴上,则投,影区间,a,b,就是定积分的积分,区间（确定积分的上、下限）,(2)被积函数为平面图形的上边,函数减去下边函数，即,f(x)0（,确定被积函数）,例1.求 下方与,x,轴上方在 1,e,之间的面积。,解：,例2.求曲线 所围成的平面图,形的面积。,例3.求 所围图形的面积。,得交点坐标为(0,0)、(1,1),解：解方程组,因此,例4.求由 所围图形的面积。,例5.求由曲线 所围平面图形的面积。,因此,得交点坐标为(-1,-1)、(0,0)、(1,1),解：解方程组,三、定积分几何意义的两个推论,推论1.,推论2.设,f(x)、g(x),在,a、b,上连续，且在,a、b,上满足,5.2 积分在经济分析中的应用,一、由边际函数求原经济函数,其中积分常数,C,由具体条件确定。,1.需求函数,其中积分常数,C,可由条件,q(0)=q,0,确定。,(,q,0,为最大需求量）,2.总成本函数,其中积分常数,C,可由条件,C(0)=C,0,确定。,（,C,0,为固定成本）,例1.已知某商品的边际需求为4，且该商品的,最大需求量为80，求需求函数。,例2.已知生产某产品的边际成本为 ，,固定成本,C,0,=90，,求总成本函数。,例,3.,已知生产某产品的边际收入为,，,求生产,40,个单位时的总收入及平均收入，并求再增加生产,10,个单位时所增加的总收入。,因此在,40,个单位的基础上，再增加生产,10,个单位时所,增加的总收入为,100,元。,二、由边际函数求最优化问题,例1.某企业生产,q,吨产品时的边际成本为,且固定成本为900元，试求平均成本最低时的产量。,因此,q=300,为唯一驻点，由实际问题知，当产量为300吨,时，平均成本最低。,例2.已知某商品每周生产,q,个单位时，边际成本为,固定成本为500元，售价为20元/单位，求：,(1)利润函数,L(q),(2),每周生产多少单位时，才能获得最大利润？,因此由实际问题知，当每周生产80个单位时才能,获得最大利润。,习题,P.188,练习5.1,2，3（1）、（6）、（7），,5（2）、（3）,P.198,练习5.2,2，7，9,5.3 微分方程,一、微分方程的基本概念,微分方程的阶：微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数。,微分方程的通解：含有任意常数的解。,微分方程的特解：不含有任意常数的解（任意常数由初始条,件确定）。,常微分方程（未知函数是一元函数）,微分方程,偏微分方程（未知函数是多元函数）,定义5.1 含有未知函数的导数的等式，称为微分方程。,这就是微分方程所要研究的问题。,若已知导函数,y,所满足的一个关系式，怎样求出原函数,y？,二、一阶微分方程,1、可分离变量的微分方程,y=f(x)g(y),两边分别积分，即可求得通解。,例1.求微分方程 的通解。,解：原微分方程经分离变量后，得,2、一阶线性微分方程,其通解由下述公式给出：,例3.,解：原方程即为,习题,P.207,练习5.3,1，3，4（1），5（1）,P.207,习题5,4（1）、（3）、（9），13，,15，21，22（1），23（1）,