第五章 代数结构.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,*,第五章 代数结构,本章主要内容,代数系统的引入，运算的性质：封闭性、结合性、分配性、交换性；,主要的代数系统：广群、半群、独异点、群、子群；代数系统之间的关系；,交换群和循环群；,陪集、拉格朗日定理；,同态映射、同构映射；,环、同态象、域。,学习要求,本章从一般代数系统的引入出发，研究一些特殊的代数系统中运算的性质。通过本章的学习使学生了解代数系统的结构与性质。,2026/3/5 周四,1,本章将从一般代数系统的引入出发，研究一些特殊的代数系统，而这些代数系统中的运算具有某些性质，从而确定了这些代数系统的数学结构。,2026/3/5 周四,2,5-1,代数系统的引入,一、集合上的运算及封闭性,一元运算：,f,1,:,a,a,R,a,0,f,2,:,a,a,a,R,f,3,:,a,-,a,a,R,二元运算：,f,4,:a,b,a+b,a,b,R,f,5,:a,b,ab,a,b,R,f,6,:R,2,R,三元运算：,f,7,：三种颜色三种颜色混合色,A,A,A,是各种颜色的集合。,事实,这些例子的共同特征就是运算结果还在原来的集合中。称具有这种特征的运算是封闭的，简称闭运算。,2026/3/5 周四,3,很容易举出不封闭运算的例子：一架自动售货机，能接受一角硬币和二角五分硬币，而所对应的商品是桔子水、可口可乐和冰淇淋。当人们投入上述硬币的任何两枚时，自动售货机将按表,5-1.1,所示供应相应的商品。,表格左上角的记号*可以理解为一个二元运算的运算符。这个例子中的二元运算*就是集合,一角硬币，二角五分硬币,上的不封闭运算。,*,一角硬币,二角五分硬币,一角硬币 二角五分硬币,桔子水 可口可乐,可口可乐 冰淇淋,表,5-1.1,2026/3/5 周四,4,设,A,=,红色，黄色，蓝色,f,7,：,三种颜色,三种颜色混合色,f,7,是不封闭的。,f,8,是,I,上的除法运算，,f,8,是不封闭的。,2026/3/5 周四,5,定义,5-1.1,如果,为,A,n,到,B,的一个函数，则称,为集合,A,上的,n,元运算,（,operater,）。,如果,B,A,，,则称该,n,元运算,在,A,上,封闭,。,在定义,5.1.1,中，当,n=,1,时，,f,称为集合,A,上的一元运算；当,n,=2,时，,f,称为集合,A,上的二元运算。,在讨论抽象运算时，,“,运算,”,常记为,“,*,”,、,“,”,等。设,*,是,二元运算，如果,a,与,b,运算得到,c,，,记作,a,*,b=c,；,若,*,是,一元运算，,a,的运算结果记作,*,a,或,*,(,a,),。,2026/3/5 周四,6,设,A=,1,a,，,其中，,a,是非零实数。,f,：,A,A,，,定义为：,a,A,，,f,(,a,)=,。,容易看出,f,是,A,上的一元运算。,又如，,f,：,N,NN,，,定义为：,m,n,N,，,f(m,n)=m,n,，,f,是自然数集合,N,上的二元运算，它就是普通加法运算。普通减法不是自然数集合,N,上的二元运算，因为两个自然数相减可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法不是自然数集合,N,上的二元运算。,通过以上讨论可以看出，一个运算是否为集合,A,上的运算必须满足以下两点：,A,中任何元素都可以进行这种运算，且运算的结果是惟一的。,A,中任何元素的运算结果都属于,A,。,通常,称为运算在,A,是封闭的。,2026/3/5 周四,7,【,例,5.1.1】,设,N,为自然数集合，,*,和,是,N,N,到,N,映射，规定为：,m,n,N,，,m,n=,min,m,n,m,n=,max,m,n,则,和,是,N,上的二元运算。,【,例,5.1.2】,设,N,k,=,0,1,k,-,1,。,N,k,上的二元运算,+,k,定义为：对于,N,k,中的任意两个元素,i,和,j,，,有,称二元运算,+,k,为模,k,加法。,2026/3/5 周四,8,称二元运算,k,为模,k,的乘法。,模,k,加法,+,k,和模,k,乘法,k,是两种重要的二元运算。,在,N,7,=,0,1,2,3,4,5,6,中，有,4+,7,2,=,6,，,4+,7,5,=,2,。如果把,N,7,中的元素：,0,，,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,分别看作是：星期日、星期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六。那么,4+,7,2,=,6,可解释为：星期四再过两天后是星期六；,4+,7,5,=,2,可解释为：星期四再过五天后是星期二。这是模,7,加法实际意义的一种解释。,N,k,上的二元运算,k,定义为：对于,N,k,中的任意两个元素,i,和,j,，,有,2026/3/5 周四,9,运算的表示,表示运算的方法通常有两种：解析公式和运算表。,解析公式是指用运算符号和运算对象组成的表达式。如,f,(,a,),=,，,运算表是指运算对象和运算结果构成的二维表。,经常使用运算表来定义有限集合上的二元运算，特别当有限集合上的二元运算不能用表达式简明地表示时，借助于运算表来定义二元运算会带来方便。另外，运算表还便于对二元运算的某些性质进行讨论，更形象地了解二元运算的有关特征。,设,N,4,=,0,1,2,3,，,N,4,上的模,4,加法,4,可以用,运算表表示，它的运算表如表,5.1.1,所示。,N,4,上的模,4,乘法,4,也可以用,运算表表示，它的运算表如表,5.1.2,所示。,2026/3/5 周四,10,表,5.1.1,+,4,0,1,2,3,0,0,1,2,3,1,1,2,3,0,2,2,3,0,1,3,3,0,1,2,表,5.1.2,4,0,1,2,3,0,0,0,0,0,1,0,1,2,3,2,0,2,0,2,3,0,3,2,1,2026/3/5 周四,11,二、代数系统,定义,5-1.2,一个非空集合,A,连同若干个定义在该集合上的运算,f,1,f,2,f,k,所组成的系统称为一个,代数系统（代数结构）,，记为,。,代数结构常用一个多元序组,来表示,其中,S,是载体,，,为各种运算。有时为了强调,S,有某些元素地位特殊,也可将它们列入这种多元序组的末尾。,根据定义,5.1.2,，一个代数系统需要满足下面两个条件：,有一个非空集合,A,。,有一些定义在集合,A,上的运算。,集合和定义在集合,A,上的运算是一个代数系统的两个要素，缺一不可。,2026/3/5 周四,12,【,例,5.1.3,】,设,B,是一个集合，,A=,P,(,B,),是,A,幂集合。集合的求补运算是,A,上的一元运算，集合的并和交运算是,A,上的是二元运算。于是,构成一个代数系统，该代数系统常称为集合代数。,【,例,5.1.4,】,设,R,-,0,是全体非零实数集合，,*,是,R,-,0,上二元运算，定义为：,a,b,R,-,0,，,a,*,b=b,。,则,是代数系统。,2026/3/5 周四,13,虽然集合不同，运算不同，但是它们是一些具有共同运算规律的运算，研究,就相当于研究,，,，,，,5-2,运算及其性质,在前面考察几个具体的代数系统时，已经涉及到我们所熟知的运算的某些性质。下面，着重讨论一般二元运算的一些性质。,2026/3/5 周四,14,定义,5-2.1,设*是定义在集合,A,上的二元运算，如果对于任意的,x,y,A,，,都有,x*y,A,，,则称二元运算*在,A,上是,封闭的,。,【,例,5.2.1】,设,A,=,x,|,x,=2,n,n,N,问乘法运算是否封闭？对加法运算呢？,解：对于任意的,2,r,2,s,A,，,r,，,s,N,，,因为,2,r,2,s,=2,r+s,A,所以乘法运算是封闭的。而对于加法运算是不封闭的，因为至少有,2+2,2,=6,A,2026/3/5 周四,15,二、可交换性,定义,5-2.2,设*是定义在集合,A,上的二元运算，如果对于任意的,x,y,A,，,都有,x*y,=,y*x,，,则称二元运算*在,A,上是可交换的。,【,例,5.2.2】,设,Q,是有理数集合，,是,Q,上的二元运算，对任意的,a,b,R,，,a,b=a+b-a,b,，,问运算,是否可交换。,解：因为,a,b,=,a,+,b,-,a,b,=,b,+,a,-,b,a,=,b,a,所以运算,是可交换的。,2026/3/5 周四,16,三、可结合性,例如,R,上的加法运算和乘法运算都是可结合运算，,R,上的减法运算和除法运算都是不可结合运算。,定义,5-2.3,设*是定义在集合,A,上的二元运算，如果对于任意的,x,y,z,A,，,都有,(,x,*,y,)*,z,=,x,*(,y,*,z,),，,则称二元运算*在,A,上是可结合的。,实数集合上的普通加法和乘法是二元运算，满足结合律；矩阵的加法和乘法也是二元运算，也满足结合律；向量的内积、外积是二元运算，但不满足结合律。,2026/3/5 周四,17,【,例,5.2.3】,设,*,是非空集合,A,上的二元运算，定义为：,a,b,A,，,a,b=b,。,证明运算,*,是可结合的。,证明：,对于任意的,a,b,c,A,，,有,(,a,b,),c=c,，而,a,(,b,c,),=a,c=c,，,故有,(,a,b,),c=a,(,b,c,),，,即运算是可结合的。,当二元运算,*,在,A,上适合结合律时，在只有该运算符的表达式中，表示运算顺序的括号常被省略。所以将,(,x,*,y,),*,z,=,x,*,(,y,*,z,),常写成,x,*,y,*,z,。,这样，可以令,2026/3/5 周四,18,当运算,*,满足结合律时，,a,n,的也可以递归定义如下：,a,1,=a,a,n,+1,=a,n,a,由此利用数学归纳法，不难证明下列的公式：,a,m,a,n,=a,m+n,(,a,m,),n,=,a,mn,2026/3/5 周四,19,四、可分配性,定义,5-2.4,设,*,和,是非空集合,A,上的两个二元运算，如果对于任意,a,b,c,A,，,有,a*,(,b,c,),=,(,a,*,b,)(,a,*,c,),(,左分配律,),(,b,c,)*,a=,(,b,*,a,)(,c,*,a,),(,右分配律,),则称运算,*,对,运算是可分配的。也称运算,*,对,运算满足分配律。,【,例,5.2.4】,设,A=,0,1,，,*,和,都是,A,上的二元运算，定义为：,00,=,1,*,1,=,0,，,0,*,1=1,*,0,=,1,00=01=10,=,0,，,11,=,1,则容易验证,对于运算,*,是可分配的，但,*,对于运算,是不可分配的。如,1,*,(01)=10=(1,*,0)(1,*,1),2026/3/5 周四,20,定理,设,*,和,是非空集合,A,上的两个二元运算，,*,是可交换的。如果,*,对于运算,满足左分配律或右分配律，则运算,*,对于运算,是可分配的。,证明：,设,*,对于运算,满足左分配律，且是可交换的，则对于任意,a,b,c,A,，,有,(,b,c,),a=a,(,b,c,),=,(,a,b,)(,a,c,),=,(,b,a,)(,c,a,),即,(,b,c,),a=,(,b,a,)(,c,a,),故,对于运算,是可分配的。,同理可证另一半。,2026/3/5 周四,21,五、吸收律,定义,5-2.5,设,*,和,是非空集合,A,上的两个可交换的二元运算，如果对于任意,a,b,A,，,有,a*(ab)=a,a(a*b)=a,则称运算,和,运算,满足吸收律。,2026/3/5 周四,22,【,例,5.2.5】,设,N,为自然数集合，,*,和,是集合,N,上的二元运算，定义为：,a,N,，,b,N,a,*,b,=max(,a,b,),，,a,b,=min(,a,b,),验证运算,*,和,适合吸收律,。,解,：,a,N,，,b,N,若,a,b,，,a,*,(,a,b,)=,a,*,min(,a,b,)=,a,*,b,=max(,a,b,)=,a,若,a,b,，,a,*,(,a,b,)=,a,*,min(,a,b,)=,a,*,a,=max(,a,a,)=,a,若,a,b,，,a,*,(,a,b,)=,a,*,min(,a,b,)=,a,*,a,=max(,a,a,)=,a,即,a,*,(,a,b,)=,a,同理可证,a,(,a,*,b,),=a,因此运算,*,和,适合吸收律。,2026/3/5 周四,23,六、等幂律,定义,5-2.6,设,*,是非空集合,A,上的二元运算，如果对于任意的,a,A,，有,aa=a,，,则称运算,*,是幂等的或运算满足幂等律。如果,A,的某个元素,a,满足,aa=a,，,则称,a,为运算,*,的幂等元。,易见，集合的并、交运算满足幂等律，每一个集合都是幂等元。,定理,设是非空集合,A,上的二元运算，,a,为运算的等幂元，对任意的正整数,n,，则,a,n,=a,。,2026/3/5 周四,24,总结定义,5-2.15-2.6,设,和,为集合,A,上的,二元运算,:,若,x,y,(,x,y,A,x,y,A,),则称,在,A,上,封闭,。,若,x,y,(,x,y,A,x,y,=,y,x,),则称,满足,交换律,。,若,x,y,z,(,x,y,z,A,x,(,y,z,)=(,x,y,),z,),则称,满足,结合律,。,若,x,y,z,(,x,y,z,A,x,(,y,z,)=(,x,y,),(,x,z,),),，,则称,对,满足,左分配律,。,若,x,y,(,x,y,A,x,(,x,y,)=,x,x,(,x,y,)=,x,),，,则称,和,满足,吸收律,。,若,x,(,x,A,x,x,=,x,),，,则称,满足,等幂律,。,2026/3/5 周四,25,七、幺元,定义,5-2.7,设是定义在集合,A,上的二元运算，如果有一个,e,l,A,，,对于任意的,a,A,，有,e,l,a=a,，,则称,e,l,为,A,中关于运算的左单位,元或,左幺元；如果有一个,e,r,A,，,对于任意的,a,A,，有,a,e,r,=a,，,则称,e,r,为,A,中关于运算的,右,单位元或右幺元；如果在,A,中有一个元素，它既是左单位元又是右单位元，则称为,A,中关于运算的单位元或幺元。,2026/3/5 周四,26,【,例,5.2.6】,设集合,S,=,，在,S,上定义的两个二元运算*和 如表,5-2.1,所示。试指出左幺元或右幺元。,*,解 由表,5-2.1,可知,都是,S,中关于运算*的左幺元，而,是,S,中关于运算的右幺元。,2026/3/5 周四,27,定理,5-2.1,设是定义在集合,A,上的二元运算，,e,l,为,A,中关于运算的左幺元，,e,r,为,A,中关于运算的右幺元，则,e,l,=,e,r,=e,，且,A,中的幺元是惟一的。,证明：,因为,e,l,和,e,r,分别是,A,中关于运算的左幺元和右幺元，所以,e,l,=e,l,e,r,=,e,r,=e,设另一幺元,e,1,A,，,则,e,1,=e,1,e=e,2026/3/5 周四,28,八、零元,定义,5-2.8,设是集合,A,上的二元运算，如果有一个,l,A,，,对于任意的,a,A,都有,l,a=,l,，,则称,l,为,A,中关于运算的左零元；如果有一个,r,A,，,对于任意的,a,A,，,都有,a,r,=,r,，,则称,r,为,A,中关于运算的右零元；如果,A,中有一个元素,A,，,它既是左零元又是右零元，则称,为,A,中关于运算的零元。,2026/3/5 周四,29,定理,5-2.2,设是集合,A,上的二元运算，,l,为,A,中关于运算的左零元，,r,为,A,中关于运算的右零元，则,l,=,r,=,，且,A,中的零元是惟一的。,证明：,因为,l,和,r,分别是,A,中关于运算的左零元和右零元，所以,l,=,l,r,=,r,=,设另一零元,1,A,，则,1,=,1,=,定理,5-2.3,设是集合,A,上的二元运算，集合,A,中元素的个数大于,1,。如果,A,中存在幺元,e,和零元,，则,e,。,证明：,用反证法。设,e=,，那么对于任意的,a,A,，,必有,a=,e,a,=,a,=,，,于是,A,中的所有元素都是零元,，与,A,中至少有两个元素矛盾。,2026/3/5 周四,30,定义,5-2.9,设是集合,A,上的二元运算，,e,为,A,中关于运算的幺元。如果对于,A,中的元素,a,存在着,A,中的某个元素,b,，,使得,b,a=e,，,那么称,b,为,a,的左逆元；如果存在,A,中的某个元素,b,，,使得,a,b=e,，,那么称,b,为,a,的右逆元；如果存在着,A,中的某个元素,b,，,它既是,a,的左逆元又是,a,的右逆元，那么称,b,为,a,的逆元。,a,的逆元记为,a,1,。,如果,a,A,存在逆元,a,1,A,，,那么称,a,为可逆元,。,一般地说，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元。一个元素可以有左逆元而没有右逆元，同样可以有右逆元而没有左逆元。甚至一个元素的左逆元或者右逆元还可以不是惟一的。,2026/3/5 周四,31,【,例,5.2.7】,设集合,S,=,定义在,S,上的一个二元运算*如表,5-2.2,所示。,试指出代数系统,中各个元素的左、右逆元情况。,解,是幺元；,的左,逆元和右逆元都是,；即,和,互为逆元；,的左,逆元是,而右,逆元是,；,有,两个左逆元,和,；,的右逆元是,，但,没有左逆元。,*,2026/3/5 周四,32,定理,5-2.4,设为,A,中的一个二元运算，,A,中存在幺元,e,且每个元素都有左逆元。如果是可结合的运算，则在,A,中任何元素的左逆元必定是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是惟一的。,证明：,设,a,b,c,A,，,b,是,a,的左逆元，,c,是,b,的左逆元。于是,(,b,a,),b,=,e,b,=,b,，,所以,e,=,c,b,=,c,(,b,a,),b,),=,(,c,(,b,a,),b,=(,c,b,),a,),b,=,(,e,a,),b,=,a,b,因此，,b,也是,a,的右逆元。,设元素,a,有两个逆元,b,和,d,，那么,b=,b,e,=,b,(,a,d,),=,(,b,a,),d,=,e,d,=d,故,a,的逆元是惟一的。,2026/3/5 周四,33,【,例,5.2.8】,试构造一个代数系统，使得其中只有一个元素具有逆元。,解：设,m,n,I,T,=,x,|,x,I,m,x,n,那么，代数系统,中有一个幺元是,m,且只有,m,有逆元，因为,m,=,max,(,m,m,),。,【,例,5.2.9】,对于代数系统,，,这里,R,是实数的全体，是普通的乘法运算，是否每个元素都有逆元。,解：该代数系统中的幺元是,1,，除了零元素,0,外，所有的元素都有逆元。,2026/3/5 周四,34,【,例,5.2.9】,对于代数系统,，这里,N,k,=0,1,2,k-1,+,k,是定义在,N,k,上的模,k,加法运算，定义如下：,对于任意,x,y,N,k,试问是否每个元素都有逆元。,解：可以验证，,+,k,是一个可结合的二元运算，,N,k,中关于运算,+,k,的幺元是,0,，,N,k,中的每一个元素都有唯一的逆元，即,0,的逆元是,0,，每个非零元素,x,的逆元是,k,-,x,。,2026/3/5 周四,35,从运算表中看运算具有的性质,1,）运算,具有封闭性，当且仅当运算表中的每个元素都属于,A,。,2,）,运算,具有可交换性，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。,3,）运算,具有等幂性，当且仅当运算表的主对角线上的每一元素与它所在行（列）的表头元素相同。,4,）,A,中关于运算,具有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中的元素都与该元素相同。,5,）,A,中关于运算,具有幺元，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致。,6,）设,A,中关于运算,具有幺元，,a,和,b,互逆，当且仅当位于,a,所在行和,b,所在列的元素及,b,所在行和,a,所在列的元素都是幺元。,2026/3/5 周四,36,一、广群,定义,5-3.1,一个代数系统,，,其中,S,是非空集合，*是,S,上的一个二元运算，,如果运算,是封闭的，则称代数结构,为广群。,半群是一种特殊的代数系统，它在形式语言、自动机等领域中，都有具体的应用。,5-3,半 群,2026/3/5 周四,37,定义,5-3.2,一个代数系统,，其中,S,是非空集合，*是,S,上的一个二元运算，如果：,（,1,）运算,是封闭的；,（,2,）运算*是可结合的，即对任意的,x,y,z,S,，满足,(,x,*,y,)*,z,=,x,*(,y*z,),则称代数系统,为半群。,2026/3/5 周四,38,【,例,5.3.1】,设集合,S,k,=,x,|,x,I,x,k,k,0,那么,是一个半群，其中,+,是普通的加法运算。,解 ：,因为运算,+,在,S,k,上,是封闭的，而且普通加法运算是可结合的。所以，,是一个半群。,在例题,1,中，,k,0,这个条件是重要的，否则，,如果,k,0,，则运算,+,在,S,k,上将是不封闭的。,2026/3/5 周四,39,【,习题,5-3.1】,对于正整数,k,，,N,k,=0,1,2,k,-1,，,设*,k,是,N,k,上的,一个二元运算，使得,a,*,k,b,=,用,k,除,a,b,所得的余数，这里,a,，,b,N,k,。,a),当,k,=4,时，试造出*,k,的运算表。,b),对于任意正整数,k,，,证明,是一个半群。,解,a),当,k,=4,时，*,k,的运算表如下：,*,k,0,1,2,3,0,0,0,0,0,1,0,1,2,3,2,0,2,0,2,3,0,3,2,1,2026/3/5 周四,40,b),对于任意的,a,，,b,N,k,，,a,*,k,b,=,a,b,-,nk,=,r,，,0,r,k,-1,，,所以运算*,k,在,N,k,上,是封闭的。,对于任意的,a,，,b,，,c,N,k,，,有,(,a,*,k,b,)*,k,c,=(,a,b,-,n,1,k,),c,-,n,2,k,=,r,1,0,r,1,k,-1,=,a,b,c,-,k,(,n,1,c,+,n,2,),a,*,k,(,b,*,k,c,)=,a,(,b,c,-,n,3,k,)-,n,4,k,=,r,2,0,r,2,k,-1,=,a,b,c,-,k,(,n,3,a,+,n,4,),可见,r,1,和,r,2,都是,abc,用,k,除所得的余数，所以,r,1,=,r,2,。,所以,(,a,*,k,b,)*,k,c,=,a,*,k,(,b,*,k,c,),，即*,k,满足结合律。,因此，,是半群。,2026/3/5 周四,41,【,例,5.3.2】,设,S,=,a,b,c,，在,S,上的一个二元运算,定义如表,5-3.1,所示。验证,是一个半群。,a b c,a,b,c,a b c,a b c,a b c,解 从表,5-3.1,中可知运算,是,封闭的，同时,a,b,和,c,都是左幺元。所以，对于任意的,x,y,z,S,，,都有,x,(,y,z,)=,x,z,=,z,=,y,z,=(,x,y,),z,因此，,是半群。明显地，代数系统,和,都不是半群，这里，,-,和,/,分别是普通的减法和除法。,2026/3/5 周四,42,【,练习,】,设*是实数集,R,上的,运算，其定义如下：,a,*,b,=,a,+,b,+2,ab,1),求,2*3,，,3*,（,-5,）和,7*1/2,。,2),是半群吗？*可交换吗？,3),求,R,中关于*的幺元（单位元）。,4),R,中哪些元素有逆元，逆元素是什么？,2026/3/5 周四,43,解,1)2*3=17,，,3*,（,-5,）,=-32,，,7*1/2=14.5,2),运算*在,R,上是封闭的。,对任意,a,，,b,，,c,R,，,(,a,*,b,)*,c,=(,a,+,b,+2,ab,)*,c,=,a,+,b,+2,ab,+,c,+2(,a,+,b,+2,ab,),c,=,a,+,b,+,c,+2,ab,+2,ac,+2,bc,+4,abc,a,*(,b,*,c,)=,a,*(,b,+,c,+2,bc,)=,a,+,b,+,c,+2,bc,+2,a,(,b,+,c,+2,bc,),=,a,+,b,+,c,+2,ab,+2,ac,+2,bc,+4,abc,所以,(,a,*,b,)*,c,=,a,*(,b,*,c,),。,因此,是半群。*可交换。,3),R,中关于*的幺元是,0,。,4),R,中除,-1/2,外所有元素都有逆元，,a,的逆元素是,-,a,/,（,1+2,a,）。,2026/3/5 周四,44,二、子半群,定理,5-3.1,设,为一半群,B,S,且,在,B,上封闭，那么,也是,一个半群，称为,的,子半群,。,证明思路：结合律在,B,上仍成立。,证明：因为,在,S,上是可结合的，而,B,S,且,在,B,上封闭，所以,在,B,上也是可结合的，因此，,也是,一个半群。,【,例,5.3.3】,设,表示普通的乘法运算，那么,、,和,都是,的子半群。,解 首先，运算,在,R,上是封闭的，且是可结合的，所以,是一个半群。其次，运算,在,0,1,、,0,1),和,I,上都是封闭的，且,0,1,R,，,0,1,）,R,，,I,R,。因此，由定理,5-3.1,可知,、,和,都是,的子半群。,2026/3/5 周四,45,练习 若,是半群，,a,S,，,M,=,a,n,|,n,N,，,证明,是,的子半群。,证明 只须证明运算*在,M,上是封闭的。,任取,a,n,，,a,m,M,，,a,n,*,a,m,=,（,a,n,*,a,）*,a,m,-1,=,a,n+1,*,a,m,-1,=,（,a,n+1,*,a,）*,a,m,-2,=,a,n+2,*,a,m,-2,=,=,a,n+m,M,所以,是,的子半群。,2026/3/5 周四,46,定理,5-3.2,设,S,*,是半群，,S,是有限集，则必有,a,S,，,使得,a,*,a,=,a,证明：,b,S,，,由,*,在,S,上的封闭性知：,b,2,=,b,*,b,S,b,3,=,b,2,*,b,S,2026/3/5 周四,47,因为,S,是有限集，所以必有,i,j,使,b,i,=,b,j,令,p=ji,，则,p=ji,1,，而,j=p,i,b,i,=,b,j,=,b,p+i,=,b,p,*,b,i,于是下式成立：,b,q,=,b,p,*,b,q,q,i,因为,p=ji,1,，,总可以找到,k,1,，,使得,kp,i,对于,S,中的元素,b,kp,，,就有,b,kp,=,b,p,*,b,kp,=,b,p,*,(,b,p,*,b,kp,),=b,2,p,*,b,kp,=b,2,p,*,(,b,p,*,b,kp,),=,=,b,kp,*,b,kp,令,a=,b,kp,，,a,*,a=a,2026/3/5 周四,48,【,习题,5-3.1】,对于正整数,k,，,N,k,=0,1,2,k,-1,，,设*,k,是,N,k,上的,一个二元运算，使得,a,*,k,b,=,用,k,除,a,b,所得的余数，这里,a,，,b,N,k,。,我们已经证明了,是一个半群。,当,k,=4,时，*,k,的运算表如下：,*,k,0,1,2,3,0,0,0,0,0,1,0,1,2,3,2,0,2,0,2,3,0,3,2,1,找出,中的等幂元。,0,和,1,都是等幂元。,2026/3/5 周四,49,前面已验证,是一个半群。这里,a,，,b,，,c,都是等幂元。,【,例,5-3.2】,设,S,=,a,b,c,，在,S,上的一个二元运算,定义如表,5-3.1,所示。验证,是一个半群。,a b c,a,b,c,a,b c,a,b,c,a b,c,2026/3/5 周四,50,三、独异点,定义,5-3.3,设代数系统,为,半群,，,若,含有关于,运算的,幺元,则称它为,独异点,(,monoid,),，,或,含幺半群,。,例如，代数系统,是一个独异点，因为,是,一个半群，且,0,是,R,中关于运算,+,的幺元。另外，代数系统,都是具有幺元,1,的半群，因此它们都是独异点。,代数系统,虽是一个半群，但关于运算,+,不存在幺元，所以，这个代数系统不是独异点。,2026/3/5 周四,51,有代数系统,，,其中,S,=,a,，,0,，,1,，,运算*由下表定义，证明,是独异点。,*,a,0,1,a,a,0,1,0,0,0,1,1,1,0,1,证明,1,）运算*是封闭的。,2,）对于任意,x,，,y,S,，,(,x,*,y,)*,a,=,x,*,y,x,*(,y,*,a,)=,x,*,y,(,x,*,y,)*0=0,x,*(,y,*0)=,x,*0=0,(,x,*,y,)*1=1,x,*(,y,*1)=,x,*1=1,所以运算*是可结合的。,3,）,a,是,S,中关于运算*的幺元。,因此,是独异点。,2026/3/5 周四,52,定理,5-3.3,设,是一个独异点,则在关于运算,的运算表中任何两行或两列都是不相同的。,证明,:,因,S,中关于,运算的幺元是,e,，,因为,对于任意的元素,a,b,S,，且,a,b,时，总有,e,a,=,a,b,=,e,b,和,a,e,=,a,b,=,b,e,所以，在的运算表中不可能有两行或两列是相同的。,2026/3/5 周四,53,【,例,5.3.4】,设,I,是整数集合，,m,是任意正整数，,Z,m,是由,模,m,的同余类组成的,同余类集,，在,Z,m,上,定义两个二元运算,+,m,和,m,分别如下：对于任意的,i,，,j,Z,m,i,+,m,j=(i,+,j)(mod m),i,m,j=(i,j)(mod m),试证明在这两个二元运算的运算表中任何两行或两列都是不相同的。,证明：考察代数结构,和,，,只须证明,和,都是独异点。,先分三步证明,是独异点，再利用,定理,5-3.3,的结论：,1,）根据运算定义，证明两个运算在,Z,m,上封闭；,2,）根据运算定义，证明两个运算满足结合律；,3,）根据运算定义，证明,0,是,的幺元，,1,是,的幺元。,本例题的实例见 表,5-3.2,和表,5-3.3,2026/3/5 周四,54,(1),由运算,+,m,和,m,的定义，可知它们在,Z,m,上都是封闭的。,(2),对于任意,i,，,j,，,k,Z,m,(i+,m,j)+,m,k=i+,m,(j+,m,k),=(i+j+k)(mod,m,),(i,m,j),m,k=i,m,(j,m,k),=(ijk)(mod,m,),即,运算,+,m,和,m,都是可结合的。,(3),因为,0+,m,i=i+,m,0=i,，所以，,0,是,中的幺元。因为,1,m,i=i,m,1=i,，所以，,1,是,中的幺元。因此，代数系统,，,都是独异点。由定理,5-3.3,可知，这两个运算的运算表中任何两行或两列都不相同。,2026/3/5 周四,55,上例中，如果给定,m,=5,，那么,+,5,和,6,的运算表分别如表,5-3.2,和表,5-3.3,所示。,+,5,0 1 2 3,4,0,1,2,3,4,0 1 2 3 4,1 2 3 4 0,2 3 4 0 1,3 4 0 1 2,4 0 1 2 3,6,0 1 2 3,4,0,1,2,3,4,0 0 0 0 0,0 1 2 3 4,0 2 4 1 3,0 3 1 4 2,0 4 3 2 1,表,5-3.2,表,5-3.3,显然，上述运算表中没有两行或两列是相同的。,2026/3/5 周四,56,定理,5-3.4,设,是独异点，,a,b,G,且,a,b,均有逆元，则,(,a,1,),1,=a,a,*,b,有逆元，且,(,a,*,b,),1,=b,1,*,a,1,证明：,因,a,*,a,1,=a,1,*,a,=e,，故,(,a,1,),1,=a,因,(,a,*,b,),*,(,b,1,*,a,1,),=,(,a,*,(,b,*,b,1,),*,a,1,=a,*,e,*,a,1,=a,*,a,1,=e,又,(,b,1,*,a,1,),*,(,a,*,b,),=,(,b,1,*,a,1,),*,(,a,*,b,),=b,1,*,(,a,1,*,a,),*,b=b,1,*,e,*,b=b,1,*,b=e,故,(,a,*,b,),1,=b,1,*,a,1,2026/3/5 周四,57,一、群,定义,5-4.1,称代数结构,为,群,(,groups,),如果,（,1,）,中运算,是封闭的。,（,2,）,中运算,是可结合的。,（,3,）,中有么元,e,.,（,4,）,中每一元素,x,都有逆元,x,-,1,。,例如，,，,等都是群。,5-4,群与子群,2026/3/5 周四,58,【,例,5.4.1】,设,R,=0,6,0,12,0,18,0,24,0,30,0,表示在平面上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能情况，设,是,R,上的二元运算，对于,R,中任意两个元素,a,和,b,，,a,b,表示平面图形连续旋转,a,和,b,得到的总旋转角度。并规定旋转,36,0,等于原来的状态，就看作没有经过旋转。验证,是一个群。,2026/3/5 周四,59,【,例,5.4.1】,解：由题意，,R,上二元运算,的运算表如表,5-4.1,所示。,0,60,120,180,240,300,0,0,60,120,180,240,300,60,60,120,180,240,300,0,120,120,180,240,300,0,60,180,180,240,300,0,60,120,240,240,300,0,60,120,180,300,300,0,60,120,180,240,由表,5-4.1,可见，运算,在,R,上是封闭的。,表,5-4.1,2026/3/5 周四,60,对于任意的,a,b,c,R,，,(,a,b,),c,表示将图形依次旋转,a,b,和,c,而,a,(,b,c,),表示将图形依次旋转,b,c,和,a,而总的旋转角度都等于,a,+,b,+,c,(mod 360,),，,因此，,(,a,b,),c,=,a,(,b,c,),。,0,是幺元。,60,180,120,的逆元分别是,300,180,240,。因此,是一个群。,2026/3/5 周四,61,定义,5-4.2,设,为一群。若,G,为有限集，则称,为,有限群,（,finite group,）,此时,G,的元素个数也称,G,的阶,(,order,),记为,|,G,|,；,否则，称,为,无限群,（,infinite group,）。,例题,5.4.1,中所述的,就是一个有限群，且,|,R,|=6,。,【,例,5.4.2】,试验证代数系统,是一个群，这里,I,是所有整数的集合，,+,是普通加法运算。,解 明显地，二元运算,+,在,I,上是封闭的且是可结合的。幺元是,0,。对于任一,a,A,，它的逆元是,-,a,。所以,是一个群，且是一个无限群。,2026/3/5 周四,62,代数系统小结,封闭,广群,半群,独异点,群,结合,含幺,可逆,广群,半群,独异点,群,2026/3/5 周四,63,定理,5-4.1,设,为群，那么当,G,e,时,G,无零元。即群中不可能有零元。,证明,:,因当群的阶为,1,时，它的唯一元素是视作幺元,e,。设,|,G,|1,且群有零元。那么群中任何元素,x,G,，都有,x,=,x,=,e,，,所以，零元,就不存在逆元，与,是群的假设矛盾。,由定理,5-2.4,可知，群中任何一个元素的逆元必定是唯一的。由群中逆元的唯一性，我们可以有以下几个定理。,2026/3/5 周四,64,定理,5-4.2,设,为群，对于,a,b,G,，,必存在,x,G,，,使得,关于,x,的方程,a,x,b,，,x,a,b,都有唯一。,证明,:1,）先证解存在性,设,a,的逆元,a,-1,，令,x,=,a,-1,b,（构造一个解）,a,x,a,（,a,-1,b,）,（,a,a,-1,）,b