《几何与代数》几何空间.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,教学内容和学时分配,第三章 几何空间,教 学 内 容,学时数,3.1,平面向量及其运算的推广,1,3.2,空间坐标系,1,3.3,空间向量的向量积和混合积,2,3.4,平面和直线,2,3.5,空间直角坐标变换,1,3.6,用,Matlab,解题,1,引言,几何与代数间最早的桥梁是由,17,世纪,笛卡尔和费马,建立的,平面解析几何,.,解析几何利用代数方法来研究几何图形的性质,.,解析几何为微积分的出现创造了条件,.,几何向量,是研究空间解析几何的工具；也是研究数学中其它一些分支、力学及三维计算机图形学、三维游戏设计等学科的工具,.,1715,年，瑞士伯努力将平面解析几何推广到空间解析几何,.,一,.,空间向量的线性运算,二,.,共线、共面向量的判定,3.1-2,空间向量及空间坐标系,第三章 几何空间,三,.,空间坐标系,四,.,空间向量线性运算的坐标表示,五,.,空间向量的数量积,1.,向量的概念及其表示,1).,向量：,2).,向量的长度或模：,3).,自由向量：,4).,相等向量：,5).,负向量：,6).,零向量：,既有大小又有方向的量,只考虑向量的大小和方向不计较起点位置,长度相等且方向相同,长度相等且方向相反,或,长度为零，方向任意,方向相同或相反,8).,平行,(,共线,),向量：,7).,单位向量：,长度为,1,一,.,空间向量的线性运算,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,2.,向量的加法,1).,平行四边形法则,2).,三角形法则,3).,运算性质,:,结合律,交换律,首尾相接,多边,形法则,O,A,B,向量的减法,运算性质,:,三角不等式,（减数指向被减数,）,（后项减去前项,）,注,:,当,平行时，等式成立。,A,D,B,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,3.,向量与数量的乘法（数乘）,1).,定义：,m,注,:,m,=,m,=0,或,=,.,2).,运算性质,(,1,),=,.,单位向量：长度为,1,的向量,模,：,方向：,非零向量的单位化：,分配律,结合律,向量的伸缩,/,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,例,1.,设,P,Q,分别是,ABC,的,BC,AC,边的中点,AP,与,BQ,交于点,M,.,证明,:,A,B,C,M,A,M,=,AP,.,2,3,P,Q,A,B,C,S,T,往证点,S,与点,T,重合,即,P,Q,证明：可知,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,1.,向量的概念及其表示：,方向和大小,2.,向量的加法,向量的减法,平行四边形、三角形、多边形法则,3.,数乘,向量的伸缩,向量的单位化：,一,.,空间向量的线性运算,3.1-2,空间向量及空间坐标系,二,.,共线、共面向量的判定,三,.,空间坐标系,四,.,空间向量线性运算的坐标表示,五,.,空间向量的数量积,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,二,.,共线、共面向量的判定,1.,共线、共面向量的定义,二,.,共线、共面向量的判定,2.,共线的判定,定理,3.1,设向量,1,向量,2,与,1,共线,存在唯一,的实数,k,使得,2,=,k,1,.,推论,3.1,向量,1,2,共线,存在不全为零,的实数,k,1,k,2,使得,k,1,1,+,k,2,2,=,.,注：向量,1,2,不共线,k,1,1,+,k,2,2,=,只有零解，即,k,1,=,k,2,=0.,注：,设向量,1,向量,2,与,1,共线,2,可由,1,唯一的线性表示,.,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,二,.,共线、共面向量的判定,推论,3.2,向量,1,2,3,共面,存在,不全为零,的实数,k,1,k,2,k,3,使得,k,1,1,+,k,2,2,+,k,3,3,=,.,注：若向量,1,2,不平行,则向量,3,与,1,2,共面,3,可由,1,2,唯一的线性表示,.,1,3,2,3.,共面的判定,定理,3.2,若向量,1,2,不平行,则向量,3,与,1,2,共面,存在唯一,的有序实数组,(,k,l,),使得,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,3,=,k,1,+,l,2,.,定理,3.2,若向量,1,2,不平行,则向量,3,与,1,2,共面,存在唯一,的有序实数组,(,k,l,),使得,3,=,k,1,+,l,2,.,推论,3.2,向量,1,2,3,共面,存在,不全为零,的实数,k,1,k,2,k,3,使得,k,1,1,+,k,2,2,+,k,3,3,=,.,注：向量,1,2,3,不共面,k,1,1,+,k,2,2,+,k,3,3,=,只有零解，即,k,1,=,k,2,=,k,3,=0,3,可由,1,2,唯一的线性表示,.,推论,3.2,向量,1,2,3,共面,1,2,3,线性相关,.,1,2,3,线性无关,3.,共面的判定,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,例,2,.,3.1-2,空间向量及空间坐标系,二,.,共线、共面向量的判定,2,与,1,(,),共线,唯一实数,k,使得,2,=,k,1,2,可由,1,唯一线性表示,2,与,1,共线,不全为零的,k,1,k,2,使得,k,1,1,+,k,2,2,=,2,与,1,线性相关,3,与,1,2,共面,3,可由,1,2,唯一线性表示,3,与,1,2,线性相关,重点和难点,在,直线,上任意一个向量都可以由直线上,一,个,非零,向量,唯一,的线性表示,.,在,平面,上任意一个向量都可以由平面上,两,个,不共线,向量,唯一,的线性表示,.,在,空间,上任意一个向量都可以由空间上,三,个,不共面,向量,唯一,的线性表示,.,1.,线性表示,(1),在,直线,上任意一个向量都可以由直线上,一,个,非零,向量,唯一,的线性表示,.,(2),在,平面,上任意一个向量都可以由平面上,两,个,不共线,向量,唯一,的线性表示,.,定理,3.3,在空间中取定三个,不共面的,1,2,3,则,对空间中任一向量,都,存在唯一,的有序,实数组,(,x,y,z,),使得,=,x,1,+,y,2,+,z,3,.,实数,k,1,k,2,k,3,使得,=k,1,1,+,k,2,2,+,k,3,3.,3,与,1,2,共面,3,可由,1,2,唯一线性表示,3,与,1,2,线性相关,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,定理,3.3,在空间中取定三个,不共面的,1,2,3,则,对空间中任一向量,都,存在唯一,的有序,实数组,(,x,y,z,),使得,=,x,1,+,y,2,+,z,3,.,3,2,1,O,P,Q,M,唯一性：,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,右,(,左,),手仿射坐标系,.,3,2,1,O,=,x,1,+,y,2,+,z,3,=,(,x,y,z,),1.,仿射坐标系,O,;,1,2,3,坐标原点,;,坐标向量,(,基,),;,坐标轴,;,坐标,(,分量,);,三,.,空间坐标系,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,-,-,-,-,+,+,III-,-,+,-,+,-,+,+,-,+,-,-,+,-,+,坐标原点,坐标轴,x,轴,(,横轴,),y,轴,(,纵轴,),z,轴,(,竖轴,),坐标面,卦限,(,八个,),zox,面,+,+,+,2.,空间直角坐标系,坐标分解式,:,P,(,x,y,z,),的向径,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,设,=(,x,1,y,1,z,1,),=(,x,2,y,2,z,2,),则,k,1,+,k,2,例,3,.,设两个定点为,P,1,(,x,1,y,1,z,1,),与,P,2,(,x,2,y,2,z,2,),求,向量,P,1,P,2,的坐标,.,x,y,z,P,1,P,2,O,P,1,P,2,=,OP,2,OP,1,=(,x,2,y,2,z,2,),(,x,1,y,1,z,1,),=(,x,2,x,1,y,2,y,1,z,2,z,1,).,=(,k,1,x,1,+,k,2,x,2,k,1,y,1,+,k,2,y,2,k,1,z,1,+,k,2,z,2,).,后项减前项,四,.,空间向量线性运算的坐标表示,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,例,4,.,设两个定点为,P,1,(,x,1,y,1,z,1,),与,P,2,(,x,2,y,2,z,2,),若点,P,(,x,y,z,),把有向线段,P,1,P,2,分成定比,即,P,1,P,=,PP,2,(,1,),求分点,P,的坐标,.,x,y,z,P,1,P,O,P,2,OP,OP,1,=,(,OP,2,OP,),OP,=,OP,1,+,OP,2,1+,y,=,y,1,+,y,2,1+,x,=,x,1,+,x,2,1+,z,=,z,1,+,z,2,1+,.,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,2.,向量的加法,平行四边形、三角形、多边形法则,3.,数乘,向量的伸缩,向量的单位化：,一,.,空间向量的线性运算,3.1-2,空间向量及空间坐标系,二,.,共线、共面向量的判定,三,.,空间坐标系,四,.,空间向量线性运算的坐标表示,五,.,空间向量的数量积,1.,直线,上任一向量都可由,一,个非零向量,唯一的线性表示,.,2.,平面,上任一向量都可,由,两,个不共线向量,唯一的线性表示,.,3.,空间,中,任一向量都可由,三个,不共面,向量,唯一的线性表示,.,3,与,1,2,共面,3,可由,1,2,唯一线性表示,3,与,1,2,线性相关,1.,两个非零向量之间的夹角,2.,投影的概念,A,B,u,A,B,u,A,B,(,注意投影是一个有正负的数,),向量,AB,在轴,u,上的投影为,其中,为,向量,AB,与轴,u,的夹角,.,(,AB,),u,=|,AB,|cos,五,.,空间向量的数量积,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,u,A,B,A,B,C,C,投影的性质,(,AB+BC,),u,=(,AB,),u,+,(,BC,),u,(,AB,),u,=|,AB,|cos,当,|=|=,1,=,k,1,+,k,2,=,+,与,共面唯一实数,k,1,k,2,使,思考题：当,不是单位向量时,k,1,k,2,与,的关系如何？,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,物理背景：一物体在常力 的作用下，沿直线运动产生的位移为 时，则力 所做的功是,:,F,S,抽去物理意义，就是两个向量确定一,个数的运算,.,称为数量积,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,3.,两个向量的数量积,(,点积、内积,),1).,物理背景,2).,两个非零向量之间的夹角,3).,数量积的定义,注,:,=0,=,或,=,或,(,),第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,4).,内积的性质,(1),正定性,:,2,=,=|,|,2,0,且,2,=0,=,(2),对称性,:,=,(3)(,m,),=,m,(,)=,(,m,),(4),分配律：,(,+,),=,+,(5),线性性：,(,k,+,l,),=,k,+,l,(6)Schwartz,不等式：,|,|,|,|,(7),三角不等式,:|,|,-,|,|,|,|,|,|,|+|,(8)|,+|,|,2,+,|,-,|,2,=2,(|,|,2,+|,2,),注,:,数量积不满足消去律,即,=,=.,应为,(,-,),=0,(,-,),.,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,(2),设,=(,x,1,y,1,z,1,),=(,x,2,y,2,z,2,),则,5).,直角坐标系 下向量内积的计算,例,5.,已知,|,|=,3,|,|,|=6,(,)=,/3,(,3,),(,+2,),求,.,解：,(3,),(,+,2,)=0,3,2,+,(6,),2,2,=,0,3,9+(6,),|,|,|,|,|cos,/3,2,36=0,81,81,=0,=1.,=,2,=,x,1,2,+,y,1,2,+,z,1,2,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,=,x,1,x,2,+,y,1,y,2,+,z,1,z,2,6).,模、夹角、距离公式,(2),设非零向量,=(,x,1,y,1,z,1,),=(,x,2,y,2,z,2,),之间的夹角为,则,cos,=,|,|,|,x,1,x,2,+,y,1,y,2,+,z,1,z,2,=,(3),点,P,1,(,x,1,y,1,z,1,),与,P,2,(,x,2,y,2,z,2,),之间的距离为,(1),设,=(,x,y,z,),则,|,=,x,2,+,y,2,+,z,2,.,x,2,2,+,y,2,2,+,z,2,2,x,1,2,+,y,1,2,+,z,1,2,|,P,1,P,2,|=(,x,2,x,1,),2,+(,y,2,y,1,),2,+(,z,2,z,1,),2,=,x,1,x,2,+,y,1,y,2,+,z,1,z,2,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,x,O,P,B,C,y,z,7).,方向角、方向余弦和方向数,(1),非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为,此向量的,方向角,;,x,O,P,A,B,C,z,y,x,O,P,A,y,z,方向余弦,:cos,cos,cos,OP,的方向角,:,=,AOP,=,BOP,=,COP,方向角的余弦称为此向量的,方向余弦,.,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,(3),方向数,c,1,c,2,c,3,:,注,2,：,cos,2,+cos,2,+cos,2,=1.,cos,=,y,x,2,+,y,2,+,z,2,cos,=,z,x,2,+,y,2,+,z,2,(2),向量,的方向余弦,cos,=,x,x,2,+,y,2,+,z,2,=,=,(,x,y,z,),(1,0,0),x,2,+,y,2,+,z,2,注,1,：方向余弦唯一，但方向数不唯一,.,与方向余弦成比例的一组数,第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,例,6.,向量,1,=,(1,2,3),2,=,(1,0,0),3,=,(1,1,3),=,1,+,2,+,3,求,|,|,的方向余弦、方向数,=,(,3,).,解：,=,1,+,2,+,3,=(3,3,6),|,|,=|(,3,3,6)|=|3(1,1,2)|=3 ,6,的方向余弦,:cos,=,cos,=,cos,=,6,6,6,6,6,3,的方向数,:3,3,6;,或者,1,1,2;,通式为,k,k,2k,(,k,0),第三章 几何空间,3.1-2,空间向量及空间坐标系,数量积的定义,内积的性质,直角坐标系下计算内积,投影与内积的关系,正定性、线性性、,Schwartz,、三角不等式,=,x,1,x,2,+,y,1,y,2,+,z,1,z,2,五,.,空间向量的数量积,(,点积、内积,),一,.,空间向量的线性运算,二,.,共线、共面向量的判定,=(,k,1,x,1,+,k,2,x,2,k,1,y,1,+,k,2,y,2,k,1,z,1,+,k,2,z,2,).,k,1,+,k,2,方向角、方向余弦和方向数,3,与,1,2,共面,3,可由,1,2,唯一线性表示,3,与,1,2,线性相关,